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2025-2026学年浙江省杭州市钱塘区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形绕点O旋转90°后，能与原图形重合的是（　　）
A. B.
C. D.
2.如图，一个自由转动的转盘被等分成5个扇形，分别标有“祝新年快乐”，让转盘自由转动一次（若指针落在等分线上，则重新转动），指针恰好落在“新”字所在扇形区域的概率是（　　）
A.
B.
C.
D.
3.如图，已知△ADE∽△ABC.若∠A=60°，∠ADE=50°，则∠C的度数是（　　）
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 70°
4.下列图形中，线段AB是所在圆的直径的是（　　）
A. B.
C. D.
5.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，BC=10，则sinB的值是（　　）
A.
B.
C.
D.
6.如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α+β=（　　）
A. 140°
B. 150°
C. 160°
D. 170°
7.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列判断正确的是（　　）
A. ab＞0，b2-4ac＜0
B. ab＜0，b2-4ac＜0
C. ab＞0，b2-4ac＞0
D. ab＜0，b2-4ac＞0
8.如图，点C，D是半圆O的三等分点，连结CD.若半径为2，则阴影部分的面积是（　　）
A.
B.
C.
D.
9.如图，在△ABC中，点D，F在边AB上，点E在边AC上，连结CD，DE，EF，且满足DE∥BC，EF∥CD.若，则的值是（　　）
A.
B.
C.
D.
10.已知抛物线y=-3x2+bx+c与x轴的两个交点之间的距离是2，将抛物线先向右平移4个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（　　）
A. B. C. 3 D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若，则的值是 .
12.圆圆在篮球训练中，对一个月投篮的数据进行记录，得到如下频数表：
投篮次数 200 400 600 800 1000 1200 1400
投中次数 150 332 491 630 812 958 1122
投中的频率 0.75 0.83 0.82 0.79 0.81 0.80 0.80
估计圆圆投一次篮，投中的概率是 .
13.若二次函数y=（x-1）2+t的图象与y轴的交点坐标为（0，3），则t的值是 .
14.如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，OF=2OC.若△ABC的面积为1，则△DEF的面积是 .
15.如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，连结AD，DE，EC，CB.若∠A=60°，∠B=75°，则∠E的度数是 .
16.如图，点C是半圆O上的一个动点，将沿着BC折叠交直径AB于点D，点E是的中点，连结OE.若AB=4，则OE的最小值是 .
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
现有五张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，其中标有数字2，5的卡片在甲手中，标有数字1，3，4的卡片在乙手中.
（1）若从乙手中随机抽取一张卡片，求该卡片数字比2大的概率.
（2）若从甲乙手中各随机抽取一张卡片，求两张卡片上的数字和等于6的概率.
18.(本小题8分)
受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，方方设计如下方法测量河宽AB.如图，从B处沿与AB垂直的直线方向走40m到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走20m到达D处，再右转90°走到E处，使点A，C，E恰好在一条直线上，量得DE=30m.
（1）求证：△ABC∽△EDC.
（2）求河宽AB的长.
19.(本小题8分)
数学建模小组利用人工智能软件对掷实心球训练进行研究，他们发现掷出后的实心球沿抛物线y=a（x-m）2+k运行，其中实心球离地面的高度y（单位：m）与实心球离掷出位置的水平距离x（单位：m）之间的函数关系如图所示.已知实心球掷出位置离地面的高度为1.75m,当水平距离为3m时，实心球行进至最高点4m处.
（1）求y关于x的函数表达式.
（2）求实心球落地时的水平距离.
20.(本小题8分)
如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点叫做格点.已知A，B，C三个格点恰好在圆上，请用无刻度的直尺按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）.
（1）在图1中的上找一个格点M，使∠AMB=∠ACB.
（2）在图2中标出圆心O，并在上找一个点N，使∠CAN=∠BAN.
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以底边BC为直径作⊙O，连结OA，⊙O分别与AB，AO相交于点D，E.
（1）连结DE，直接写出∠AOB与∠BDE的度数.
（2）若AD=BD=4，求的长.
22.(本小题10分)
【阅读理解】数学探究课上针对如何求15°角的正切值问题，圆圆给出了下列解法：
如图1，作Rt△ABC，使∠ABC=30°，∠C=90°，延长CB至点D，使得BD=BA.连结AD，得∠D=15°.设AC=t,则AB=BD=2t,BC=t.∴tan15°=tanD=.
【类比迁移】参照上述解法，若tan2α=，求tanα的值.
【拓展应用】如图2，在△ABC中，若∠B=2∠A，AB=23，CD⊥AB，tanB=，求CD的长.
23.(本小题10分)
已知抛物线y=ax2+2ax-3（a≠0）.
（1）若该抛物线经过点（1，0），求抛物线的顶点坐标.
（2）若a＜0，点A（-3，y1），B（m,y2）在该抛物线上，且y1＜y2，求m的取值范围.
（3）若点P（x1，p），Q（1，q），M（x0，y0）均在该抛物线上，且对于任意x0，y0≤p始终成立，求证：pq≤12.
24.(本小题12分)
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G为上一点，延长AG，CD交于点F，连结CG和DG.
（1）若BE=1，CD=6，求⊙O的半径.
（2）求证：∠AGC=∠DGF.
（3）若AF=CF，，求的值.（用含k的代数式表示）
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】6
12.【答案】0.8
13.【答案】2
14.【答案】4
15.【答案】45°
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】∵∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠DCE，
∴△ABC∽△EDC 河宽AB为60m
19.【答案】y=-0.25（x-3）2+4 实心球落地时的水平距离为7m
20.【答案】如图1中，点M即为所求； 如图2中．点N即为所求
21.【答案】如图，连接CE．
∠AOB=90°，∠BDE=135° 的长==
22.【答案】；
12
23.【答案】（-1，-4） -3＜m＜1 由题意，∵P（x1，p），M（x0，y0）均在该抛物线上，任意x0，y0≤p始终成立，
∴当x=x1时，函数取最大值为p．
∵对称轴是直线x=-1，
∴当x=x1=-1时，p=-a-3为最大值．
又∵当x=1时，y=q=3a-3，
∴pq=（3a-3）（-a-3）=-3a2-9a+3a+9
=-3a2-6a+9
=-3（a+1）2+12≤12．
∴pq≤12
24.【答案】⊙O的半径为5 证明：连接AC，如图，
∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴，
∴∠ACD=∠AGC，
∵四边形ACDG为圆的内接四边形，
∴∠DGF=∠ACD，
∴∠AGC=∠DGF 的值为
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