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2025-2026学年河南省洛阳市伊川县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.请估计的值在（　　）
A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间
2.下列计算正确的是（　　）
A. x+2x=3x2 B. x2 x3=x5 C. x6÷x2=x D. （xy）2=xy2
3.洛阳市文旅部门为了调查元旦期间游客在龙门石窟、洛邑古城、白马寺和老君山这四个景区旅游的满意度，在以下四个方案中，最合理的方案是（　　）
A. 在多家旅游公司调查100名导游 B. 在白马寺景区调查100名游客
C. 在洛邑古城景区调查200名游客 D. 在四个景区各随机调查100名游客
4.若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（）
A. a+3=8b B. 3a=8b C. a+3=b8 D. 3a=8+b
5.为了解公园用地面积x（单位：公顷）的基本情况，某地随机调查了本地50个公园的用地面积，按照0＜x≤4，4＜x≤8，8＜x≤12，12＜x≤16，16＜x≤20的分组绘制了如图所示的频数分布直方图，下列说法正确的是（　　）
A. a的值为20
B. 用地面积在8＜x≤12这一组的公园个数最多
C. 用地面积在4＜x≤8这一组的公园个数最少
D. 这50个公园中有一半以上的公园用地面积超过12公顷
6.如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，则△BDC的周长为（　　）
A. 21
B. 14
C. 13
D. 9
7.若实数m满足（m-2025）2+（2026-m）2=2027，则（m-2025）（2026-m）=（　　）
A. 2026 B. 1013 C. -2026 D. -1013
8.如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能够验证平方差公式的是（　　）
A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②④
9.如图，锐角三角形ABC中，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD.下列命题中，假命题是（　　）
A. 若CD=BE，则∠DCB=∠EBC
B. 若∠DCB=∠EBC，则CD=BE
C. 若BD=CE，则∠DCB=∠EBC
D. 若∠DCB=∠EBC，则BD=CE
10.如图，长方体的高为4cm,底面长为3cm,宽为1cm,一只蚂蚁从长方体的表面点A2爬到点C1.则蚂蚁爬行的最短路程是（　　）
A. 5cm
B. cm
C. cm
D. cm
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.一个多项式，把它因式分解后有一个因式为（x+1），请你写出一个符合条件的多项式：______.
12.牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一.”那么我们用反证法证明：“三角形的三个外角中至少有两个钝角”应先假设 .
13.2025年春节期间，杭州科技领域引发热议，其中人工智能“DEEPSEEK”火爆全网，在“DEEPSEEK”中字母“E”的出现频率是 .
14.如图，AB=AC，AE=AD，点E在BD上，∠EAD=∠BAC，∠BDC=56°，则∠ABC的度数为 .
15.如图，长方形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，若△CEB′恰好为直角三角形，则CE的长为______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
（1）计算：；
（2）因式分解：x2（a-b）+9（b-a）.
17.(本小题9分)
先化简，再求值：[（2a+b）2-（2a+b）（2a-b）]÷2b,其中a=2，b=-1.
18.(本小题9分)
某校举行了“雾霾改善措施”的知识竞赛，现随机抽取部分学生的成绩进行统计，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（A表示5.0 6.0分，B表示6.0 7.0分，C表示7.0～8.0分，D表示8.0～9.0分，E表示9.0～10.0分，每组含前一个边界值，不含后一个边界值），请结合图中提供的信息，解答下列各题：
（1）求抽取的学生总人数和m的值；
（2）补全频数分布直方图；
（3）在扇形统计图中，求C所在扇形的圆心角的度数.
19.(本小题9分)
如图，∠ABE=∠BAF，CE=CF.求证：AE=BF.
20.(本小题9分)
消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高5米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离OA为15米.
（1）求B处与地面的距离；
（2）完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？
21.(本小题9分)
阅读材料：若m2+2mn+2n2-6n+9=0，求m和n的值.
解：∵m2+2mn+2n2-6n+9=0，
∴m2+2mn+n2+n2-6n+9=0，
∴（m+n）2+（n-3）2=0，
∴m+n=0，n-3=0，
∴m=-3，n=3.
像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”.请利用配方法，解决下列问题：
（1）已知x2+2y2-2xy-8y+16=0，则x=______，y=______；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2+c2-6a-8b-10c+50=0，判断△ABC的形状.
22.(本小题9分)
已知：∠AOB=60°，小惠在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为120°（即∠DPE=120°）的角尺来作∠AOB的角平分线.
（1）如图1，她先在边OA和OB上分别取OD=OE，再移动角尺使PD=PE；然后她就说射线OP是∠AOB的角平分线.试根据小惠的做法证明射线OP是∠AOB的角平分线；
（2）如图2，将角尺绕点P旋转了一定的角度后，OD≠OE，但仍然出现了PD=PE，此时OP是∠AOB的角平分线吗？如果是，请说明理由.
23.(本小题12分)
（1）问题发现：如图①，点D为等边△ABC边BC上一动点，以AD为边作等边△ADE，连接CE.猜想BD与CE的数量关系为______，∠ACE=______.
（2）类比探究：△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°.如图②，若点D为线段BC上一动点，试判断BD、DC、DE存在什么数量关系，并说明理由.
（3）拓展延伸：在（2）的基础上，若点D为线段BC延长线上一动点，如图③，当BC=4，DC=8，请你直接写出四边形ACDE的面积.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】x2-1（答案不唯一）．
12.【答案】三角形的三个外角中至多有一个钝角
13.【答案】0.5
14.【答案】62°
15.【答案】5或2
16.【答案】 （a-b）（x+3）（x-3）
17.【答案】2a+b，3．
18.【答案】抽取的学生总人数为50人，m的值为30 50-5-10-15-13=7（人），
50.4°
19.【答案】证明：∵∠ABE=∠BAF，
∴CB=CA，
∵CE=CF，
∴CB+CE=CA+CF，
即BE=AF，
在△ABE和△BAF中，
，
∴△ABE≌△BAF（SAS），
∴AE=BF．
20.【答案】B处与地面的距离是25米；
消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为8米
21.【答案】4;4 △ABC为直角三角形
22.【答案】如图中，
在△OPD和△OPE中，
，
∴△OPD≌△OPE（SSS），
∴∠POD=∠POE（全等三角形对应角相等） 是，
如图2中，过点P作PH⊥OA于H，PK⊥OB于K．
∵∠PHO=∠PKB=90°，∠AOB=60°，
∴∠HPK=120°，
∵∠DPE=∠HPK=120°，
∴∠DPH=∠EPK，
在△DPH和△EPK中，
，
∴△DPH≌△EPK（AAS），
∴PH=PK（全等三角形对应边相等），
则OP是∠AOB的角平分线
23.【答案】BD=CE;60° DC2+BD2=DE2；理由如下：
∵△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠DAE=90°，∠B=45°，AB=AC，AD=AE，
∵∠BAC-∠CAD=∠BAD，∠DAE-∠CAD=∠CAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE=∠B=45°，BD=CE，
∴∠DCE=90°，
∴DC2+CE2=DE2，即DC2+BD2=DE2 四边形ACDE的面积为60
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