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2025-2026学年浙江省杭州市西湖区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知a=3b,则a：b=（　　）
A. 1：1 B. 2：1 C. 3：1 D. 4：1
2.二次函数y=（x+1）2-2图象的对称轴是（　　）
A. 直线x=-1 B. 直线x=1 C. 直线x=2 D. 直线x=-2
3.如图是一个材质均匀的大转盘，当转盘停止转动后，指针所指区域即可获得对应的奖品，则获得一等奖的概率为（　　）
A.
B.
C.
D.
4.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F.已知DE=2，EF=4，AB=3，则BC的长为（　　）
A. 3
B. 6
C. 9
D. 12
5.无障碍通道是保障行动不便者安全通行的专用设施体系，具有严格的设计要求.如图是某一建筑入口的轮椅坡道，已知△ABC中，∠B=90°，AB=9m,BC=0.6m,则tanA的值为（　　）
A. B. C. D. 15
6.如图，△ABC内接于⊙O，AD是直径，若∠ACB=40°，则∠BAD的度数为（　　）
A. 20°
B. 25°
C. 50°
D. 60°
7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若AD=9，BD=4，则线段CD的长为（　　）
A. 36
B. 13
C. 5
D. 6
8.二次函数y=-x2+2x+c的图象过点（3，0），则下列判断中正确的是（　　）
A. 函数图象的对称轴为直线x=-1 B. 图象与x轴的另一个交点为（-2，0）
C. 函数的最大值为3 D. 当x≥2时，y随x的增大而减小
9.如图，图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图②是其局部放大示意图，由正十二边形、正六边形和正方形构成，其中边AD的延长线与对角线BC交于点E，则∠AEC的度数为（　　）
A. 100° B. 105° C. 110° D. 115°
10.如图①，在四边形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，AB=4cm,BC=6cm,点P从点B出发沿B→A→D→C以2cm/s的速度匀速运动至点C，点Q同时从点C出发沿C→B以1cm/s的速度匀速运动至点B，规定其中一个动点达到终点时，另一个动点也随之停止运动.设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），图②是点P，Q运动时，y随时间x变化的函数图象，则下列说法正确的是（　　）
A. AD=2 B. CD=5 C. m=6 D. 当y=5时，x=3.5
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.sin30°= ．
12.对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下：
抽取件数（件） 50 100 500 1000 3000
合格频数 49 97 481 960 2880
合格频率 0.980 0.970 0.962 0.960 0.960
根据表中的数据，估计出售5000件衬衣，其中合格产品约有 件.
13.如图，是一根水平放置的圆柱形排水管的截面图.已知水面宽AB为16cm,水的最大深度CD为4cm,则排水管截面的半径为 cm.
14.已知二次函数和一次函数y2=2x+2a（a是常数）的图象交于两个不同的点A，B，若点A的横坐标是-1，则点B的横坐标是 .
15.如图，△ABC是一个等边三角形，分别以三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三条圆弧围成的封闭图形就是莱洛三角形.已知AB=4，则莱洛三角形（阴影部分）的面积为 .
16.如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，AC为对角线，△ABC沿直线AC翻折得到△AB′C，AB′交CD于点E，连结BB′分别交CD，AC于点F，G.已知AB=13，AG=2CG=12，则线段BG= ，△B′EF的周长为 .
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知二次函数y=x2+bx-6的图象经过点（1，-4）.
（1）求b的值.
（2）求该函数图象与x轴的交点坐标.
18.(本小题8分)
把六张仅有编号不同的卡片分成A，B两组，A组的三张卡片编号分别是1，2，3，B组的三张卡片编号分别是4，5，6.若分别从这两组卡片中各随机抽取一张，求抽到的编号都是奇数的概率.
19.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABO绕原点O顺时针旋转90°得到△A′B′O（点A′，B′分别是点A，B的对应点）.已知点A（-3，1），B（-1，2）.
（1）在坐标系中画出旋转后的△A′B′O.
（2）直接写出点A′，B′的坐标.
（3）在这个旋转过程中，求点B经过的路径的长.
20.(本小题8分)
数学兴趣小组的同学通过观察生活中的现象，抽象出数学问题，再用所学的数学知识来解决问题.小明、小亮准备测量一个热气球的高度，如图，他们分别在点B，C处同时测得热气球A的仰角∠ABD=45°，∠ACD=60°，BC=16m,点B，C，D在地面的同一条直线上，AD⊥BD于点D.（测角仪的高度忽略不计），求热气球离地面的高度AD.
21.(本小题8分)
如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点C为的中点，连结OC.已知AD=2，AB=6.
（1）求证：AD∥OC.
（2）求弦BC的长.
22.(本小题10分)
综合与实践
【问题背景】
在学习了图形的旋转后，数学课上同学们围绕以下问题展开讨论：如图①，△ABC绕点A逆时针旋转α度（0°＜α＜180°）得到△AB′C′（点B，C的对应点分别为点B′，C′），连结BB′，CC′.同学们发现：△ABB′∽△ACC′.
【类比探究】
（1）芳芳将上述问题一般化后，提出了新的问题：如图②，已知△ABC∽△AB′C′，△AB′C′可以看成是△ABC绕点A逆时针旋转α度（0°＜α＜180°），再进行相似变化得到的，连结BB′，CC′.
①△ABB′和△ACC′是否仍然相似？如果相似，请证明；如果不相似，请说明理由.
②若∠BAC=90°，AB=3，BC=5，求BB′：CC′的值.
【拓展应用】
（2）如图③，四边形ABCD为正方形，△AEF在正方形内部（不包括边上），AE=EF，∠AEF=90°，∠BAF＜∠BAE，连结DE，CF，求CF：DE的值.
23.(本小题10分)
设二次函数y=ax2+bx-3（a,b是常数，a≠0），部分对应值如表：
x … -1 0 1 2 4 …
y … p -3 m -3 q …
（1）当m=-5时，
①求a,b的值.
②若点A（t,y1），B（t+2，y2）在函数图象上，当t＞0时，比较y1，y2的大小.
（2）若p-q＞10，求a的取值范围.
24.(本小题12分)
如图①，⊙O的直径DF交弦AB于点M，AM=BM，连结AD，过点B作BC⊥AD于点C，BC交OF于点E，连结CO.
（1）求证：△ADM∽△EBM.
（2）求证：EM=MF.
（3）如图②，若CO⊥DF，⊙O的半径为4，求EM的长.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】
12.【答案】4800
13.【答案】10
14.【答案】3
15.【答案】8π-8
16.【答案】5
9

17.【答案】1 （-3，0），（2，0）
18.【答案】．
19.【答案】如图，△A′B′O即为所求 点A′（1，3），B′（2，1）； B经过的路径的长==π
20.【答案】热气球离地面的高度AD为（24+8）m．
21.【答案】证明：连接BD交OC于点J．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵点C是的中点，
∴OC⊥DB，
∴∠OJB=∠ADB=90°，
∴AD∥OC 解：∵∠ADB=90°，AB=6，AD=2，
∴BD===4，
∵点C是的中点，
∴OC⊥DB，DJ=JB=DB=2，
∵AO=OB，DJ=JB，
∴OJ=AD=1，
∵OC=AB=3，
∴CJ=3-1=2，
∴BC===2
22.【答案】①△ABB'∽△ACC'，理由如下：
∵△ABC∽△AB′C'，
∴∠BAC=∠B′AC'，，
∴∠BAB′=∠BAC-∠B′AC=∠B′AC'-∠B′AC=∠CAC'，
∴△ABB′∽△ACC'；②BB'：CC'=3：4 CF：DE=
23.【答案】①a=2，b=-4；②y1＜y2 a＜-2
24.【答案】证明：∵AM=BM，且DF为直径，
∴DM⊥AB，即∠AMD=∠EMB=90°，
∵BC⊥AD，
∴∠BCD=90°=∠EMB，
∵∠CED=∠BEM，
∴∠D=∠B，
∴△ADM∽△EBM 证明：连接BF，
∵=，
∴∠D=∠ABF，
由（1）知∠D=∠EBM，
∴∠EBM=∠FBM，
∴∠BEM=∠BFM，
∴BE=BF，
∵BM⊥EF，
∴EM=MF EM=6-2
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