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2025-2026学年广东省梅州市蕉岭县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若点（2，-6）在反比例函数的图象上，则该图象也过点（　　）
A. （3，4） B. （3，-4） C. （-2，-6） D. （-6，-2）
2.已知关于x的方程x2+mx-3=0的一个根为x=1，则m的值为（　　）
A. 2 B. -2 C. 3 D. -3
3.图是一个正三棱柱，它的主视图是（　　）
A.
B.
C.
D.
4.下列命题是真命题的是（　　）
A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
C. 平行四边形的对角线平分对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分
5.在△ABC中，∠C=90°，tanA=，AC=2，则BC的长为（　　）
A. 1 B. 2 C. D. 5
6.若△ABC∽△DEF，且，△DEF的面积为12，则△ABC的面积为（　　）
A. 3 B. 6 C. 24 D. 48
7.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点，AB=6，∠ACB=30°则MN的长为（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8.一个不透明的口袋中装有n个蓝球，为了估计蓝球的个数，向口袋中加入4个红球，它们除颜色外其他完全相同.通过多次摸球试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在0.8附近.则n的值为（　　）
A. 24 B. 20 C. 16 D. 12
9.如图，边长12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上.若BF=3，则小正方形的边长为（　　）
A.
B.
C. 1
D. 6
10.如图，反比例函数图象经过正方形OABC的顶点A，BC边与y轴交于点D，若正方形OABC的面积为12，BD=2CD，则k的值为（　　）
A. 3
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若，则= .
12.若x1，x2是一元二次方程x2-2x-5=0的两根，则x1x2-x1-x2= .
13.如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD=3，DB=2，BC=6，则DE的长为 .
14.如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合，点A在x轴上，点B在反比例函数y=位于第一象限的图象上，则正六边形ABCDEF的边长为 .
15.如图，菱形ABCD的边长为4，E，F分别是AB，AD边上的动点，BE=AF，∠BAD=120°，则下列结论：①△BEC≌△AFC；②△ECF为等边三角形；③若AF=1，则；④∠AGE=∠AFC.其中正确的有 .（填序号）
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
计算：.
17.(本小题7分)
解方程：2x2-6x+4=0.
18.(本小题7分)
如图，已知点E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于点F.若AD=12，DE=5，AF=4，求BF的长.
19.(本小题9分)
九年级数学课外小组在开展活动时，设计了这样一个数学活动：A箱中装有4张相同的卡片，它们分别写有数字1，2，3，4；B箱中装有3张相同的卡片，它们分别写有数字1，2，3；小红从A箱中随机抽取一张，将其数字作为m的值；小明从B箱中随机抽取一张，将其数字作为n的值.求小红、小明随机抽取的数字恰好使得关于x的一元二次方程x2-2mx+n2=0有两个不相等的实数根的概率.
20.(本小题9分)
2025年第十五届全运会在广东、香港、澳门三地举办，全运会吉祥物“雄庆庆”“祥和和”公仔爆红.据统计，“雄庆庆”“祥和和”公仔套装在某电商平台10月份的销售量是2万套，12月份的销售量是2.88万套.
（1）求该平台这两个月销售量的月平均增长率；
（2）某店铺将进货价为120元的“雄庆庆”“祥和和”公仔套装以170元售出，每天能销售20套.为了推广宣传，同时尽快减少库存，商家决定采取适当的降价措施.调查发现，这款套装的售价每降低2元，平均每天就能多售出4套.商家想要平均每天获利1600元，每套公仔应降价多少元？
21.(本小题9分)
综合与实践.
【主题】探究化学实验中的数学问题.
【实践操作】如图1是排水法收集气体的化学实验装置示意图，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处.
【数学建模】将图1的示意图抽象成图2，已知试管AB的长为15cm,过点B作AH的垂线段，垂足为C，交DG于点E，试管倾斜角∠ABC=8°，试管与导管的夹角∠ABF=143°.
【问题解决】（1）求∠BFM的度数；
（2）铁夹D到水平桌面HN的距离是17cm,测量可得导管露在水槽外的部分BF为8cm,则水槽的高度MN约为多少？（结果精确到0.1cm；参考数据：°≈0.14）
22.(本小题13分)
在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A，C分别在x轴，y轴上，反比例函数的图象分别与矩形OABC的边BC，AB相交于点D，E.
（1）如图1，若.
①点B的坐标是______；
②连接OD，DE，当OD⊥DE时，探究点D，E是否分别为线段BC，AB的中点，并证明；
（2）如图2，过点D作DF⊥OA，垂足为点F，连接OD，EF.当OD∥EF时，探究点F，E是否分别为线段OA，AB的黄金分割点，并证明.
23.(本小题14分)
问题情景：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明.
（1）独立思考：请解答老师提出的问题；
（2）实践探究：梦之队小组受此问题的启发，将平行四边形ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C′，连接DC′并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明；
（3）问题解决：智慧小组突发奇想，将平行四边形ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点A′，使A′B⊥CD于点H，连接A′M，交CD于点N.若此平行四边形ABCD的面积为20，AB=5，，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】
12.【答案】-7
13.【答案】
14.【答案】6
15.【答案】①②④
16.【答案】2．
17.【答案】x1=2，x2=1．
18.【答案】．
19.【答案】．
20.【答案】该平台这两个月销售量的月平均增长率为20% 每套公仔应降价30元
21.【答案】水槽的高度MN约为10.7cm．
22.【答案】（1）；②点D，E分别为线段BC，AB的中点．
证明：在矩形OABC中，BC=OA=2，，∠OCB=∠ABC=90°，
∴∠COD+∠CDO=90．
∵OD⊥DE，
∴CDO+∠BDE=90°．
∴∠COD=∠BDE．
∴△COD∽△BDE．
∴，
∵点D，E在反比例函数的图象上，
∴，，
∴CD=，AE=，
∴BD=2-，BE=．
∴，
∴，
∴CD=1，．
∴，
∴点D，E分别为线段BC，AB的中点 （2）点F，E分别为线段OA，AB的黄金分割点．
证明：∵OD∥EF，
∴∠DOF=∠EFA．
∵∠DFO=∠EAF=90°，
∴△DOF∽△EFA．
∴．
设，，
∴OF=m，，OA=n，，
∴．
∴，即，
∴点F为线段OA的黄金分割点．
∵，
∴，
∵，，
∴．
∴点E为线段AB的黄金分割点
23.【答案】EF=BF．
证明：如图①中，四边形ABCD是平行四边形，过点F作FH∥AD交BE于H，
∴DE∥FH∥CB，
∴，
∵DF=CF，
∴EH=HB，
∵BE⊥AD，FH∥AD，
∴FH⊥EB，
∴EF=BF AG=BG．
证明：如图②中，连接CC′，
∵△BFC′是由△BFC翻折得到，
∴BF⊥CC′，FC=FC′，
∵DF=FC，
∴DF=FC=FC′，
∴∠CC′D=90°，
∴CC′⊥GD，
∴DG∥BF，
∵DF∥BG，
∴四边形DFBG是平行四边形，
∴DF=BG，
∵，
∴，
∴AG=GB 图中阴影部分的面积为
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