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2025-2026学年山东省青岛市市北区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共7小题，每小题3分，共21分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示几何体的左视图是（　　）
A.
B.
C.
D.
2.下列每个选项中的两个图形一定相似的是（　　）
A. 两个等腰三角形 B. 两个正方形 C. 两个矩形 D. 两个平行四边形
3.小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，符合这一结果的实验最有可能的是（　　）
A. 袋子中有1个红球和2个黄球，除颜色外均相同，从中随机地取出一个球是黄球
B. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
C. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2
D. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
4.如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC与△DEF的周长之比是4：3，则OB：OE的值为（　　）
A. 4：7
B. 4：3
C. 3：4
D. 16：9
5.我国民间流传的《周瑜寿数》，是一道诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数.”若设周瑜逝世年龄的个位数字为x,则根据题意可列方程为（　　）
A. 10（x-3）+x=x2 B. （x+3）+10x=x C. 10+（x-3）=x2 D. 10（x-3）-x=x2
6.在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠BAD的角平分线交BC于点E，若∠AOB=50°，则∠OAE的度数是（　　）
A. 15°
B. 20°
C. 25°
D. 30°
7.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x=-1，则过点和N（c-a,4ac-b2）的直线一定不经过（　　）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
8.若，则的值为 .
9.若x1，x2是一元二次方程x2-2026x-2027=0的两个实数根，则x1+x2= .
10.二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值列表如下，则一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）+c=-5的解为 .
x … -3 0 1 3 5 …
y … 7 -8 -9 -5 7 …
11.在7×7的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若△ABC的三个顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为 .
12.如图，已知 ABCD的顶点A在反比例函数的图象上，点B，C，D在坐标轴上，连接OA交BC于点E.若S△BOE=3，S四边形AECD=8，则k的值为 .
13.如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，交BD于点M，连接OF交CD于点N，连接MN.以下结论：
①ME⊥BD；
②；
③∠MND=45°；
④若正方形边长为6，则四边形AONM的面积为.
其中正确的结论有 （填写正确的序号）.
三、解答题：本题共11小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题3分)
如图，圆桌正上方的灯泡O（看作一个点）发出的光线照射到桌面后，在地面上形成影．设桌面的半径AC=0.8m，桌面与地面的距离AB=1m，灯泡与桌面的距离OA=2m，求地面上形成的影的面积．
15.(本小题4分)
用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
如图，已知四边形ABCD，在边AD上求作一点E，在边BC上求作一点F，在边CD边上求作一点G，使四边形EFCG为菱形.
16.(本小题10分)
（1）解方程：x（3x-2）=4（2-3x）；
（2）已知关于x的一元二次方程x2-2（m+1）x+m2+2=0.
①若方程总有两个实数根，则m的取值范围是______；
②若方程有一个实数根为1，求m的值和另一个实数根.
17.(本小题6分)
学校开展“传统文化节”活动，准备了“书法”，“国画”，“剪纸”分别记为“A”，“B”，“C”三款文创书签（除图案不同外，其余均相同），将它们背面朝上洗匀摆放.
（1）小明从中随机抽取一张书签是“书法”的概率是______；
（2）小明从中随机抽取一张书签，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张书签，请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的书签中，一张是“书法”、一张是“剪纸”的概率.
18.(本小题6分)
在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示.
（1）求压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）的函数表达式；
（2）若气缸内气体压强不超过120（kPa），则气体的体积范围是多少？
19.(本小题8分)
2025年10月27日，“飞向北京 飞向太空”全国青少年航空航天模型教育竞赛活动（无人机项目）总决赛在山东省青岛市隆重开幕.为推广航空科普教育，某校航模社团在校内建设了模拟训练场，设置A、B、C、D四个标志性定位点，∠BCD=105°，∠D=90°.现以A为观测点，B位于A的北偏西33.6°，D位于A的北偏东30°，C位于A的正北方向.C与D之间的直线距离50米，求A与B之间的直线距离是多少米（结果精确到米）.
（参考数据：，，）
20.(本小题8分)
某市奶茶店依托本地奶源优势升级经营，2023年的营业额为8万元，2025年增长至9.68万元.
（1）求该奶茶店从2023年到2025年营业额的年平均增长率；
（2）该店制作珍珠奶茶，每杯奶茶盈利3元，每周可售出300杯.市场调查反映，每杯涨价1元，周销售量将减少20杯.若该店要保证每周奶茶盈利1440元，同时又要让顾客得到实惠，则每杯奶茶应涨价多少元？
21.(本小题8分)
在正方形网格中使用无刻度直尺作图是一种经典的几何构造问题，其核心是仅用无刻度直尺和给定网格，通过有限的步骤完成特定的几何构造任务.
如图1，在7×7的正方形网格中，已知线段AB的端点均为格点，利用无刻度的直尺解决下面的任务.
问题：作出线段AB的中点C.
思路1：如图2，利用网格构造线段AD，BE，连接DE，
∵______
∴△ADC≌△BEC
∴AC=BC
即点C为线段AB的中点.
思路2：如图3，利用网格构造格点△ABD，AD的中点D'，将DB平移至D′B′，
∵D′B∥DB，
∴，
即点C为线段AB的中点.
任务（1）：请将思路1补充完整；
任务（2）：在图1中，请你参照思路1或思路2，作出线段AB的四等分点M，使（保留作图痕迹，并说明理由）.
22.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G分别为线段AO、DO、BC的中点，连接BE、EF、FG.
（1）求证：四边形BEFG为平行四边形；
（2）若AC=2CD，请判断并证明四边形BEFG的形状.
23.(本小题10分)
如图1是某海底世界时空隧道的截面图，图2是它的示意图，隧道截面可近似看作抛物线和长方形AOCB构成.长方形的长OC是5米，宽OA是1米，小磊以O为原点，建立如图2平面直角坐标系.设抛物线解析式为y=ax2+bx+1抛物线经过点D（1，3）.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）为保障观赏效果，定期对玻璃隧道进行清洁，工人师傅搭建一木板OG，点G正好在对称轴右边的抛物线上，在木板OG的中点M处设立1.5米的支撑杆MN，且MN⊥OC，求出木板OG所在直线的解析式；
（3）在（2）的条件下，工人师傅可以站在木板上进行清洁，他能刷到的最大高度是站立位置上方铅直高度2.5米处.若工人师傅从O点沿木板向上走2米，在此过程中，他能刷到正上方抛物线玻璃隧道的高度h（米）范围是______米.
24.(本小题10分)
如图①，在△ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm.现将Rt△EFD的顶点E、F分别与A、B重合，顶点D在BC边上，∠EDF=90°，△EDF从图①所示位置出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s；线段EF、ED与AC分别交于点M、N；设运动时间为t（s）（0＜t≤6）.解答下列问题：
（1）当t为何值时，线段ED经过AC的中点？
（2）如图②，设四边形MFDN的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t,使F在MN的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】-2
9.【答案】2026
10.【答案】x=4或x=0
11.【答案】
12.【答案】10
13.【答案】②③
14.【答案】解：∵AC⊥OB，BD⊥OB，
∴△AOC∽△BOC，
∴=，即=，
解得：BD=1.2（m），
∴S阴影=（1.2）2π=1.44π（m2），
答：地面上形成的影的面积为1.44πm2．
15.【答案】如图，四边形EFCG即为所求．

16.【答案】x1=，x2=-4 ①m≥；②m的值为1，方程的另一个根为3
17.【答案】
18.【答案】p= 气体的体积范围是大于50mL
19.【答案】A与B之间的直线距离约为45米．
20.【答案】10% 每杯奶茶应涨价3元
21.【答案】任务一：∵AD∥EB，
∴∠A=∠B，∠D=∠E，
∵AD=BE，
∴△ADC≌△BEC（ASA），
∴AC=BC，
即点C为线段AB的中点．
故答案为：AD∥EB，∴∠A=∠B，∠D=∠E，∵AD=BE， 任务二：如图点M即为所求．
理由：∵AJ∥BK，
∴，
∴=
22.【答案】在 ABCD中，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵点E，F，G分别为AO，DO，BC的中点，
∴EF∥AD，EF=AD，BG=BC，
∴EF∥BG，EF=BG，
∴四边形BEFG是平行四边形 四边形BEFG是菱形，
证明：在 ABCD中，
∴AC，BD互相平分，
∴AC=2CO，AD=BC，
∵AC=2CD，
∴CO=CD，
连接CF，
∵点F为DO中点，
∴CF⊥DO，
∵G为线段BC的中点，
∴FG=BC，
∵EF=AD，
∴EF=FG，
∴四边形BEFG是菱形
23.【答案】抛物线的解析式为：y=-x2+x+1 木板OG所在直线的解析式为：y=x 1≤h≤
24.【答案】t=3 S=-t2+24 t=
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