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2025-2026学年江苏省南京市玄武区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.方程x2-4=0的解是（　　）
A. x1=x2=2 B.
C. x1=2，x2=-2 D. ，
2.下列图形中，一定有外接圆的是（　　）
A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形
3.已知一组数据7，x,7，8.若这组数据的众数和平均数恰好相等，则x的值为（　　）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
4.如图，AB∥CD，AC，BD交于点O，E，F分别在OA，OB上，连接EF，∠OEF=∠B.下列结论正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.
5.如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切于点A，与y轴的一个交点为B.若⊙P的半径为5，点A的坐标是（3，0），则点B的坐标是（　　）
A. （0，7）
B. （0，8）
C. （0，9）
D. （0，10）
6.二次函数与一次函数y2=mx+n的图象如图所示.下列关于函数y=y1-y2的结论：①图象与y轴的交点在x轴的下方；②图象与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0）；③当x＞h时，y随x的增大而增大；④图象可以由的图象平移得到.其中，所有正确结论的序号是（　　）
A. ①④ B. ②④ C. ①②③ D. ②③④
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
7.若，则=______．
8.sin60°的值为 ．
9.已知C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若AC=2，则BC= .
10.圆锥的母线长为4，底面圆的半径为3，则圆锥的侧面展开图的圆心角度数为 °.
11.设x1，x2是关于x的方程x2+4x+m=0的两个根，且x1+x2-x1x2=2，则m=______．
12.如图，在4×3的正方形方格纸中，将△OAB以点O为位似中心，放大后得到△OCD，且O，B，D均为格点，则= .
13.已知二次函数y=-x2+bx+c（b,c为常数），函数y与自变量x的部分对应值如表，则m n（填“＞”、“＜”或“=”）.
x -1 1 3 4
y m 5 5 n
14.如图，AB，CD分别是⊙O的内接正五边形和内接正三角形的一边，连接BC.若∠ABC=35°，则∠BCD的度数为 °.
15.如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，扇形MEN与AD边相切于点F，点M，N分别在AB，CD边上，⊙O是△MBE的内切圆.若AB=3，BC=4，∠MEN=90°，则⊙O的半径为 .
16.如图，点M在等边三角形ABC的内部，连接BM，CM，N是BM的中点，连接AN.若∠BMC=130°，则∠ANM的度数的取值范围是 .
三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解方程：
（1）2x2-3x+1=0；
（2）（x+2）2=3x+6.
18.(本小题8分)
甲、乙两人在相同的条件下各射击5次，每次射击成绩的条形统计图如图.
根据以上信息，整理分析数据如下：
平均数（环） 中位数（环） 方差（环2）
甲 6 a 0.4
乙 b 6 c
（1）a=______，b=______，c=______；
（2）根据5次射击成绩，你认为谁的射击成绩更好？并说明理由.
19.(本小题8分)
甲、乙两人各自从A、B、C三个景点中，随机选择一个景点游玩.
（1）甲选择A景点的概率是______；
（2）求甲、乙都选择A景点的概率.
20.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点（0，-1），（1，-2），（2，-1）.
（1）求二次函数的表达式；
（2）将二次函数的图象向右平移2个单位长度，所得图象与y轴交点的坐标为______.
21.(本小题7分)
如图所示，AB是⊙O的直径，C、D在⊙O上，OC∥BD，求证：AC=CD.
22.(本小题7分)
如图，在△ABC中，点E，O，F在BC边上，点D在OA上，连接DE，DF，且.求证：△DEF∽△ABC.
23.(本小题7分)
如图，用长为80米的栅栏，充分利用房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，房屋的外墙长为50米.当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？
24.(本小题8分)
如图，利用无人机测量某建筑物AB的高度.无人机在水平地面AC上的点C处时，测得顶端B的仰角为37°；然后，无人机从点C处沿着垂直于地面的方向向上飞行5m至点D处，此时测得顶端B的仰角为18°.求建筑物AB的高度.
（参考数据：）
25.(本小题9分)
已知二次函数y=x2-2mx+4m-6（m为常数）.
（1）求证：无论m取何值，函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）若该函数图象的顶点的纵坐标为n,与x轴的交点分别为（x1，0），（x2，0）.
①n= ______；（用含m的代数式表示）
②若0＜x1＜x2＜5，直接写出n的取值范围.
26.(本小题9分)
在四边形ABCD中，AD∥BC，AC=BC.经过A，D，C三点的⊙O与AB交于点E，连接EC，ED.
（1）如图①，求证：EC=ED；
（2）如图②，若AC是⊙O的直径，AB=12，BC=10，求AD的长.
27.(本小题9分)
（1）如图①，点P在⊙O外，PA与⊙O交于A，B两点，PC与⊙O的公共点为C，连接AC，BC.从下面①②中，选择一个作为条件，另一个作为结论，并给出证明.
①PC是⊙O的切线；
②△PBC∽△PCA.
（2）已知点P在△ABC的内部，连接AP，BP，CP，且∠BPC=135°.
（Ⅰ）如图②，∠ABC=45°，求作点P，使得的值最小.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
（Ⅱ）对于边长给定的AB，BC边，且AB＜BC，45°＜∠ABC＜90°，当∠ABC的大小确定时，的最小值也随之确定.随着∠ABC的度数增大，关于最小值的变化趋势，下列说法正确的是______.
A.一直增大
B.一直减小
C.先增大后减小
D.先减小后增大
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】270
11.【答案】-6
12.【答案】
13.【答案】＜
14.【答案】49
15.【答案】
16.【答案】10°＜∠ANM＜90°
17.【答案】x1=，x2=1 x1=-2，x2=1
18.【答案】6;6;2.8 甲的成绩更好．
理由：因为甲、乙的平均数，中位数相同，但甲的方差小于乙的方差，甲的成绩更稳定
19.【答案】
20.【答案】y=x2-2x-1 （0，7）
21.【答案】证明：连接OD，如图，
∵OC∥BD，
∴∠1=∠3，∠2=∠B，
∵OD=OB，
∴∠B=∠3，
∴∠1=∠2，
∴=，
∴AC=CD．
22.【答案】证明：∵∠DOE=∠AOB，=，
∴△DOE∽△AOB，
∴∠DEO=∠B，
∵DF∥AC，
∴∠DFE=∠C，
∵∠DEF=∠B，∠DFE=∠C，
∴△DEF∽△ABC．
23.【答案】当AB，BC分别为20m，40m时，羊圈的面积最大，最大面积是800m2．
24.【答案】建筑物AB的高度约为9m．
25.【答案】证明：当y=0时，x2-2mx+4m-6=0，
Δ=（-2m）2-4（4m-6）
=4m2-16m+24
=4（m-2）2+8，
∵4（m-2）2≥0，
∴4（m-2）2+8＞0，
即Δ＞0，
∴方程x2-2mx+4m-6=0有两个不相等的实数解，
∴无论m取何值，函数的图象与x轴总有两个公共点 ①-m2+4m-6；②-＜n≤-2
26.【答案】证明：作出BA的延长线AF，如图，
∵AD∥BC，
∴∠FAD=∠B，
∵AC=BC，
∴∠B=∠CAB，
∴∠FAD=∠CAB．
∵四边形AECD为圆的内接四边形，
∴∠FAD=∠ECD，
∴∠ECD=∠CAB，
∵∠CAB=∠CDE，
∴∠CDE=∠ECD，
∴EC=ED 2.8
27.【答案】证明：若选①作条件，②作结论，证明如下：
连接CO延长至与⊙O交于点D，连接BD，如图1所示，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCP=∠DCB+∠PCB=90°，
∵CD为直径，
∴∠CBD=90°，
∴∠D+∠DCB=90°，
∴∠D=∠PCB，
又∵∠D=∠A，
∴∠A=∠PCB，
又∵∠P=∠P，
∴△PBC∽△PCA；若选②作条件，①作结论，证明如下：
如图1所示，连接CO延长至与⊙O交于点D，连接BD，
∵CD为直径，
∴∠D+∠DCB=90°，
∵∠A=∠D，
∴∠A+∠DCB=90°，
∵△PBC∽△PCA，
∴∠PCB=∠PAC，
∴∠PCB+∠DCB=90°，即∠DCP=90°，
即PC是⊙O的切线 A
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