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21.7 课时2 正方形的判定
第二十一章 四边形
掌握正方形的判定方法，会判定一个四边形是正方形.
1.说一说矩形的判定定理.
2.说一说菱形的判定定理.
有三个角是直角的四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
四条边相等的四边形是菱形.
两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
思考：能否根据矩形和菱形的判定定理，推出正方形的判定定理呢？
平行四边形
矩形
有一个角是直角
正方形
菱形
一组邻边相等
一组邻边相等
有一个角是直角
一组邻边相等且有一个角是直角
正方形与平行四边形、矩形、菱形之间关系密切，那么如何判定一个四边形是正方形呢？
活动1：探究判定正方形的方法
根据上图，回答问题：
平行四边形
矩形
有一个角是直角
正方形
菱形
一组邻边相等
一组邻边相等
有一个角是直角
一组邻边相等且有一个角是直角
问题1：若已知一个矩形，需添加什么条件，可使得这个四边形是正方形
问题2：若已知一个菱形，需添加什么条件，可使得这个四边形是正方形
问题3：若已知一个平行四边形，需添加什么条件，可使得这个四边形是正方形
一组邻边相等
有一个角是直角
一组邻边相等且有一个角是直角
要判定一个平行四边形是正方形，可以先判定这个四边形是矩形，再证明这个矩形有一组邻边相等；也可以先判定这个四边形是菱形，再证明这个菱形有一个角是直角.
因此，判定一个平行四边形是正方形，只要判定这个四边形既是矩形又是菱形即可.
思考1：根据矩形的判定定理，若已知一个菱形，除有一个角是直角外，再添加什么条件，可使得这个四边形也是矩形
对角线垂直
思考2：根据菱形的判定定理，若已知一个矩形，除有一组邻边相等外，再添加什么条件，可使得这个四边形也是菱形
对角线相等
判定一个四边形是正方形，只要这个四边形既是矩形又是菱形即可.
判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形.
判定定理3：有一个角是直角的菱形是正方形.
判定定理2：对角线垂直的矩形是正方形.
判定定理4：对角线相等的菱形是正方形.
注意：正方形的定义也可以是对其进行判定的依据.
已知：如图，分别延长正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA到点E，F，G，H，使BE=CF=DG=AH，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH.
问题1：EF，FG，GH，HE 之间有什么数量关系？
问题2：∠FEH的度数是多少？
问题3：四边形EFGH是什么形状？
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠EBF=∠FCG=∠GDH=∠HAE=90°.
又∵BE=CF=DG=AH，∴AE=BF=CG=DH.
∴△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAE.
∴EF=FG=GH=HE.
活动2：正方形判定定理的应用
已知：如图，分别延长正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA到点E，F，G，H，使BE=CF=DG=AH，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH.
问题2：∠FEH的度数是多少？
问题3：四边形EFGH是什么形状？
∵△EBF≌△HAE，
∴∠EFB=∠HEA.
∴四边形EFGH为菱形.
又∵∠EFB+∠FEB=90°，
∴∠FEB+∠HEA=90°，即∠FEH=90°，
正方形
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠EBF=∠FCG=∠GDH=∠HAE=90°.
又∵BE=CF=DG=AH，∴AE=BF=CG=DH.
∴△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAE.
∴EF=FG=GH=HE，∠EFB=∠HEA.
∴四边形EFGH为菱形.
又∵∠EFB+∠FEB=90°，
∴∠FEB+∠HEA=90°，即∠FEH=90°，
∴四边形EFGH是正方形.
已知：如图，分别延长正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA到点E，F，G，H，使BE=CF=DG=AH，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH.
求证：四边形EFGH是正方形.
1.已知：如图，在正方形ABCD中，点E，F，M，N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．求证：四边形EFMN是正方形.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AE=BF=CM=DN，
∴AN=BE=CF=DM.
∴△AEN△BFE△CMF△DNM,
∴EN=FE=MF=NM，
∴四边形EFMN是菱形，
又∵∠ANE=∠BEF,
A
B
C
D
E
F
M
N
∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）
=180°－（∠AEN+∠ANE）
=180°－90°=90°.
∴四边形EFMN是正方形 .
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD.
又∵BE=DF，∴OE=OF.
∴四边形AECF是菱形.
又∵OE=OA，OE=OF=OA=OC，即EF=AC.
∴菱形AECF 是正方形.
2.已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，OE=OA.
求证：四边形AECF是正方形.
1. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点E，添加下列一个条件，能使菱形ABCD成为正方形的是（　　）
A.AC⊥BD B.AB=AE
C.∠ABD＝∠ADB D.AE＝CE
B
2. 在平面直角坐标系中，一个正方形的两个顶点坐标为（﹣2，1）、（﹣2，﹣2），则下列坐标表示的点不可能成为该正方形顶点的是（　　）
A.（1，1） B.（1，﹣2）
C.（2，1） D.（﹣5，﹣2）
C
3. 如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是 （只填一个答案即可）．
AE=CE（答案不唯一）
4.如图,在矩形ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于点E,过点E作EF⊥AD于点F.求证:四边形ABEF是正方形.
证明:∵四边形ABCD是矩形,
　　∴∠FAB=∠ABE=90°,AF∥BE.
　　∵EF⊥AD,
　　∴∠FAB=∠ABE=∠AFE=90°,
　　∴四边形ABEF是矩形.
　　∵AE平分∠BAD,EF⊥AD,EB⊥AB,
　　∴EB=EF,∴四边形ABEF是正方形.
判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形.
判定定理3：有一个角是直角的菱形是正方形.
判定定理2：对角线垂直的矩形是正方形.
判定定理4：对角线相等的菱形是正方形.
怎样判定一个四边形是正方形？正方形有哪些判定定理？

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