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2025-2026学年湖北省武汉市东湖开发区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.不透明的袋子中只有2个黑球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出2个球，下列事件是不可能事件的是（　　）
A. 2个球都是黑球 B. 2个球都是白球 C. 2个球中有黑球 D. 2个球中有白球
2.下列图形中，属于中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
3.⊙O的半径是8cm,圆心O到直线a的距离为4cm,直线a与⊙O的公共点个数是（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2
4.一元二次方程-x2+4x=-3的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是（　　）
A. x1+x2=-4 B. x1+x2=-3 C. x1x2=-4 D. x1x2=-3
5.关于抛物线，下列说法正确的是（　　）
A. 开口向上
B. 对称轴是直线x=3
C. 顶点坐标是（-3，-6）
D. 可由抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度得到抛物线C1
6.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=BC，连接BD，若∠ABC=72°，则∠BDC的度数是（　　）
A. 64°
B. 59°
C. 54°
D. 52°
7.俗语“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看”.其意思是：知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比均为x,根据“两天不练丢一半”，可列方程是（　　）
A. （1-x）2=50% B. （1+x）2=50% C. 1-x2=50% D. 1-2x=50%
8.李明了解了祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶这5位著名数学家的生平，准备在一节数学课上随机选取其中两位的成就进行分享，选到赵爽、杨辉两位数学家的概率是（　　）
A. B. C. D.
9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，⊙O是△ABC的内切圆，半径为2，则图中阴影部分的面积是（　　）
A. 24-4π
B. 20-3π
C. 48-3π
D. 48-4π
10.如图，黄金矩形ABCD中，，以宽AB为边在其内部作正方形ABFE，得到四边形CDEF是黄金矩形.依此作法，四边形DEGH，四边形KEGL也是黄金矩形.依次以点E，G，L为圆心作，，曲线AFHK叫做“黄金螺线”.若AD=2，则“黄金螺线”AFHK的长是（　　）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.平面直角坐标系内，点P（2，-3）关于原点对称的点的坐标是 .
12.“头盔是生命之盔”.某市质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如下表：
抽查的头盔数 100 200 300 500 800 1000 3000
合格的头盔数 97 196 295 489 785 981 2940
合格头盔的频率 0.970 0.980 0.983 0.978 0.981 0.981 0.980
若该工厂生产10000个头盔，可估计合格的头盔数有 个.
13.半径为2的正十二边形中心角的度数是 ，每一个内角的度数是 ，面积是 .
14.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在上，CD⊥AB.“会圆术”给出长l的近似值l计算公式：，当OA=2，CD=2-时，l= .
15.如图，△ABC是等边三角形，，点D在AB上，BD=1，E是AC中点，将线段BD绕点B旋转，点D的对应点为F，连接AF、EF，当△AEF为直角三角形时，AF的长是 .
16.已知二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数且a≠0）的自变量x与函数y的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … m -4 n -4 k …
其中0＜m＜2.以下结论：
①abc＜0；
②若抛物线经过点（-1，y1），（6，y2），则y2＞y1；
③当m=1，t≤x≤t+2时，y的最小值是1，则t=2或4；
④；
⑤关于x的方程|ax2+bx+c|-k=0有两个不相等的实数根.
其中正确的是 .（填写序号）
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
若关于x的一元二次方程x2+bx-6=0有一个根是x=2，求b的值及方程的另一个根.
18.(本小题8分)
如图，等腰Rt△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD绕点B顺时针方向旋转90°，得到△CBE.
（1）求∠DCE的度数；
（2）若AD=1，CD=3，求BD的长.
19.(本小题8分)
有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着数字1、2、3、4.
（1）随机抽取一张卡片，直接写出“抽取数字2的卡片”的概率；
（2）随机抽取一张后，放回并混在一起，再随机抽取一张，用列表或画树状图法，求出“第二次抽取的数字小于第一次抽取的数字”的概率.
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，延长CA交⊙O于点F，连接BF.
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若BD=5，BF=6，求⊙O的半径.
21.(本小题8分)
如图是由小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫作格点，⊙O过格点A，B，C.仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题.
（1）如图（1），先画圆心O，再在⊙O上画点D，使；
（2）如图（2），点M是⊙O上一点，先画点B关于直线AC的对称点E，再在⊙O上画点N，使MN∥BE.
22.(本小题10分)
某校大课间开展“抛沙包游戏”的综合实践活动.
【研究背景】活动中，小明、小亮、小红站在同一条直线上，其中小明抛沙包，小红接沙包，小亮在两人之间拦截，将沙包看作一个点，沙包的运行路线可近似看作是一条抛物线.
【探究发现】如图，以小明站立的位置为原点，三人所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，沙包飞行的高度记为y（单位：m），沙包距小明的水平距离记为x（单位：m），沙包的运行路线可以近似看作是抛物线的一部分，如果小明在A（0，2）处将沙包抛给小红，小红恰好在B（7，c）处接到沙包.
【建立模型】（1）求y与x的函数解析式（不要求写自变量取值范围）.
【应用模型】（2）小亮竖直跳起，拦截的最大高度为2m,求小亮拦截沙包成功的运动范围.
（3）如果小红在B处接到沙包后，原地将沙包回传，回传沙包的运行路线可以近似看作是抛物线的一部分，在小亮到小红的水平距离是1m时，小亮正上方飞行沙包的高度超过1.75m；回传沙包到达其飞行的最高点时，沙包离站在原地的小明的水平距离不足3m.求k的取值范围.
23.(本小题10分)
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A逆时针旋转（0°＜α＜180°）得到△ADE，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E.
（1）如图（1），若BC的延长线交DE于点F.求证：FC=FE；
（2）连接BD，EC.
①如图（2），延长EC交BD于点G，求证：点G是BD的中点；
②如图（3），EC与BD，AD分别交于点G，K.若AD∥BC，，请直接写出的值.
24.(本小题12分)
抛物线与x轴交于A，B两点，与直线y=-x+1交于B，C两点.
（1）求点C的坐标；
（2）如图（1），若点D在抛物线L1上，且满足DB=DC，求点D的横坐标；
（3）如图（2），将抛物线L1向右平移得到抛物线L2，使抛物线L2的顶点E在y轴上.直线y=mx与抛物线L2交于F，G两点，直线y=nx分别交直线EF，EG于点M，N.若OM=ON，试探究m与n的数量关系.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】（-2，3）
12.【答案】9800
13.【答案】30°
150°
12

14.【答案】
15.【答案】或
16.【答案】①②④
17.【答案】解：设方程的另一个根为t,
根据根与系数的关系得2+t=-b,2t=-6，
解得t=-3，b=1，
即b的值为1，方程的另一个根为-3．
18.【答案】∠DCE=90°
19.【答案】
20.【答案】连接OD，
∴OD=OB，
∴∠ODB=∠ABC（等边对等角），
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC（等边对等角），
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC（同位角相等，两直线平行），
∵DE⊥AC于点E，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线
21.【答案】
22.【答案】 6≤x＜7
23.【答案】如图1，连接AF，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转（0°＜α＜180°）得到△ADE，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，
∴AC=AE，∠ACB=∠E=90°，
∴∠ACF=∠E=90°，
在Rt△ACF和Rt△AEF中，
，
∴Rt△ACF≌Rt△AEF（HL），
∴FC=FE ①如图2，过点D作DH∥BC交CG延长线于点H，
∵DH∥BC，
∴∠H=∠BCG，
由旋转可得，AC=AE，∠ACB=∠AED=90°，DE=BC，
∴∠ACE=∠AEC，∠ACE+∠BCG=∠AEC+∠GED=90°，
∴∠BCG=∠GED，
∴∠H=∠GED，
∴DH=DE，
∴DH=BC，
在△BGC和△DGH中，
，
∴△BGC≌△DGH（AAS），
∴DG=BG，
∴点G是BD的中点；②的值为
24.【答案】C（-4，5） 或 m=2n
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