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(共6张PPT)
浙教版2024 八年级下册
八年级数学下册第一次月考卷
（浙教版2024，测试范围：第1-2章）试卷分析
一、试题难度
二、知识点分布
一、单选题 1 0.94 一元二次方程的定义；由一元二次方程的定义求参数
2 0.94 求二次根式中的参数
3 0.85 由一元二次方程的解求参数
4 0.85 利用二次根式的性质化简
5 0.65 判断是否是一元二次方程的解；一元二次方程的根与系数的关系
6 0.65 公式法解一元二次方程；已知字母的值 ，求代数式的值
7 0.65 二次根式的应用；最简二次根式的判断；化为最简二次根式；二次根式的加减运算
8 0.65 二次根式的乘法；二次根式的除法
9 0.65 最简二次根式的判断
10 0.4 数字问题(一元二次方程的应用)；图形类规律探索
二、知识点分布
二、填空题 11 0.85 根据一元二次方程根的情况求参数
12 0.85 利用二次根式的性质化简
13 0.65 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
14 0.65 增长率问题(一元二次方程的应用)
15 0.65 二次根式有意义的条件；利用二次根式的性质化简；已知条件式，化简求值
16 0.65 二次根式的乘法；数字类规律探索
二、知识点分布
三、解答题 17 0.85 分式化简求值；解分式方程（化为一元一次）；二次根式的除法
18 0.65 公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
19 0.65 一元二次方程的定义；由一元二次方程的解求参数；由一元二次方程的定义求参数；因式分解法解一元二次方程
20 0.65 二次根式的应用；化为最简二次根式；二次根式的混合运算
21 0.65 一元二次方程的定义；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系；根据一元二次方程根的情况求参数
22 0.65 二次根式的乘法；二次根式的混合运算；分母有理化
23 0.65 利用二次根式的性质化简
24 0.4 几何问题(一元一次方程的应用)；动态几何问题(一元二次方程的应用)；求不等式组的解集；用勾股定理解三角形2025-2026学年八年级数学下学期第一次月考卷
（测试范围：八年级下册浙教版2024，第1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．为任意实数 B． C． D．
2．已知是整数，则满足条件的最小正整数n为 （ ）
A．5 B．3 C．4 D．2
3．若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
4．观察分析下列各数：，，，，，，根据其中的规律，则第个数是（ ）
A． B． C． D．
5．若，是一元二次方程的两个根，则：的值为（ ）
A． B．0 C．2 D．3
6．将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（）
A． B． C． D．
7．如图，长方形的宽为，长为，现从该长方形中剪下一个最大的正方形，剩余阴影部分（仍为长方形）的周长用最简二次根式表示为（ ）
A． B． C． D．
8．下列运算：①；②；③；④．（其中），正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，这是一个三角点阵，从上向下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……，第n行有n个点，前n行的点数之和不能是以下哪个结果（ ）
A．28 B．44 C．55 D．66
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为_________．
12．已知的结果为正整数，则正整数的最小值为_____________．
13．如图，在一块长12m、宽8m的长方形空地上修建同样宽的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为．设道路的宽为，根据题意，可列方程：______．
14．某直播间在双十一预售首日（10月20日）的销售额为5万元，由于推出“定金翻倍+跨店满减”活动，10月21日、22日的销售额日平均增长率为，到10月22日时，单日销售额已达11.25万元．则每日的平均增长率____．
15．若，则_____．
16．如图，将按下列方式排列．若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之积是___________．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．（1）先化简，再求值：，其中；
（2）解分式方程：．
18．解方程：
(1)；
(2)．
19．已知关于x的方程．
(1)若这个方程是一元二次方程，求m的值；
(2)若是它的一个根，求m的值．
20．如图，某居民小区有一块矩形绿地，绿地的长为，宽为．现要在该矩形绿地中修建一个矩形花坛（涂色部分），矩形花坛的长为，宽为．
(1)该矩形绿地的周长是多少（结果化为最简二次根式）？
(2)若除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为每平方米元的地砖，则铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？
21．已知关于的方程．
(1)小聪说：该方程一定为一元二次方程．小聪的结论正确吗？请说明理由．
(2)当时
①若该方程有实数解，求的取值范围．
②若该方程的两个实数解分别为和，满足，求的值．
22．先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：
(1)的有理化因式是________；
(2)化去式子分母中的根号：________；（直接写结果）
(3)利用你发现的规律计算下列式子的值：．
23．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，，，当且仅当时取等号，请利用上述结论解决以下问题：
(1)当时，当且仅当_____时，有最小值______．
(2)当时，求的最小值．
(3)请解答以下问题：
如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为米．若要围成面积为平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？
24．如图，在中，，点P从点A出发，以每秒的速度沿匀速运动，同时点Q从点B出发以每秒的速度沿匀速运动，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒．
(1)当时，直接写出P，Q两点间的距离．
(2)是否存在t，使得的面积是面积的？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
(3)当为直角三角形时，求t的取值范围．2025-2026学年八年级数学下学期第一次月考卷
（测试范围：八年级下册浙教版2024，第1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A C D B B B A B
1．C
本题考查一元二次方程的定义，根据题意要求二次项系数不为零，因此需满足．
解：∵ 方程是关于x的一元二次方程，
∴ 二次项系数，
故选择C．
2．B
是整数则一定是一个完全平方数，把3分解因数即可确定．
解：，而是整数，
的最小值是3．
故选：B．
本题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．
3．A
将已知根代入方程求出的值，再代入代数式计算即可求解.
解：是方程的根，
，
即，
，
．
4．C
先将原数列各项统一改写为二次根式形式，找出被开方数的规律，再计算第个数即可．
解：把原数列各数改写为二次根式可得：，，，，，，…，
∴第个数为，为正整数，
∴第个数为．
5．D
本题主要考查一元二次方程根与系数关系，解题的关键是熟记一元二次方程的两根为，，满足，．
先利用一元二次方程根的定义对所求代数式变形，再结合根与系数的关系计算结果．
解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∵，是一元二次方程的两个根，
∴，
∴．
故选：D．
6．B
本题考查求代数式的值，解一元二次方程．
利用已知方程得到，通过降次法将化简为，再结合求得的值，代入计算即可．
解：∵，
∴，
∴，
∴．
解方程得，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
7．B
根据题意可求出剪下一个最大的正方形的边长为，则可得到剩余阴影部分长方形的宽为，长为，即可求解．
解：长方形的宽为，长为，
∴剪下一个最大的正方形的边长为，
∴剩余阴影部分长方形的宽为，长为，
∴剩余阴影部分（仍为长方形）的周长为：，
故选：B．
本题考查了二次根式的应用，二次根式的加减运算和最简二次根式，掌握二次根式的计算方法是解题的关键．
8．B
本题考查了二次根式的乘除法．根据二次根式的乘法法则和除法法则进行计算，然后选择正确选项．
解：①，原计算错误；
②，原计算正确；
③，原计算错误；
④，原计算错误．
正确的只有②．
故选：B．
9．A
本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义逐一判断各选项即可，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
解：A、是最简二次根式，故选项符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、，故选项不符合题意；
D、，故选项不符合题意；
故选：A．
10．B
本题主要考查了一元二次方程的应用，求出前n行的点数之和是解题的关键．
先求出前n行的点数之和，再分别求出该代数式的值分别为28、44、55、66时n的值，再进行判断即可解答．
解：由题意可得：前n行的点数之和为，
A．当前n行的点数之和为28，则，解得：或（不合题意舍去），故A不符合题意；
B．当前n行的点数之和为44，则，解得：都不是整数，不可能，故B符合题意；
C．当前n行的点数之和为55，则，解得：或（不合题意舍去），故C不符合题意；
D．当前n行的点数之和为66，则，解得：或（不合题意舍去），故D不符合题意．
故选：B．
11．1
根据一元二次方程定义可得二次项系数不为0，由方程有两个相等的实数根可得根的判别式，联立求解即可得到的值．
解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，且，
整理得，
解得．
12．3
本题主要考查了化简二次根式，先利用二次根式的性质化简，根据化简结果为正整数的条件，确定需为完全平方数，进而求出正整数的最小值．
解：，
∵的结果为正整数，
∴是正整数，
∴是完全平方数，
∵n为正整数，
∴n的最小值为，
故答案为：3．
13．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
把所修的两条道路分别移到矩形的最上边和最左边，根据平行四边形与矩形面积公式可知：路的面积没变，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可．
解：∵道路的宽应为，
∴由题意得，，
故答案为：．
14．
本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件找出等量关系，列出方程是本题的关键．根据日平均增长率的定义，从10月20日到10月22日，销售额连续两天以相同比率增长，建立一元二次方程求解．
解：设日平均增长率为，
根据题意，得，
解得，
所以，（舍去）．
故答案为：．
15．2026
本题主要考查了二次根式有意义的条件、绝对值的性质及二次根式的运算，熟练掌握根据被开方数非负确定字母取值范围并化简绝对值是解题的关键．
先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再依据绝对值的性质化简方程，通过移项、两边平方求出的表达式，最终计算出目标代数式的值．
解：由有意义，得，
所以．
代入方程得
，即．
两边平方得，
所以．
因此，
故答案为：2026．
16．
根据所给排列方式，依次求出与所表示的数即可解决问题．
解：由所给图形可知，表示的数为．
又∵第1排有1个数，第2排有2个数，第3排有3个数，…，第n排有n个数，
∴前n排数的总个数为：．
当时，，
则，
∴截止到第15排从左向右的第7个数，共有112个数．
又∵这列数是按照的顺序排列的，
则，
∴表示的数为，
∴与表示的两数之积是．
17．（1）化简为，值为；
（2）
（1）先计算括号内的分式减法(通分后利用完全平方公式因式分解)，再对括号外的分式进行因式分解，将除法转化为乘法后约分得到最简式，最后代入的值并分母有理化；
（2）先确定最简公分母，方程两边同乘最简公分母化为整式方程，解整式方程后，检验所得解是否使原方程分母不为零．
（1）解：原式
，
当时，原式．
（2）解：方程两边同时乘以最简公分母，得：，
去括号得：，
合并同类项得：，
移项得：，即，
系数化为1得：，
检验：当时，，
是原分式方程的解．
18．(1)，
(2)，
本题考查解一元二次方程-因式分解法，公式法，解决本题的关键是掌握解一元二次方程的方法．
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
（1）解：，
，
，
，即，
∴或，
解得，；
（2）解：，
，
∴，
∴，．
19．(1)
(2)，
本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程；
（1），化为一般式得：，根据一元二次方程的定义，要求二次项系数不能为0，即 ，解得；
（2）根据方程的根的定义将代入 ，进而解方程，即可求解．
（1）解：
∴
∵这个方程是一元二次方程，
∴ ，
解得：
（2）解：∵是的一个根，
∴
解得：，
当时，原方程为
解得：
∴或．
20．(1)
(2)铺完整个通道，购买地砖需要花费元
本题主要考查了二次根式的应用、二次根式的性质与化简、最简二次根式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次根式的性质是关键；
依据题意得，矩形绿地 的周长 ，即可得解；
依据题意，购买地砖需要花费，进一步计算可以得解．
（1）解：由题意得，矩形绿地的周长 ；
（2）解：由题意，购买地砖需要花费
元，
答：铺完整个通道，购买地砖需要花费元；
21．(1)正确，理由见解析
(2)①；②
本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程知识是解题的关键．
（1）利用配方法得出，推出，即可证明该方程一定为一元二次方程；
（2）当时，该方程为，①根据该方程有实数解，则，得出不等式求解即可；②整理得：，根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，代入整理得出方程求解，根据①所求的取值范围取舍即可．
（1）解：正确，理由如下，
∵，
∴，
∴关于的方程一定为一元二次方程；
（2）解：当时，，
∴该方程为，
①∵该方程有实数解，
∴，
∴，
解得：；
②，整理得：，
∵和是该方程的两个实数解，
∴，，
∴代入中，得：，
整理得：，
∴，
∴或，
解得：，，
∵由①得：；
∴．
22．(1)
(2)
(3)2026
本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法．
（1）根据题意可知与的乘积不含二次根式，即互为有理化因式；
（2）利用分母有理化及平方差公式即可得到本题答案；
（3）将括号内每个分数进行化简，再相加继而得到，再利用平方差公式即可求出本题答案．
（1）解：∵两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，
∵，
∴的有理化因式是：，
故答案为：；
（2）解：∵，
故答案为：；
（3）解：
，
，
，
．
23．(1)，
(2)最小值为
(3)需要用的篱笆最少是米
本题考查了二次根式在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简，解题的关键是掌握相关知识．
（1）根据阅读中的公式计算即可；
（2）先化简，运用公式计算即可；
（3）设所需的篱笆长为L米，由题意得L＝2x+设所需的篱笆长为米，由题意得，再根据阅读中的公式计算即可．
（1）解：当时，，
，
，即时，的最小值为，
故答案为：，；
（2）解：，
，
，
即，
的最小值为；
（3）解：设所需的篱笆长为米，由题意得，
由题意可知：，
需要用的篱笆最少是米．
24．(1)
(2)存在，或
(3)t的取值范围为：或
（1）由勾股定理可求出答案；
（2）由题意知：，由三角形面积公式可得出方程，解方程求出t的值即可；
（3）分三种情况，①当时，②当，③当时，画出图形，列出方程或不等式求解即可．
（1）由题意知：，
∵，
∴；
（2）存在，
当点Q在上，
由题意知：，
∴，
又，
∴，
解得：或，
∵时，Q点在上，经验证，不能满足的面积是面积的，
当时，点Q在上，
，
解得（舍去），
综上可得，或；
（3）解：①当时，
，
解得：；
②当，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
解得：；
③当时，如图，
这种情况是不存在；
综上，t的取值范围为：或．
本题考查三角形综合题，考查了勾股定理三角形的面积，直角三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题．

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