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2025-2026学年云南省昆明市官渡区九年级（上）期末数学试卷（一）
一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“杨辉三角”“洛书”“赵爽弦图”“中国七巧板”四个图形中，属于中心对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
2.下列事件，是必然事件的是（　　）
A. 任意画一个三角形，其内角和是180° B. 足球运动员射门一次，球射进球门
C. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 D. 随意翻开一本书，这页的页码是奇数
3.下列函数中，y是x的二次函数的是（　　）
A. y=3x B. y=x2-3 C. y=2x+1 D.
4.一元二次方程5x2-4x-1=0的根的情况是（　　）
A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根
5.关于反比例函数，下列说法正确的是（　　）
A. 点（-1，6）在该函数的图象上 B. 图象位于第二、四象限
C. 当x＞0时，y随x的增大而减小 D. 当x＞0时，函数值y＜0
6.已知（-1，y1），（1，y2），（4，y3）是抛物线y=-（x-1）2+2上的点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A. y1＜y2＜y3 B. y1＜y3＜y2 C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y1＜y2
7.一个不透明的袋子里装有红球和白球共15个，它们除颜色外完全相同，每次搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复，统计红球出现的频率如图，则红球的个数最可能是（　　）
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
8.苯（C6H6）的环状结构模型由德国化学家奥古斯特 凯库勒于1865年提出，该模型为有机化学中芳香族化合物的研究奠定了重要基础.随着研究的不断深入，发现一个苯分子中6个碳原子形成了正六边形的结构，如图1.其示意图如图2，点O为该正六边形的中心，连接OB，若OB=1，则相邻两个碳原子的核间距（即正六边形的边长）为（　　）
A. 1 B. C. D. 2
9.如图， ABCD中，点E在AD边上，AC与BE交于点O，若AE：AD=1：3，则△AOE与△COB的面积之比为（　　）
A. 1：9 B. 1：4 C. 1：3 D. 1：2
10.傣族剪纸是第一批国家级非物质文化遗产.它的内容丰富多样，包括花鸟鱼虫、人物故事、民间传说等，反映了傣族人民对美好生活的向往和追求.如图，在一幅长80cm,宽50cm的傣族剪纸的四周镶一条金色纸边（纸边宽度相同），制成一幅面积为5400cm2的挂图.设金色纸边的宽度为x cm,根据题意可列方程为（　　）
A. （50+x）（80+x）=5400 B. （50-x）（80-x）=5400
C. （50+2x）（80+2x）=5400 D. （50-2x）（80-2x）=5400
11.如图，以O为中心点的量角器与直角三角板ABC摆放在一起，量角器与三角板有且只有一个公共点P.若三角板的直角顶点B落在量角器零刻度线所在直线DE上，且∠POB对应的读数为37°，则∠CBD为（　　）
A. 27° B. 37° C. 43° D. 53°
12.如图，已知∠1=∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　）
A. ∠B=∠ADE
B. ∠C=∠E
C.
D.
13.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC=125°，则∠AOC的度数是（　　）
A. 100°
B. 110°
C. 120°
D. 125°
14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以A为圆心，AC的长为半径画弧交AB于点D.若∠B=30°，AC=2，则阴影部分面积是（　　）
A.
B.
C.
D.
15.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　）
①abc＞0；
②2a+b=0；
③b2-4ac＜0；
④3a+c＜0；
⑤a+b≤am2+bm（m是任意实数）.
A. ①②⑤
B. ①③④
C. ②③④
D. ①②④⑤
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。
16.在平面直角坐标系中，点A（3，-2）关于原点对称的点的坐标为 .
17.已知x=1是方程x2+mx-3=0的一个根，则m的值为______．
18.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，若AD=4，BD=2，DE=3，则BC= .
19.如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，则这个圆锥侧面展开图的圆心角为______．
三、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题7分)
解方程：
（1）x2-4x-3=0；
（2）（x-5）2=2x（5-x）.
21.(本小题6分)
如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（-2，0），B（-5，-3），C（0，-5）.
（1）画出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△AB1C1，并写出C1的坐标；
（2）求在（1）中C点旋转到C1点所经过的路径长（结果保留π）.
22.(本小题7分)
2025年9月3日上午，为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，在北京天安门广场举行了隆重的阅兵仪式.仪式中，空中无人作战群的装备备受关注.小昆收集了3张空中无人作战装备模型的卡片：A察打一体无人机、B无人僚机、C舰载无人直升机.将这3张卡片（形状、大小、质地都相同）放在一个不透明的盒子中摇匀.小昆先从中随机抽出一张卡片，记下结果，放回，摇匀后小明再从中随机抽出一张.
（1）小昆恰好抽到A察打一体无人机的概率为______；
（2）用列表法或画树状图法，求小昆与小明都抽到C舰载无人直升机的概率.
23.(本小题6分)
文物修复师在修复破损文物时，经常通过几何推理还原其原貌.如图1，某修复师修复一件破碎的古代瓷器束口盏（盏口原貌为圆形）时，仅凭一块碎片便能推算出其原始口径尺寸.图2是修复师根据碎片切面绘制的几何示意图：碎片边缘为圆弧AB，设圆弧所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB于D，连接OB.已知 AB=12cm,CD=2cm,求盏口半径OB的长度.
24.(本小题8分)
1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长，这就导致人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿直线前进，但实际上走的是一个大圆圈!这就是有趣的“瞎转圈”现象.某学校数学兴趣小组通过实验发现，人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y米与其两腿迈出的步长之差x厘米（x＞0）拟合后的函数为反比例函数，其图象如图所示.请根据图象中的信息解决下列问题：
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若小昆两腿迈出的步长之差为0.5厘米，则他蒙上眼睛走的大圆圈的半径为多少米？
（3）若小明蒙上眼睛走的大圆圈的半径不小于70米，求其两腿迈出的步长之差x的取值范围.
25.(本小题8分)
根据素材，完成任务1和任务2.
背景 2025年智能电动车市场火热，国产品牌比亚迪凭借其亲民的价格和实用的智能配置成为国民最爱.
素材1 比亚迪秦系列2025年9月交付量为32000辆，10月、11月保持相同的增长率，11月交付量达38720辆.
素材2 比亚迪秦系列某款电动车，现在的售价为每辆8万元，每月基础销量为400辆.市场调查反映，售价每降低0.1万元，月销量可增加100辆.已知这款电动车进价为每辆6.8万元.
问题解决
任务1 根据素材1，求这两个月该系列电动车交付量的月平均增长率.
任务2 根据素材2，求当这款电动车售价为多少时，月销售利润最大，最大利润是多少？
26.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，点（2，3）在抛物线E：y=ax2+bx+3上.
（1）求抛物线E的对称轴；
（2）若抛物线E经过点（1，2），将抛物线E向右平移m（m＞0）个单位长度后得到抛物线F.当0≤x≤3时，抛物线F上对应最高点与最低点的高度差为4，求m的值.
27.(本小题12分)
如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，直径为10，过点D作DP⊥AB交BA的延长线于点P，AD平分∠PAC.
（1）在图1中，若AC是⊙O的直径，求证：PD是⊙O的切线；
（2）在（1）的条件下，若PD=3PA，求线段AD的长；
（3）在图2中，若BC=CD，求AB+AD的最大值.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】A
10.【答案】C
11.【答案】B
12.【答案】D
13.【答案】B
14.【答案】D
15.【答案】D
16.【答案】（-3，2）
17.【答案】2
18.【答案】
19.【答案】120°
20.【答案】x1=2+，x2=2- x1=5，x2=
21.【答案】如图，△AB1C1即为所求，C1的坐标（3，2）； C点旋转到C1点所经过的路径长==π
22.【答案】
23.【答案】盏口半径OB的长度为10cm．
24.【答案】y与x之间的函数表达式为y= 当某人迈出的步长差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米 某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是0.2厘米
25.【答案】任务1：从9月份到11月份该系列电动车交付量的月平均增长率为10%；
任务2：当这款电动车售价为7.6万元时，月销售利润最大，最大利润是640万元．
26.【答案】直线x=1 m的值为1
27.【答案】证明：连接OD，如图，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠PAC，
∴∠OAD=∠PAD，
∴∠PAD=∠ODA，
∴OD∥PB，
∵DP⊥AB，
∴OD⊥PD，
∵OD为⊙O的半径，
∴PD是⊙O的切线 线段AD的长为 AB+AD的最大值为10
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