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21.5 课时2 矩形的判定
第二十一章 四边形
掌握矩形的判定定理.
能运用矩形的定义及判定定理解决简单的实际问题.
1.我们已经知道，矩形的四个角都是直角.反过来，一个四边形有几个角是直角，就能判断它是矩形呢？观察下图，回答下列问题.
A
B
D
C
猜想：有 个角是直角的四边形是矩形.
A
B
D
C
A
B
D
C
活动 探究判定矩形的方法
问题1：有一个角是直角的四边形是矩形吗
问题2：有两个角是直角的四边形是矩形吗
问题3：有三个角是直角的四边形是矩形吗
三
不是
不是
是
验证：有三个角是直角的四边形是矩形.
已知：如图所示，在四边形ABCD中， ∠A=∠B=∠C=90°．
求证：四边形ABCD是矩形．
A
B
C
D
证明：∵∠A=∠B=∠C=90°，∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，
∴AD∥BC， AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵∠A=90°，
∴ ABCD是矩形.
2.矩形的对角线相等.反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？回答下列问题.
A
B
C
D
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
问题1：对角线相等的四边形是矩形吗
问题2：对角线相等的平行四边形是矩形吗
不是，比如等腰梯形
是
已知：在 ABCD，AC=BD.
求证： ABCD是矩形.
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC.
在△ABD和△BAC中，
∵ AD=BC，AB=BA，AC=BD，
∴△ABD△BAC，
∴ ∠DAB=∠CBA.
又∵ AD//BC，
∴ ∠DAB+∠CBA=180°.
∴∠DAB=∠CBA= 90°，
∴□ ABCD是矩形.
A
D
C
B
O
验证：对角线相等的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形
A
B
D
C
符号语言：
在四边形ABCD中，
∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形
符号语言：
在平行四边形ABCD中，
∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形.
A
D
C
B
O
矩形的判定定理
注意：矩形的定义也可以是对其进行判定的依据.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD.且 OA=OC，OB=OD.
∴OA=OC=OB=OD.
又∵E，F，G，H 分别为OA，OB，OC，OD 的中点，
∴OE=OG=OF=OH.
∴四边形EFGH是平行四边形.
又∵EG=OE+OG=OF+OH= HF，
∴四边形EFGH是矩形.
已知：如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H 分别为OA，OB，OC，OD的中点. 求证：四边形EFGH是矩形.
B
C
D
E
F
G
H
O
A
思考：如果四边形ABCD是平行四边形，那么四边形EFGH是平行四边形吗？
四边形EFGH是平行四边形.
1.已知 ABCD,下列条件中,不能判定这个平行四边形为矩形的是 (　　)
A.∠C=∠B　　B.∠B=∠D　　C.AC=BD　　D.AB⊥BC
2.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD,∠OAD=55°,则∠OCD的度数为＿＿＿.
B
35°
3. 如图，直线EF∥MN，PQ交EF，MN于A，C两点，AB,CB分别是∠EAC,∠MCA的平分线，CD⊥CB，AD⊥AB，CD与AD相交于点D，则四边形ABCD的形状是______.
矩形
4. 陈师傅应客户要求加工4个长为4cm，宽为3cm的矩形零件，在交付客户之前，陈师傅需要对4个零件进行检测. 根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是( )
C
5. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DF∥EG. 只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是 .
∠DFG=90°(答案不唯一)
6. 如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD交于点 O，∠1=∠2.若∠BOC=120°，AB=1cm，则四边形ABCD的面积是_____cm2.
7. 如图，在△ABC中，AC=12，BC=16，AB=20，点D在AB上运动(不与A，B重合)，过D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是E，F，点G，H分别是DE，DF的中点，连接GH，则GH的最小值为______.
4.8
提示：四边形CFDE是矩形，连接EF，CD，CD=EF，GH= EF= CD，CD⊥AB时最短.
矩形的判定定理
有三个角是直角的四边形是矩形
对角线相等的平行四边形是矩形

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