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21.7 课时1 正方形的性质
第二十一章 四边形
理解正方形的定义，掌握正方形的性质，理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系.
能运用正方形的定义和性质解决有关计算和证明问题.
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.
思考2：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间存在怎样的关系？
思考1：有一组邻边相等的矩形是什么图形呢？有一个角是直角的菱形又是什么图形呢
正方形
平行四边形
矩形
有一个角是直角
正方形
菱形
一组邻边相等
一组邻边相等
有一个角是直角
一组邻边相等且有一个角是直角
平行四边形
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形.
矩形
菱形
正
方
形
正方形会具有平行四边形、矩形和菱形所具有的性质吗？
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
性质：
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形，所以正方形具有平行四边形、矩形和菱形的一切性质.
你能说出来哪些？
2.正方形的四个角都是直角.
3.四条边相等，对边平行.
4.正方形的对角线相等且互相垂直平分，也平分一组对角.
1.正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形.
问题1：正方形是轴对称图形，它有 条对称轴.
问题2：正方形是中心对称图形，它的对称中心是 .
对角线的交点
四
证明：在△AED和△AEB中，
∵AD=AB，AE=AE，∠DAC=∠BAC=45°，
∴△AED ≌ △AEB.
∴BE=DE.
1.已知：如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上.
求证：BE=DE.
A
B
C
D
E
提示：证明线段相等的常用方法是证明三角形全等，再根据全等三角形的对应边相等而得到线段相等.
也可以通过证明△CED ≌ △CEB，从而得出结论.
你还有其他证法吗
证明：∵ ∠EBC=∠ECB=∠CEB=60°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∠ABE= ∠DCE=30°.
∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°，
∴∠EAD= ∠EDA==15°.
2.已知：如图，在正方形ABCD中，△BCE是等边三角形.
求证：∠EAD=∠EDA=15°.
A
B
C
D
E
3.已知：如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，AD和CD上，且EF⊥FG，AF=DG.求证：EF=FG.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠D=90°，∴∠AEF+∠AFE=90°.
∵EF⊥FG，∴∠EFG=90°，
∴∠DFG+∠AFE=90°.
∴∠AEF=∠DFG.
又∵∠A=∠D=90°，AF=DG，
∴△AEF ≌ △DFG，∴EF=FG.
1. 下列说法错误的是（ ）
A.有一组邻边相等的矩形是正方形
B.有一个角是直角的菱形是正方形
C.正方形有6条对称轴
D.正方形是轴对称图形
C
2.如图,在正方形ABCD的外侧作等边△ABE,则∠BED为　(　　)
A.15°　　 　 B.35°　　 　
C.45°　 　　D.55°
C
3.如图,正方形ABCD的对角线AC为菱形AEFC的一边,则∠FAB的度数为＿＿＿＿.
22.5°
4. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点.若△CEF的周长为18，则OF的长为______.
5.已知：如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF.求证：AP=EF.
证明：如图，连接CP.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ECF=90°.
又∵PE⊥BC,PF⊥CD，∴∠PEC=∠PFC=∠ECF=90°，
∴四边形PECF是矩形，∴CP=EF.
∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD.
∵P为对角线BD上一点，
∴∠ADP=∠CDP=45°.
在△ADP与△CDP中，
AD=CD，∠ADP=∠CDP，DP=DP，
∴△ADP ≌ △CDP，
∴AP=CP，∴AP=EF.
正方形
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形
定义
性质定理
正方形具有平行四边形、矩形和菱形的一切性质

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