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2025-2026学年四川省成都实验外国语学校西区学校百人计划班九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列式子中是一元二次方程的是（　　）
A. x2-9 B. x2-x+2=（x+1）2
C. D.
2.榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件.燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯形，形似燕尾.如图是燕尾榫的带榫头部分，它的俯视图是（　　）
A.
B.
C.
D.
3.一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同.将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中.不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有60次摸到红球.请你估计这个口袋中红球的数量是（　　）
A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个
4.如图，在△ABC中，BC=15，D，E，F分别是AB，AC，BC上的点，且DE∥BC，EF∥AB，若AD：DB=2：3，则线段BF的长为（　　）
A. 10
B. 9
C. 6
D. 5
5.如图，在直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则tan∠BCD的值是（　　）
A. B. C. D.
6.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD.若∠BAC=28°，则∠D的度数是（　　）
A. 56°
B. 58°
C. 60°
D. 62°
7.对于反比例函数，下列说法正确的是（　　）
A. 图象分布在第一、三象限
B. 图象经过点（1，1）
C. 过图象上任一点P分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为1
D. 若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2
8.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）abc＞0；（2）4a+b=0；（3）9a+c＞3b；（4）若点A（-3，y1）、点、点在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共10小题，共65分。
9.已知关于x的方程3x2+kx-18=0的一个根是2，则另一个根为 .
10.2024年，四川天府新区A4美术馆入选法国凡尔赛建筑奖《2024全球最美七大博物馆》.我们知道在美术作品中常常会运用“黄金分割”，以突出画面焦点，如图，若点C可看作是线段AB的黄金分割点（AC＜BC），AB=20cm,则BC的长为 cm.（结果保留根号）
11.已知m,n是方程x2-5x+2=0的两个不相等的实数根，则m2-4m+n+mn= .
12.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCO的顶点O是坐标原点，，顶点A在反比例函数的图象上，若菱形ABCO的周长为8，则k的值为 .
13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD为△ABC的角平分线，按以下步骤作图：①分别以点C，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点；②作直线MN分别交边AC，BC于点E，F，连接DE，DF.若BF=2，则线段DF的长为 .
14.若（x2+y2）（x2+y2-1）-12=0，则x2+y2的值是 .
15.如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖1次（假设每次飞镖均落在游戏板上），击中阴影部分的概率是 .
16.已知方程x2-2ax+a2-4=0的一个实根小于2，一个实根大于3，则实数a的取值范围是 .
17.如图，关于x的函数y的图象与x轴有且仅有三个交点，分别是（-3，0），（-1，0），（3，0），对此，小华认为：①当y＞0时，-3＜x＜-1；②当x＞-3时，y有最小值；③点P（m,-m-1）在函数y的图象上，符合要求的点P只有1个；④将函数y的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点.其中正确的结论有 .
18.若实数x、y满足：，设p=x+y,则pmax= .
三、解答题：本题共8小题，共53分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算：
（1）x2+5x=3（x+5）；
（2）x2-4x-5≤0；
（3）；
（4）.
20.(本小题3分)
2025年是农历“双春年”（含两个立春节气），并包含“闰六月”，农历天数全年共384天.武侯区某校开展“数启双春，智绘华章”系列活动，设置以下四类项目：A.习俗调查；B.数据分析；C.画报制作；D.文创设计，现随机选取部分学生进行关于“你最感兴趣的项目”的调查，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表.
项目 人数
A 8
B x
C 12
D y
根据图表信息，解答下列问题：
（1）填空：本次调查的学生共有______人，表格中y的值为______；
（2）若该校共有学生1500人，请估计选择项目B的学生人数；
（3）在参与调查的学生中，选择项目B的男生和女生人数相同，现从中随机选取两人在活动总结大会上作交流分享，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到一名男生和一名女生的概率.
21.(本小题3分)
如图，将高度AC为20cm的长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽上边沿A处投射到底部B处.向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时停止注水，光线射到水面O处后发生折射落到底部D处.已知∠A=45°，直线N′N为法线，∠DON=32.1°，求B，D两点之间的距离.（结果精确到0.1cm；参考数据：sin32.1°≈0.531，cos32.1°≈0.847，tan32.1°≈0.627）
22.(本小题3分)
如图，点C在以AB为直径的半圆O上，连接AC，BC，过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D，在上取点E，使，连接BE，交AC于点F.
（1）求证：BE∥CD；
（2）若sinD=，BD=1，求半圆O的半径及EF的长.
23.(本小题9分)
如图，一次函数的图象交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点C，AB：BC=2：1.在x轴的正半轴上有一点D，且OD=2OA，连接CD.
（1）求点C的坐标和反比例函数的解析式；
（2）点E是线段BC延长线上一点，连接DE，满足S△DCE=3S△AOB，求出点E的坐标；
（3）在直线上是否存在点P，使得∠PDC+∠ADC=45°，若存在，请直接写出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由.
24.(本小题9分)
（1）已知不等式ax2-5x+b＞0的解集为{x|-3＜x＜2}，求不等式bx2-5x+a＞0的解集；
（2）已知t2-3t+2≥mt,对任意的2≤t≤4恒成立，求实数m的取值范围.
25.(本小题10分)
【情景导入】
探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某校数学社团小组在探究矩形性质时发现：当动点在线段上运动时，某些线段的比例关系会呈现规律性变化.
在矩形ABCD中，连接AC，AB=2，，点P是边BC边上的一点，且（n为正整数），连接BP交AC于点Q，E为AD边上一动点，过点Q作QE的垂线交直线CD于点F，该小组对此展开如下探究：
【任务分层】
（1）任务一：基础研究
如图1，当n=1时，该小组发现，如果过点Q作矩形AD和CD边的垂线，通过构造相似，可以得到的比值，请你根据该小组的探究方法，直接写出的比值______.
（2）任务二：综合探究
①如图2，当时，该小组利用任务一中的方法，由特殊到一般探究的比值，直接写出的比值______.（用含n的代数式表示）
②当n=2时，以QE，QF为边作矩形QFME，若∠AQE=30°，求MD的长.
（3）任务三：创新应用
如图4，以QE，QF为边作矩形QFME，连接QM，当点E从点A运动到点D时，求对角线QM扫过的面积.（用含n的代数式表示）
26.(本小题10分)
抛物线C1：y=x2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左边），已知A坐标（-2，0），抛物线交y轴于点C（0，-8）.
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图1，点F在抛物线段BC上，过点F作x轴垂线，分别交x轴、线段BC于D、E两点，连接CF，若△BDE与△CEF相似，求点F的坐标；
（3）如图2，将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点.直线y=2x与抛物线交于O、G两点，过OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C2于M、N两点，直线MO与直线GN交于点P.问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由.

1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】-3
10.【答案】（）
11.【答案】5
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】4
15.【答案】
16.【答案】1＜a＜4
17.【答案】②④
18.【答案】
19.【答案】x1=-5，x2=3 -1≤x≤5 x＞2或x≤-1
20.【答案】解：（1）40，16；
（2）B项目的学生人数为x=40-8-12-16=4（人），所占的百分比为×100%=10%，
∴1500×10%=150（人），
∴估计选择项目B的学生人数为150人；
（3）∵选择项目B的男生和女生人数相同，
∴记两名男生为A，B，记两名女生为C，D，
画出树状图如下：
∴一共有12种情况，其中恰有一男一女的有8种，
∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率为=．
21.【答案】B，D两点之间的距离约为3.7cm．
22.【答案】（1）证明：连接OC，则OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D，
∴OC⊥CD，
∴∠BCD+∠OCB=90°，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
∴∠OCA=∠BCD，
∴∠CAB=∠BCD，
∵，
∴∠CAE=∠CAB=∠BCD，
∵∠CAB=∠EBC，
∴∠EBC=∠BCD，
∴BE∥CD；
（2）解：设半圆O的半径为r,则OC=OB=r,
∵BD=1，
∵OD=r+1，
∵OC⊥CD，
∴，
∴r=2，即半圆O的半径为2，
∴AB=2r=4，
连接AE，则：∠AEB=90°，
∵BE∥CD，
∴∠ABE=∠D，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴∠EAF=∠BAF，
∴AF平分∠BAE，
∴F到AE，AB的距离相等，都等于EF的长，
∴，
∴，
∴，
∴．
23.【答案】解：（1）对于y=1/2x+2，当x=0时，y=2，当y=0时，x=-4，
∴点A（-4，0），点B（0，2），
∴AB==，
∵点C在直线上，且在第一象限，
∴设，其中t＞0，
∴BC==，
∵AB：BC=2：1，
∴AB=2BC，
∴，
解得：t=2，
当t=2时，，
∴点C的坐标为（2，3），
又∵点C（2，3）在反比例函数（k＞0）的图象上，
∴k=2×3=6，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）过点C作CM⊥x轴于M，过点E作EN⊥x轴于N，如图1所示：
∵点A（-4，0），点B（0，2），
∴OA=4，OB=2，
∴S△AOB=OA OB=×4×2=4，
∴S△DCE=3S△AOB=12，
∵OD=2OA，
∴OD=8，
∴点D（8，0），AD=OA+OD=12，
∵点C（2，3），
∴CM=3，
∴S△ACD=AD CM=×12×3=18，
∵点C在直线上，且在线段BC的延长线上，
设点，其中a＞0，
∴EN=，
∴S△AED=AD EN==3a+12，
∵S△AED=S△ACD+S△DCE，
∴3a+12=18+12，
解得：a=6，
当a=6时，，
∴点E的坐标为（6，5）；
（3）存在，有以下两种情况：
①当点P在AC的延长线上时，过点P作PH⊥x轴于H，如图2所示：
∵∠PDC+∠ADC=45°，
∴∠PDH=∠PDC+∠ADC=45°，
∴△PHD是等腰直角三角形，
∴设PH=HD=m,
则点P的纵坐标为m,
对于，当y=m时，，
∴x=2m-4，
∴点P（2m-4，m），
∴OH=2m-4，
∴OD=OH+HD=2m-4+m=3m-4，
∵OD=8，
∴3m-4=8，
解得：m=4，
当m=4时，2m-4=4，
∴点P的坐标为（4，4）；
②当点P在线段AC上时，设为P'，过点P'作P'K∥CD交PD的延长线于点K，如图3所示：
设点P'的坐标为，其中b＜2，
∵∠P'DC+∠ADC=45°，∠PDC+∠ADC=45°，
∴∠P'DC=∠PDC，
即CD是∠P'DP的平分线，
∵P'K∥CD，
∴∠DP'K=∠P'DC，∠K=∠PDC，
∴∠DP'K=∠K，
∴P'D=DK，
∵P'K∥CD，
∴PC/P'C=PD/DK，
∴PC/P'C=PD/P'D
∴PC P'D=PD P'C，
∵点P（4，4），点C（2，3），点D（8，0），，
∴PC==，PD==，
又∵P'C=√（=，P'D==，
∴=，
整理得：3b2-8b-16=0，
解得：，b=4（不合题意，舍去），
当时，，
∴点P'的坐标为，
综上所述：点P的坐标为（4，4）或．
24.【答案】或 m≤0
25.【答案】；
①；②；
．
26.【答案】解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y=x2-2x-8；
（2）∵F是直线x=t与抛物线C1的交点，
∴F（t,t2-2t-8）．
①如图，若△BE1D1∽△CE1F1时．
则∠BCF1=∠CBO，
∴CF1∥OB．
∵C（0，-8），
∴t2-2t-8=-8．
解得：t=0（舍去）或t=2．
②如图，若△BE2D2∽△F2E2C时．
过F2 作F2T⊥y轴于点T．
∵∠BCF2=∠BD2E2=90°，
∴∠CBO+∠BCO=90°，∠F2CT+∠BCO=90°，
∴∠F2CT=∠OBC，
又∵∠CTF2=∠BOC，
∴△BCO∽△CF2T，
∴，
∵B（4，0），C（0，-8），
∴OB=4，OC=8．
∵F2T=t,CT=-8-（t2-2t-8）=2t-t2，
∴，
∴2t2-3t=0，
解得：t=0（舍去）或，
综上，符合题意的t的值为2或，
则点F的坐标为：（2，-8）或（，-）；
（3）点P在一条定直线上．
由题意知抛物线C2：y=x2，
∵直线OG的解析式为y=2x,
∴G（2，4）．
∵H是OG的中点，
∴H（1，2）．
设M（m,m2），N（n,n2），
由点M、N第坐标得，直线MN的解析式为y=（m+n）x-mn.
∵直线MN经过点H（1，2），
∴mn=m+n-2．
同理，直线GN的解析式为y=（n+2）x-2n；直线MO的解析式为y=mx.
联立上述两式得：（n+2）x-2n=mx,
∵直线OM与NG相交于点P，
∴n-m+2≠0．
则x=，则y=，
∵mn=m+n-2，
∴P（，）．
设点P在直线y=kx+b上，则=k×+b,
整理得，2m+2n-4=2kn+bn-bm+2b=-bm+（2k+b）n+2b,
比较系数，得：2=-b且2=2k+b,
∴k=2，b=-2．
∴当k=2，b=-2时，无论m,n为何值时，等式=k×+b恒成立．
∴点P在定直线y=2x-2上．
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