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21.6 课时1 菱形的性质
第二十一章 四边形
理解菱形的定义，掌握菱形的性质定理.
能运用菱形的概念和性质解决有关问题.
从上面的图片中可以抽象出如下所示的图形，观察这些图形,它们有什么共同的特征呢
通过观察和验证，图(1)，(2)，(3)皆为平行四边形，而且有一组邻边相等.
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
平行四边形
菱形
一组邻边相等
菱形作为特殊的平行四边形，具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样的性质吗
菱形的对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分
菱形还具有哪些特殊的性质
观察下列将一个菱形纸片ABCD折叠再展开的过程，回答下列问题.
A
B
C
D
对折
C
A
B
D
(C)
再对折
B
(C)
A
D
(B)
O
展开
问题1 ：菱形ABCD是中心对称图形吗？如果是，它的对称中心是什么？
A
B
C
D
O
活动1 探究菱形的对称性
问题2 ：菱形ABCD是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？都是哪些直线？
是，对称中心是点O
是，有2条对称轴，直线AC和直线BD
1.菱形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点.
2.菱形是轴对称图形，一共有2条对称轴.这2条对称轴是菱形对角线所在的直线.
A
B
C
D
O
问题1 ：菱形的四条边在数量上有什么关系
菱形的四条边都相等.
问题2 ：菱形的两条对角线有怎样的位置关系？
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
如图，四边形ABCD是菱形.通过测量回答下列问题.
A
B
C
D
O
活动2 探究菱形的性质
如何用数学的方式进行验证呢？
已知：如图，四边形ABCD是菱形，AB=AD.
求证：(1)AB=BC=CD=DA.
(2)AC⊥DB.
(3)∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD,∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA.
证明: (1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD，AD=CB.
又∵AB=AD，
∴AB=BC=CD=DA.
(2)在△ADO和△CDO中，
∵DA=DC，DO=DO，AO=CO，
∴△ADO△CDO.
∴∠AOD=∠COD.
∵∠AOD+∠COD=180°，∴∠AOD=∠COD=90°.
∴AC⊥DB.
已知：如图，四边形ABCD是菱形，AB=AD.
求证：(1)AB=BC=CD=DA.
(2)AC⊥DB.
(3)∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD,∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA.
(3)∵△ADO△CDO,
∴∠ADB=∠CDB,∠DAC=∠DCA.
∵AB∥CD，AD∥CB，
∴∠ADB=∠CBD，∠CDB=∠ABD，
∠DAC=∠BCA，∠DCA=∠BAC.
∴∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD，
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA.
已知：如图，四边形ABCD是菱形，AB=AD.
求证：(1)AB=BC=CD=DA.
(2)AC⊥DB.
(3)∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD,∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA.
菱形的四条边都相等，两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角.
菱形的性质定理
符号语言：
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD ，AC平分∠BAD，CA平分∠BCD ，
BD平分∠ABC，DB平分∠ADC.
如图，菱形ABCD的周长为16 cm，∠ABC= 120°.
A
D
C
O
B
问题1 ：菱形的边长为多少？
16÷4=4(cm)
问题2 ：∠ABD为多少度
120°÷2=60°
问题3 ：△ABD是什么三角形
等边三角形
问题4 ：求对角线BD和AC的长.
活动3 菱形性质的应用
如图，菱形ABCD的周长为16 cm，∠ABC= 120°.求对角线BD和AC的长.
A
D
C
O
B
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，BD平分∠ABC，AC⊥BD，AO=CO，BO=DO.
∵AB+BC+CD+AD= 16 cm，
∴AB=BC=CD=AD==4(cm).
∵BD平分∠ABC，∠ABC= 120°，
∴∠ABD=60°.∴△ABD是等边三角形.
∴BD=AB=4 cm.
在Rt△AOB中，OB=2 cm，
(cm)，
(cm).
1. 如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变成菱形可以添加的条件是 ( )
A.AB=CD
B.AD=BC
C.AC=BD
D.AB=BC
D
　　2.下列关于菱形性质的说法,错误的是　　　　　　　　　(　　)
　　A.菱形的四条边相等　　　　B.菱形的对角线互相垂直
　　C.菱形的对角相等　　　　　D.菱形的对角线相等
　　3.已知菱形ABCD的边长为3 cm,∠ABC=60°,则对角线AC的长为＿＿cm.
D
3
4. 已知菱形的两条对角线长分别为6 cm和8 cm，则菱形的周长是_____cm，面积是_____cm2.
20
24
5. 如图，菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(0,4)，(3,0)，点C在x轴正半轴上，则点D的坐标为_______.
(5,4)
菱形
有一个邻边相等的平行四边形叫作菱形
定义
性质定理
菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形
菱形的四条边都相等
菱形的两条对角线互相垂直
菱形的每条对角线平分一组对角

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