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2025-2026学年江西省来宾市象州县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式是分式的是（　　）
A. B. C. D.
2.若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A. x＜4 B. x＞4 C. x≥4 D. x≤4
3.下列各组线段首尾相接，不能组成三角形的是（　　）
A. 11，6，7 B. 3，4，8 C. 8，3，6 D. 5，3，4
4.分式，的最简公分母是（　　）
A. xy B. xy3 C. x2y3 D. x3y5
5.如图，∠BDA=∠BDC，现添加以下哪个条件不能判定△ABD≌△CBD的是（　　）
A. ∠A=∠C
B. ∠ABD=∠CBD
C. AB=CB
D. AD=CD
6.下列命题中，属于真命题的是（　　）
A. 三角形的外角等于任意两内角之和
B. 等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合
C. 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
D. 直角三角形一边上的中线等于这条边的一半
7.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是边BC上的一点，下列条件不能说明AD是△ABC的角平分线的是（　　）
A. ∠ADB=∠ADC
B. BD=CD
C. BC=2AD
D. S△ABD=S△ACD
8.下列运算结果正确的是（　　）
A. a3 a2=a5 B. （a2b4）3=a5b7 C. （a3）3=a6 D. a8÷a4=a2
9.如图，△ABC中，D，E分别为BC、AD的中点，且△ABC的面积为4，则图中阴影部分面积为（　　）
A. 1
B. 2
C. 3
D.
10.下面是小军求解分式方程的过程中存在的错误，请指出他从第几步开始出现错误.（　　）
方程两边都乘（y-3），得：y-2=2（y-3）+1…第一步
解这个方程得：y=3…第二步
检验：将y=3代入第一步方程，左边=右边…第三步
所以，y=3是原分式方程…第四步
A. 第一步 B. 第二步 C. 第三步 D. 第四步
11.如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O，连接MN，则下列结论错误的是（　　）
A. △ACE≌△DCB
B. DN=AM
C. ∠AOB=150°
D. △CMN是等边三角形
12.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，延长BC至F，△BAP沿着BP折叠与△BFP重合，PF交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②PF⊥AD；③△APH≌△FPD；④AH+BD=AB，其中正确的有（　　）
A. ①②③④
B. ①②③
C. ①②④
D. ①③④
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.写出一个比大的数： .
14.我国“祖冲之号”量子计算机的超导比特尺寸约为0.00000025米，请用科学记数法表示该尺寸为 （单位：米）.
15.在△ABC中，已知AB=AC=10，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D、E，连接CD，若△ABC的周长为24，则△BCD的周长为 .
16.如图所示，由Rt△ABC经过两次折叠得到的，首先将Rt△ABC沿CD折叠，使点A落在斜边上的点A′处，再沿DE折叠，使点B落在DA'的延长线上的点B'处.若图中∠A=90°，DE=3cm,CD=4cm,则DA′的长为 .
三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
（1）因式分解：2x2+4x+2；
（2）计算：.
18.(本小题10分)
先化简，再求值：
（1）化简：；
（2）从-3＜x≤0给定的范围内选择一个整数代入（1）的化简结果中，并计算其值.
19.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°.
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线交AC于点D（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接BD，求∠DBC的度数.
20.(本小题10分)
如图，在△ABC中，D是AB边上一点，过点D作DF∥AC交BC于点F，E是AC边上一点，并且FD=CE.过点E作EG∥AB交BC于点G.
（1）求证：△BDF≌△GEC；
（2）若AB=BC，求证：BD=CG.
21.(本小题10分)
为积极推进五育融合的素质教育理念，某学校打算打造劳动实践与美育展示相结合的区域，准备购买A、B两种不同功能的工具.通过市场调研得知：A种工具每组的价格比B种工具每组的价格少30元，且用9000元购买A种工具的组数是用6000元购买B种工具的组数的2倍.
（1）求A、B两种工具每组的价格分别是多少元？
（2）该学校计划用不超过2100元购买A、B两种工具共20组，其中：要求B种工具的数量不少于A种工具数量的一半，问：在满足资金和数量要求的前提下，最多可以购买B种工具多少组？
22.(本小题12分)
（1）如图①，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E，且BD=AE.求证：DE=BD+CE.
（2）如图②，在△ABC中，AB=CA，D，A，E三点都在直线l上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，且α≠90°，请问DE=BD+CE是否成立？若成立，请给出结论，如不成立，请说明理由.
（3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线l上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE.若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状.
23.(本小题16分)
某景区内有一片夹角为∠AOB（∠AOB=30°）的游览区域，点P是区域内的核心观景台，观景台到夹角顶点O的距离OP=10m.景区计划基于此设计导览路线，相关规划如下：
材料1：为优化观景体验，先在射线OB上设置临时停靠点P，点P在OB上，并规划从P点出发，关于游览步道OA对称的备选观景点P1，连接OP1、PP1（如图①）.
材料2：为丰富路线选择，过核心观景台P分别作关于步道OA、OB的对称点P1、P2，连接OP1OP2、P1P2（如图②）.
材料3：为设计最短游览路线，需在步道OA、OB上各选一个休憩点M、N，使游客从观景台P出发，经M、N后返回P的路线（即△PMN）周长最小（如图③）.
请根据以上材料，解决下列问题：
（1）结合材料1，求备选观景点与临时停靠点的距离PP1的长度；
（2）结合材料2，求对称点P1、P2之间的距离P1P2；
（3）结合材料3，先补全图③，再求出△PMN周长的最小值.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】C
12.【答案】A
13.【答案】2（答案不唯一）
14.【答案】2.5×10-7
15.【答案】14
16.【答案】cm
17.【答案】2（x+1）2
18.【答案】x+6 6
19.【答案】解：（1）图形如图所示：
（2）∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=（180°-40°）=70°，
∵点D在AB的垂直平分线上，
∴DA=DB，
∴∠A=∠DBA=40°，
∴∠DBC=∠ABC-∠DBA=30°．
20.【答案】
∵DF∥AC，
∴∠BDF=∠A，∠BFC=∠C，
∵EG∥AB，
∴∠B=∠EGC，∠A=∠GEC，
∴∠BDF=EGC，
在△BDF与△GEC中，
∠BDF=EGC，∠B=∠EGC，FD=CE，
∴△BDF≌△GEC（AAS） ∵ AB=BC，
∴∠A=∠C，
∵∠BDF=∠A，∠BFC=∠C，
∴∠BDF=∠BFC，
∴BD=BF，
∵∠A=∠GEC，
∴∠GEC=∠C，
∴EG=CG，
∵△BDF≌△GEC，
∴BD=GE，
∴BD=CG
21.【答案】A种工具每组的价格是90元，B种工具每组的价格是120元 最多可以购买B种工具10组
22.【答案】证明：∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE 解：成立，证明如下：
∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，
∴∠DBA=∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE △DEF为等边三角形
23.【答案】10m 10 m 10 m
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