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21.4 三角形的中位线
第二十一章 四边形
理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理.
会利用三角形的中位线定理进行相关的计算和证明.
连接三角形两边中点的线段，叫作三角形的中位线.
如图，D，E分别为△ABC的两边AB，AC的中点，线段DE就是△ABC的一条中位线.
A
B
C
D
E
一个三角形有 中位线.
三条
F
思考：三角形的中位线和中线有什么区别？
中位线是两边中点的连线
中线是一个顶点和对边中点的连线
1.请任意画出一个三角形，并画出它的三条中位线.沿中位线剪出四个小三角形，将它们叠合在一起.
活动 探究三角形的中位线定理
问题1：它们能完全重合吗？
问题2：三角形的中位线与这条中位线的底边具有怎样的位置关系和数量关系？
A
B
C
D
E
F
位置关系：DE//BC
数量关系：DE＝BC
重合
2.如图，DE是△ABC的中位线，沿中位线DE剪开，并将△ADE以点E为中心，顺时针旋转180°，使点A和点C重合.
问题1：四边形DBCF是平行四边形吗？
问题2：DE与BC的位置关系和数量关系与题1中的结论相同吗？
A
D
E
F
C
B
相同
位置关系：DE//BC
数量关系：DE＝BC
发现：三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.
如何用数学的方式进行验证呢？
是
D
E
已知：如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点.
求证：DE//BC， DE=BC.
证明：如图，延长DE到点F，使EF=DE，连接FC.
在△ADE和△CFE中，
∵ AE=CE，∠AED=∠CEF，DE=EF，
∴△ADE≌△CFE,
∴AD=CF，∠A=∠ECF，
∴AD∥CF，即BD∥CF.
又∵BD=AD=CF,
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DF∥BC，DF=BC，
∴DE= DF= BC.
D
E
F
提示：能否作辅助线利用三角形全等进行证明？
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
A
B
C
D
E
三角形的中位线定理
几何语言：
∵AD＝BD，AE＝EC，
∴DE∥BC，且DE＝BC.
1.如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，AC=12，BC=16，求四边形DECF的周长.
解:∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，
∴DF∥EC，DE∥FC,
∴四边形DECF是平行四边形,
∴CE=DF=BC=8，CF=DE=AC=6，
∴所求四边形DECF的周长为28.
2.已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，P为对角线BD的中点，M为DC的中点，N为AB的中点.
求证：△PMN是等腰三角形.
证明：在△ABD中，
∵N，P分别为AB，BD的中点，
∴PN=AD.
同理PM=BC.
又∵AD=BC，∴PN=PM，∴△PMN是等腰三角形.
1.如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，点D，E分别是AC，BC的中点，连接DE，则∠CED的度数是( )
A. 70° B. 60°
C.30° D. 20°
B
2. 如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边的中点，AC=6，BD=8，则四边形EFGH的周长是( )
A. 20
B. 28
C.14
D. 以上答案均有可能
C
3. 如图，在△ABC中，AB=13，BC=5，点D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，连接DE，CD.如果DE=6，那么△ABC的周长是_______.
30
4. 如图，在△ABC中，点M，N分别为△ABC的边AB，AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D. 若BC=6，则CD的长是_______.
3
5. 如图，在△ABC中，点D是AB上一点，AD=AC，AE⊥CD，垂足为E，点F是BC的中点，若BD=10，求EF的长.
解: ∵AE⊥CD，∴∠AED=∠AEC=90°，
又∵AD=AC，AE=AE，∴△AED ≌△AEC，
∴CE=ED.
∵点F是BC的中点，∴EF是△CDB的中位线，
又∵BD=10，∴EF=BD=5.
三角形的
中位线
定义
定理
连接三角形两边中点的线段，叫作三角形的中位线
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半

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