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2025-2026学年浙江省杭州市上城区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A. 篮球运动员投篮一定命中 B. 买了彩票一定中奖
C. 任意投掷一枚图钉，钉尖朝下 D. 任选三角形的两边，其和大于第三边
2.若，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
3.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，则（　　）
A.
B.
C.
D.
4.如图，⊙O中，弦CD∥直径AB，若的度数是50°，则的度数是（　　）
A. 40°
B. 60°
C. 80°
D. 100°
5.2025年世界羽联世界巡回赛总决赛于12月17日至21日，在杭州奥体中心体育馆举行.赛事组对羽毛球进行抽检，统计合格羽毛球的个数，得到合格羽毛球的频数表如下：
抽取个数（个） 50 100 150 200 500 800 1000 2000
合格频数 46 89 145 190 474 761 951 1900
合格频率 0.920 0.890 0.967 0.950 0.948 0.951 0.951 0.950
根据频率的稳定性，估计抽取1200个羽毛球合格的数量大约是（　　）
A. 1080 B. 1104 C. 1140 D. 1160
6.若（0，y1），（-2，y2），（-3，y3）是二次函数y=-2x2-8x+m图象上的点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A. y1＞y2＞y3 B. y2＞y1＞y3 C. y2＞y3＞y1 D. y3＞y2＞y1
7.如图，将Rt△ABC绕C点按顺时针方向旋转到△DEC，点E恰好落在AB上，若∠A=36°，则旋转的角度为（　　）
A. 84° B. 72° C. 54° D. 48°
8.二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的自变量与函数的部分对应值表如下，则关于x的方程ax2+bx+c=0的一个根的取值范围为（　　）
x 2.01 2.02 2.03 2.04
y -0.03 -0.01 0.02 0.06
A. 2.01＜x＜2.02 B. 2.02＜x＜2.03 C. 2.03＜x＜2.04 D. x＞2.04
9.如图，△ABC内接于⊙O，∠A=45°，BC=2，点D是劣弧BC的中点，过点D作DE∥BC交AB的延长线于点E，若△ABC是锐角三角形，则线段DE的取值范围是（　　）
A.
B.
C.
D.
10.已知点A（x1，m）、B（x2，n）分别在抛物线（c为常数）和上，当x1＞0时，下列说法正确的是（　　）
A. 若x2-x1=1，则m-n=5 B. 若x2-x1=2，则m-n=9
C. 若x1-x2=1，则m-n=-5 D. 若x1-x2=2，则m-n=-9
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知线段，线段，则线段a,b的比例中项线段c的长度为 .
12.任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上一面的点数是3的倍数的概率是 .
13.如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形.若OA：OD=1：4，△ABC的周长为1，则△DEF的周长是 .
14.鲁洛克斯三角形（Reuleaux triangle）又称“勒洛三角形”、“莱洛三角形”、“圆弧三角形”，是一种特殊三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为鲁洛克斯三角形.圆弧三角形是这样画的：先画正三角形ABC，然后分别以点A，B，C为圆心，AB长为半径画弧.若正三角形ABC的边长为4cm,则圆弧三角形的周长为 cm（结果保留π）.
15.已知（a,0），（b,0）是抛物线y=x2-2x-m+1（m为常数）上的两点，若|a|+|b|=6，则m的值为 .
16.如图，已知矩形ABCD内接于⊙O，AB=6，BC=8，点E是上一点，连结DE，将沿着直线DE折叠，交线段AD于点F.
（1）半径r= ；
（2）连结EF，若AF=2，则EF= .
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知二次函数y=2x2+bx+c（b,c为常数）的图象经过点（2，-6），且对称轴为直线x=1.
（1）求二次函数的表达式；
（2）求抛物线与x轴的交点坐标；
（3）二次函数y=2x2+bx+c（b,c为常数）图象可由抛物线y=2x2经过怎样的平移得到？
18.(本小题8分)
一个不透明的布袋里放有2个红球、1个黑球，它们除颜色外其余都相同.
（1）从布袋里任意摸出1个球，求摸出的球是红球的概率；
（2）若摸出一个球放回搅匀后，再摸出一个球.请列表或用树状图分析，两次摸出的球颜色不一样的概率.
19.(本小题8分)
如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OA平分∠BAC.
（1）求证：AB=AC；
（2）若⊙O的半径为10，AB=16，求圆心O到AB的距离.
20.(本小题8分)
2026年1月，某校举办了体育节活动.901班学生为了备赛“班级篮球赛”，利用生活材料制作出一种练习投篮动作的投篮设备.如图1是投篮过程中的截面图，为了研究投篮过程中篮球的运动路线，以水平地面所在的直线为x轴，过点O作垂线为y轴建立平面直角坐标系如图2所示.篮球的运动轨迹可以用二次函数y=ax2+bx+2（0≤x≤2）刻画，篮球运动的水平距离x（米）与篮球距离水平地面的竖直高度y（米）的变化规律如下表：
水平距离x/米 0 1 2
竖直高度y/米 2 3 3
（1）根据上表，请确定篮球运行轨迹的函数表达式；
（2）求篮球飞行的最大高度.
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，点E是AB上一点，作EF∥BC交AC于点F，点D是BC上的一点，连结AD，交EF于点P.
（1）求证：；
（2）若点P为△ABC的重心，求EF与BC的比.
22.(本小题10分)
如图，在△ABC中，BC＜AB，以点C为圆心，线段CB的长为半径画弧，交线段AB于点D；以点D为圆心，线段CD的长为半径画弧，恰好经过点A.
（1）如图1，以点D为圆心，线段CD的长为半径画弧恰好也经过点B.
①∠ADC的度数为______；
②若CB=6，求阴影部分的面积.
（2）如图2，若∠A=36°，证明：△ABC∽△CBD.
23.(本小题10分)
定义：直线y1=ax+b（a、b是常数且a≠0）为抛物线的“伴随直线”.
（1）当b=-a时，求证：抛物线与“伴随直线”y1=ax+b只有一个交点.
（2）探究当b≠-a时，抛物线与“伴随直线”y1=ax+b的交点.
水平层次 水平表现 直线与抛物线的交点 标准说明
层次1 取a= ______，b= ______. （______），（______） a,b取具体数值求出交点得2分
层次2 直接用字母a,b求交点 （______），（______） 用a,b字母表示交点坐标得4分
请选择其中一个层次作答；两个层次全部作答者，按正确的给分，全部答对的也只得4分，不累加分.
（3）当a=3b时，且y1＞y2，求自变量x的取值范围.
24.(本小题12分)
如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，以线段BC为直径的⊙O交AC于点D，连结OA，作BE⊥OA，垂足为E，线段CE的延长线交于点F，连结BF.
（1）探究∠ECO=∠CAO的过程，小聪完成一部分证明，如下，请认真阅读小聪的证明，运用小聪的结论，继续完成∠ECO=∠CAO的证明.
∵∠ABC=90°，BE⊥AO
∴∠ABC=∠BEO
∵∠AOB=∠BOE
∴△AOB∽△BOE
∴
∵OB=OC
（2）如图2，连结BD，当D为AC中点，求证：BF=EF.
（3）如图3，当，求的值（用含k的式子表示）.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】3
12.【答案】
13.【答案】4
14.【答案】4π
15.【答案】9
16.【答案】5

17.【答案】y=2x2-4x-6 （-1，0），（3，0） 先向右平移1个单位，再向下平移8个单位
18.【答案】
19.【答案】连接OB、OC，则OB=OA=OC，
∴∠B=∠OAB，∠C=∠OAC，
∵OA平分∠BAC，
∴∠OAB=∠OAC，
∴∠B=∠C，
在△OAB和△OAC中，
，
∴△OAB≌△OAC（AAS），
∴AB=AC 圆心O到AB的距离是6
20.【答案】y=-x2+x+2（0≤x≤2）， 米
21.【答案】∵E、F、D分别是AB、AC、BC上的点，AD交EF于点P，EF∥BC，
∴EP∥BD，FP∥CD，
∴△AEP∽△ABD，△AFP∽△ACD，
∴=，=，
∴= EF与BC的比是2：3
22.【答案】①120°；②9 证明：∵DA=DC，
∴∠DCA=∠A=36°，
∴∠CDB=36°+36°=72°，
∵CD=CB，
∴∠B=∠CDB=72°，
∴∠BCD=180°-72°-72°=36°，
∴∠BCD=∠A，
而∠CBD=∠ABC，
∴△ABC∽△CBD
23.【答案】证明：当b=-a时，y1=ax-a，y2=ax2-ax，
令ax2-ax=ax-a，
∵a≠0，
∴x2-2x+1=0，
解得x1=x2=1，
∴抛物线与“伴随直线”y1=ax+b只有一个交点 1;-4;1，-3;4，0;1，a+b;-，0 当b＞0时，-＜x＜1；当b＜0时，x＜-或x＞1
24.【答案】证明：∵∠ABC=90°，BE⊥AO
∴∠ABC=∠BEO
∵∠AOB=∠BOE
∴△AOB∽△BOE
∴
∵OB=OC，
∴，
∵∠AOC=∠COE，
∴△AOC∽△COE，
∴∠ECO=∠CAO 证明：∵BC为直径，
∴∠BDC=90°，
∵D是AC中点，
∴BD垂直平分AC，
∴∠DCB=∠DBC=45°，
由（1）得∠ACO=∠CEO，
∴∠CEO=45°，
∵∠BEO=90°，
∴∠FEB=45°，
∵∠BFC=90°，
∴∠FBE=∠FEB=45°，
∴BF=EF
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