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2025-2026学年安徽省合肥市经开区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.若AB=13，BC=5，则sinA=（　　）
A.
B.
C.
D.
3.若反比例函数的图象经过第一、三象限，则k的取值范围是（　　）
A. k≥3 B. k＜3 C. k≤3 D. k＞3
4.已知关于x的二次函数y=（x-2）2+1，下列结论错误的是（　　）
A. 开口向上 B. 对称轴为直线x=2
C. 最小值为1 D. 当x＜2时，y随x的增大而增大
5.如图1筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，筒车上均匀分布着若干个盛水筒.如图2，筒车⊙O按逆时针方向转动，与水面分别交于A、B，且，筒车的轴心O距离水面的高度OC长为2m,则筒车⊙O的半径为（　　）
A. B. 3m C. 4m D.
6.如图，点O为坐标原点，点B在x轴正半轴上，点A在双曲线上，且AO=AB，若 AOBC的面积为12，则k的值为（　　）
A. 24
B. 12
C. 6
D. 3
7.如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N.若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是（　　）
A. ∠B+∠4=180°
B.
C. ∠1=∠4
D.
8.二次函数y=ax2+bx+1的图象与一次函数y=2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A. B.
C. D.
9.已知抛物线y=x2+2bx+c（b,c为常数）经过点（-2，4），且不经过第三象限.当-5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，则b的值为（　　）
A. 3 B. 2 C. 3或1 D. 2或6
10.如图，动点P在等边△ABC的边AC上，AB=2，连接PB，AD⊥PB于点D，以AD为边在其右侧作等边△ADE，ED的延长线交BC于点F，连接PF，则下列结论错误的是（　　）
A. PB的最小值是
B. CD的最小值是
C. PF的最小值是1
D. EF的最大值是2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.若，则=______．
12.把抛物线y=2x2-3向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 .
13.如图，⊙O是边长为的等边三角形ABC的外接圆，点D是的中点，连接BD，CD.以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为 .
14.已知抛物线y=ax2-2a2x-3（a≠0）.
（1）当a=1时，抛物线在-2≤x≤3范围内的函数值的取值范围是 ；
（2）点A（3a,y1），B（n,y2）为抛物线上两点，若3＜n＜4，总有y1＞y2，则a的取值范围是 .
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算2sin260°+tan60° cos30°-cos45°．
16.(本小题8分)
如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（3，1），B（1，2），C（4，3）.
（1）以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC放大为原来的2倍得到△A1B1C1，作出△A1B1C1，写出A1，B1，C1的坐标；
（2）请用无刻度直尺在线段AC上作出点D，使得（保留作图痕迹）.
17.(本小题8分)
足球训练中球员从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米.现以O为原点建立如图所示直角坐标系.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）已知球门高OB为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）.
18.(本小题8分)
如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DE∥BC，.
（1）求证：DF∥BE；
（2）如果AF=4，EF=6，求AC的值.
19.(本小题10分)
如图，一次函数y=mx+n（m≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A（-3，a），B（1，3），且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D.
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象直接写出不等式的解集；
（3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得S△OCP=6S△OBD，求点P的坐标.
20.(本小题10分)
某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动.
活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD，其示意图如下：
测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上；
②过点E作GH⊥CE，并沿EH方向前进到点F，用皮尺测得EF的长为8米；
③在点F处用测角仪测得∠CFG=60.3°，∠BFG=45°，∠AFG=21.8°；
④用计算器计算得：sin60.3°≈0.87，cos60.3°≈0.50，tan60.3°≈1.75，sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40.
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：
（1）求线段CE和BC的长度；
（2）求底座的底面ABCD的面积.
21.(本小题12分)
如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE.
（1）求证：PC=PF；
（2）若AC=2BC，，求弦CE的长.

22.(本小题12分)
如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边上不与端点重合的一动点，点F是对角线BD上一点，连接BE，AF交于点O，且∠ABE=∠DAF.
【模型建立】
（1）求证：AF⊥BE；
【模型应用】
（2）若AB=2，AD=3，DF=BF，求DE的长；
【模型迁移】
（3）如图2，若矩形ABCD是正方形，DF=BF，求的值.
23.(本小题14分)
已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴为直线x=1，且与x轴交于点A（-1，0）、B两点，与y轴交于点C.
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）已知点P抛物线对称轴上一点，若S△PCA=4，求P点的坐标；
（3）若抛物线y=ax2+（b+m）x+3+n上仅存在一个点Q（x1，y1），使得2x1+y1=0，若0≤m≤2，求n的最大值.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】y=2（x+2）2-6
13.【答案】
14.【答案】-4≤y≤5
-3≤a＜0或

15.【答案】解：原式=2×（）2+×-×
=2×+-1
=-1
=3-1
=2．
16.【答案】△A1B1C1即为所求，则A1（6，2），B1（2，4），C1（8，6）； 点D即为所求．

17.【答案】解：（1）∵8-6=2，
∴抛物线的顶点坐标为（2，3），设抛物线y=a（x-2）2+3，
把点A（8，0）代入得：36a+3=0，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）当x=0时，
，
∴球不能射进球门．
18.【答案】证明：∵DE∥BC，
∴=，
∵=，
∴=，
∴=，
∵∠DAE=∠BAC，
∴△ADF∽△ABE，
∴∠ADF=∠ABE，
∴DF∥BE；
25
19.【答案】反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为y=x+2 -3≤x＜0或x≥1
20.【答案】14米；6米；
72平方米．
21.【答案】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∵PC是⊙O的切线，
则OC⊥PC，
∴∠PCO=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，
∴∠ACO=∠PCB，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠CAO=∠PCB，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACF=∠BCF，
∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF，
∴∠PFC=∠PCF，
∴PC=PF；
（2）解：如下图所示，连接OE，过点B作BM⊥CE于点M，
∵ 弦CE平分∠ACB，
∴ ，
∴∠BOE=2∠BCE=90°，△CBM是等腰直角三角形，
∴△BOE是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴AB=2OB=10，
在Rt△ABC中，AB=10，AC=2BC，
∴BC2+（2BC）2=102，
解得，
则，
∴，
∴．
22.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵∠ABE=∠DAF，
∴∠AOE=∠BAF+∠ABE=∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°，
∴AF⊥BE．
（2）解：如图1，延长AF交CD于点G，
∵GD∥AB，
∴△GDF∽△ABF，
∵DF=BF，AB=2，AD=3，
∴==，
∴GD=AB=×2=1，
∵∠BAE=∠ADG=90°，∠ABE=∠DAG，
∴=tan∠ABE=tan∠DAG==，
∴AE=AB=×2=，
∴DE=AD-AE=3-=，
∴DE的长是．
（3）解：如图2，延长AF交CD于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ADH=90°，
设AB=AD=2m,
∵HD∥AB，
∴△HDF∽△ABF，
∵DF=BF，
∴===，
∴HD=AB=×2m=m,
∴AH===m,
∴AF=AH=AH=×m=m,
∴==，
∴的值为．
23.【答案】解：（1）∵抛物线对称轴为直线x=1，且与x轴交于点A（-1，0）、B两点，
∴根据对称性可得B（3，0），故可设y=a（x+1）（x-3）=ax2-2ax-3a,
又∵抛物线y=ax2+bx+3，即-3a=3，
解得a=-1，
故抛物线解析式为y=-x2+2x+3，顶点坐标为（-1，4）；
（2）画出抛物线图象如图所示，A（-1，0）、C（0，3），
延长AC交直线x=1于点D，
由待定系数法可知直线AC的表达式为y=3x+3，故D（1，6）．
设P（1，p），
故S△PCA==，
可解得p=-2或14，
故P（1，-2）或（1，14）．
（3）由抛物线y=ax2+（b+m）x+3+n上仅存在一个点Q（x1，y1），使得2x1+y1=0，
则联立，
即方程ax2+（b+m+2）x+3+n=0只有两个相等实数根，
亦即方程-x2+（4+m）x+3+n=0只有两个相等实数根，
令Δ=0，即（4+m）2+4（3+n）=0，
整理可得n==，
当0≤m≤2时，即当m=0时，n有最大值-7．
第1页，共1页

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