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21.3 课时2 平行四边形的判定
第二十一章 四边形
掌握利用两组对边、对角线来判定平行四边形的方法.
会利用平行四边形的判定定理解决实际问题.
情境1：小亮按下列方法得到了一个四边形：用4根木条搭成如图所示的四边形，其中AB=CD，AC=BD.
活动1 探究判定平行四边形的方法
问题：这样得到的四边形ABCD是不是平行四边形？
猜想：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
证明:如图，连接BD.
在△ABD和△CDB中,
∵AB=CD，AD=CB，BD=DB，
∴△ABD≌△CDB，
∴∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD，∴AB∥CD，AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形.
证明思路：
作对角线构造全等三角形
两组对应角相等
两组对边分别平行
四边形ABCD是平行四边形
提示：能否作辅助线证明另两组对边平行
A
D
C
B
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
平行四边形判定定理
几何语言：
如图，∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
问题：这样得到的四边形ABCD是不是平行四边形？
猜想：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
情境2：小芳按下列方法得到了一个四边形：画两条直线相交于点O,截取OA=OC，OB=OD;连接AB，BC，CD，DA，得到四边形ABCD.
活动1 探究判定平行四边形的方法
已知：如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于O，OA=OC，OB=OD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
D
C
B
O
证明:∵OA=OC，OD=OB，∠AOD=∠COB，
∴△AOD≌△COB，
∴∠OAD=∠OCB，
∴AD∥BC.
同理可得AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
证明思路：
找到全等三角形
两组对应角相等
两组对边分别平行
四边形ABCD是平行四边形
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
A
D
C
B
O
平行四边形判定定理
几何语言：
在四边形ABCD中，
∵AO=CO，DO=BO,
∴四边形ABCD是平行四边形.
已知：如图， ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为OA，OC的中点.
问题1：已知四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形的性质,我们能得到关于对角线的什么结论
问题2：E,F分别是OA,OC的中点,结合OA=OC,能推出OE和OF的关系吗
OE=OA,OF=OC,∴OE=OF
OA=OC,OB=OD
问题3：求证：四边形EBFD是平行四边形.
活动2 平行四边形判定定理的应用
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD.
∵E，F分别是OA，OC的中点,
∴OE=OF.
∴四边形EBFD是平行四边形.
已知：如图， ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为OA，OC的中点.求证：四边形EBFD是平行四边形.
交流讨论：在例题的已知条件中，如果E，F不再为OA，OC的中点，回答下列问题:
(2)点E，F分别在OA，OC的延长线上，怎样确定点E，F的位置，可使四边形EBFD是平行四边形？
(1)点E，F分别在OA，OC上，怎样确定点E，F的位置，可使四边形EBFD是平行四边形
∵OB=OD
∴只要满足OE=OF，即可由对角线互相平分
得到四边形EBFD是平行四边形.
∵OB=OD
∴只要满足OE=OF，即可由对角线互相平分
得到四边形EBFD是平行四边形.
1.下列说法错误的是(　　)
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
D
2. 若AC=10，BD=8，AC与BD相交于点O，那么当AO=______，DO=______时，四边形ABCD是平行四边形.
5
4
3. 如图，在△ABC中，AB=AC=8，点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，则四边形AEFG的周长是( )
A. 32 B. 24
C.16 D. 8
C
4. 如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是在AD，BC上. AM⊥BE，CN⊥DF，垂足分别为M，N，且AM=CN.求证：四边形BFDE是平行四边形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC，AB=CD，∠ABC=∠ADC.
又∵AM⊥BE，CN⊥DF，
∴∠AMB=∠CND=90°，
又∵AM=CN，
∴Rt△ABM ≌Rt△CDN，
∴∠ABM=∠CDN，
∴∠EBF=∠EDF，
又∵AD∥BC，
∴∠BED=∠EBF=180°,
∴∠BED=∠EDF=180°
∴BE∥DF，
∴四边形BFDE是平行四边形.
平行四边形的判定定理
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

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