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21.6 课时2 菱形的判定
第二十一章 四边形
掌握菱形的判定定理．
会用菱形的判定定理进行有关的证明和计算.
菱形的四条边都相等，两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角.
菱形的性质定理是什么？
思考：反过来，如果一个四边形的四条边都相等，那么能判断这个四边形是菱形吗？如果一个平行四边形的对角线互相垂直，那么能判断这个平行四边形是菱形吗？
1.动手操作：画两条等长的线段AB，AD.分别以点B， D 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧相交于点C.连接BC，CD，得到四边形ABCD.
猜想：四条边相等的四边形是菱形.
A
B
C
D
活动1 探究判定菱形的方法
问题：量一量，四边形ABCD是菱形吗？
是
验证：四条边相等的四边形是菱形.
已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA．
求证：四边形ABCD是菱形．
证明：∵AB=CD，且BC=DA，
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=DA，
∴ 四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
四条边相等的四边形是菱形
A
B
C
D
菱形的判定定理
符号语言：
在四边形ABCD中，
∵AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
问题1：你能说明图中的Rt△ABO，Rt△CBO，Rt△CDO，Rt△ADO都是全等的吗
都全等
相等
2.如图,平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，O是两条对角线的交点.
问题2：平行四边形ABCD的四条边都相等吗
问题3：求证：四边形ABCD是菱形.
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形.
∴OA=OC， OD=OB.
又∵AC⊥BD,
∠AOD=∠COD=∠COB=∠AOB=90°，
∴ AOD COD COB AOB，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
你还有其他方法吗？
证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO.
∵BD⊥AC,
∴AB=BC,
∴ ABCD是菱形.
2.如图,平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，O是两条对角线的交点.求证：四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
在四边形ABCD中,由AC平分∠BAD和∠BCD,
可证△ABC≌△ADC(ASA),
从而得到AB=AD,CB=CD;
同理,利用BD平分∠ABC和∠ADC,
可证AB=BC,
AD=DC.
因此，AB=BC=CD=DA，得出结论.
A
B
C
D
O
思考：如果一个四边形的每条对角线都平分一组对角，那么这个四边形是菱形吗
每条对角线都平分一组对角的四边形是菱形.
两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形
A
B
C
D
O
菱形的判定定理
注意：根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
符号语言：
在平行四边形ABCD中，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形.
证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠1=∠3.
又∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3.
∴AE=DE，
∴四边形AEDF是菱形.
已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，交AB于点E，DF∥AB，交AC于点F.
求证：四边形EFGH是菱形.
A
B
C
D
E
F
1
2
3
在证明一个四边形是菱形时，菱形的定义往往是最基本、最直接的方法.
1.若四边形的两条对角线相等,则顺次连接该四边形各边中点所得的四边形是 (　　)
A.梯形　　　 　B.矩形　　　 　C.菱形　　 　　D.正方形
C
2.如图,在 ABCD中，点E，F分别是AB，CD边上的点，且∠ADE=∠CBF，连接BD，EF.补充一个条件，可使四边形EBFD是菱形，这个条件是 (写出一个即可).
BD⊥EF
3.如图, ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AB=5，AO=4，BO=3.求证： ABCD是菱形.
证明：∵AB=5，AO=4，BO=3，　　∴AB2=AO2+BO2，
∴△OAB是直角三角形，
∴AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形.
4. 如图，在平行四边形ABCD中，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE.添加一个条件，使四边形ABCD是菱形，这个条件可以是 ( )
A.∠BAD=∠BDA
B.AB=DE
C.DF=EF
D.∠BDC=∠BAD
D
5. 如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是线段AD，BC的中点，G，H分别是线段BD，AC的中点，当四边形ABCD的边满足__________时，四边形EGFH是菱形.
AB=CD
菱形的判定定理
四条边相等的四边形是菱形
两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形

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