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2025-2026学年浙江省宁波市慈溪市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在同一平面内，已知⊙O的半径为3，PO=3，则点P与⊙O的位置关系为（　　）
A. 点P在圆外 B. 点P在圆上 C. 点P在圆内 D. 无法确定
2.下列事件中，属于随机事件的是（　　）
A. 抛一枚均匀的硬币，恰好正面朝上
B. 两张扑克牌，1张黑桃、1张红桃，从中随机抽取1张扑克牌是方块
C. a是实数，则|a|≥0
D. 任意画一个三角形，其内角和是180°
3.将抛物线y=2x2+1向上平移3个单位后所得抛物线的表达式是（　　）
A. y=2（x-3）2+1 B. y=2（x+3）2+1 C. y=2x2+4 D. y=2x2-2
4.如图，直线l1∥l2∥l3，直线a,b分别交直线l1，l2，l3于点A，B，C，D，E，F.已知AB=5，BC=2，DE=4，则EF的长为（　　）
A. 6
B.
C.
D.
5.如图，在直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似中心为原点O.若点B（-3，-2）的对应点为B1（6，4），则点A（-2，1）的对应点A1的坐标为（　　）
A. （-2，1） B. （4，-2） C. （-4，2） D. （2，-1）
6.如图，甲同学利用尺规作图找到了一件圆形“青花瓷盘”文物瓷片的圆心O，点A，B，C均在圆弧上，经测量得∠ABC=146°，则∠AOC的度数为（　　）
A. 34° B. 56° C. 68° D. 73°
7.如图，一只矩形木箱放置在斜面上，此时BD恰好与地面EF平行.已知∠CEF=α，BC=1，则点A到BD所在直线的距离可表示为（　　）
A. cosα
B. sinα
C. tanα
D.
8.若二次函数y=x2-6x+c的图象经过点A（1，1），则方程x2-6x+c=1的解为（　　）
A. x=1 B. x=6 C. x=1或x=-7 D. x=1或x=5
9.如图，△ABC内接于圆，∠A=45°，D为BC中点，G为△ABC的重心，连结GD.若，则GD的最大值为（　　）
A.
B.
C.
D.
10.已知二次函数y=ax2-4ax+c（a,c为常数，a＜0）的图象经过（x1，y1），（x2，y2）两点，若0≤x2≤m,x2-x1≥2，则下列说法错误的是（　　）
A. 若0＜m＜2，则y2≥c B. 若0＜m＜3，则y2＞y1
C. 若0＜m≤4，则y2≥c D. 若3＜m＜4，则y1＞y2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知，则= .
12.某商场门口有甲、乙两公司投放的5辆共享单车，其中3辆是甲公司的，2辆是乙公司的，现随机挑选一辆，则选中甲公司共享单车的概率是 .
13.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连结AO，BO，则∠AOB的度数为 度.
14.小明在学习了压强的知识后，知道装有液体的瓶子侧边开一个小孔，液体喷出后的喷射距离与开孔位置有关.设瓶底离液面的距离h,小孔离液面的距离x,则喷射距离L满足关系式：.现有一个瓶子装满水后，瓶底离水面的距离为h=24cm,为使水的喷射距离L最大，则小孔离液面的距离x应为 cm.
15.如图，在半径为2的⊙O中，AB，AC为弦，∠CAB=90°，连结OA，OB，过点C作AO的垂线，交AO的延长线于点D.若AB=2OD，则AC的长为 .
16.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠ACD=90°，，.若AB=4，AD=6，则AC的长为 .
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：sin30°+2cos60°-tan245°.
18.(本小题8分)
已知二次函数y=-x2+bx+c（b,c为常数）的图象经过点（0，3），（2，3）.
（1）求二次函数的表达式.
（2）求二次函数图象与x轴的交点坐标.
19.(本小题8分)
在学习频率与概率的相关知识时，小明利用AI工具制作了一个“石头、剪刀、布”游戏的模拟器：两位玩家随机出石头、剪刀、布，然后统计胜负情况.游戏规则和试验的部分结果如图：
游戏规则
石头（）击败剪刀（）
剪刀（）击败布（）
布（）击败石头（）
相同手势为平局
试验次数n 100 200 400 1000 3000 5000 10000
两位玩家平局的试验频数m 32 70 144 335 1004 1670 3328
两位玩家平局的试验频率（精确到0.001） 0.320 0.350 0.360 0.335 0.335 0.334 0.333
（1）根据表中试验结果，用频率估计“两位玩家平局”的概率是______.（精确到0.001）
（2）请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论.
20.(本小题8分)
图1，图2是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC为格点三角形（三角形的顶点均在格点上）.请按下列要求画出图形.
（1）在图1中画出格点△A1B1C1，使得△A1B1C1∽△ABC，相似比为2：1；
（2）在图2中画出格点△A2B2C2，使得△A2B2C2∽△ABC，面积比为2：1.
21.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的弦（非直径），以A为圆心，OA为半径画弧，交⊙O于点C，以B为圆心，OB为半径画弧，交⊙O于点D，C，D位于AB的两侧，连结CD.
（1）求证：AB=CD.
（2）连结BD，若∠ABD=40°，OA=5，求的长.（结果保留π）
22.(本小题10分)
图1是一款可以调整铅笔位置的圆规，图2是该圆规的简易结构图，已知OA=10cm,DE=2cm,∠EDO=114°.在调整铅笔位置时BC始终垂直平分DE，BC和DE交于点F.如图3，当圆规的两个脚OA和OD闭合，即O，D，A三点在同一直线上时，调整铅笔的位置，定位针针尖A点与笔尖B点恰好能重合.（计算结果均精确到0.1，参考数据：sin24°≈0.40；cos24°≈0.91；tan24°≈0.44.）
（1）求OD的长.
（2）如图4，调节圆规的两个脚OA和OD，使得OA∥BC.调整铅笔BC的位置，圆规可以画出半径最小的圆，求该最小圆半径AB的长.（注：假设BC足够长.）
23.(本小题10分)
已知二次函数y=x2-2tx+t2+t（t为常数）.
（1）若二次函数图象经过原点（0，0），求t的值.
（2）已知点P（p,m），Q（q,n）在该二次函数图象上，若p=t-2，q=t+1，试比较m,n的大小关系.
（3）当3≤x≤t+1时，函数y的最大值与最小值的差为1，求t的取值范围.
24.(本小题12分)
如图1，在⊙O中，AB为直径，P为AO上的点，过点P作AB的垂线交⊙O于C，D两点，E为上的点，且，连结CE交AB于点F，连结AC，记∠DCE=α.
（1）请用含α的代数式表示∠ACD.
（2）若AF=2BF，求tanα的值.
（3）如图2，连结AE交CD于点G，若⊙O的半径为5，CP CG=27，求AC的长.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】72
14.【答案】12
15.【答案】2
16.【答案】
17.【答案】．
18.【答案】y=-x2+2x+3 （-1，0）或（3，0）
19.【答案】0.333 画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中两位玩家平局的结果有3种，
所以两位玩家平局的概率为=
20.【答案】
21.【答案】证明：连接OA，OB，OC，OD，AC，BD，
∵以A为圆心，OA为半径画弧，交⊙O于点C，以B为圆心，OB为半径画弧，交⊙O于点D，∴OA=OB=OC=OD=AC=BD，∴∠AOC=∠BOD=60°，∴∠AOC+∠AOD=∠BOD+∠AOD，∴∠COD=∠BOA，∴AB=CD
22.【答案】OD的长是7.5cm 小圆半径AB的长是4cm
23.【答案】t的值为0或-1 m＞n t的取值范围是3≤t≤4
24.【答案】∠ACD=α 或3
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