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21.3 课时1 平行四边形的判定
第二十一章 四边形
掌握平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
会利用定义判定平行四边形.
平行四边形的定义：
叫作平行四边形.
两组对边分别平行或相等的四边形
思考：如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？
观察下列小明画四边形ABCD的过程：画两条互相平行的直线，在这两条直线上分别截取线段AB=CD，连接AD，BC，得四边形ABCD .
问题1：将线段AB沿BC方向平行移动，线段AB与CD能不能重合？
活动1 探究判定平行四边形的方法
能
问题2：这样得到的四边形ABCD是不是平行四边形？
是
B
A
D
C
猜想：一组对边 且 的四边形是平行四边形 .
如何证明？
相等
平行
猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
已知：如图，在四边形ABCD中，AD//BC，且AD=BC.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
B
A
D
C
为证明另两条边平行，可借助内错角相等.为此，需构造相应的全等三角形.
证明：如图，连接BD.
在△ABD和△CDB中,
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD.
∵AD=CB，BD=DB,
∴△ABD≌△CDB，
∴∠ABD=∠CDB .
∴AB∥DC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
证明思路：
作对角线构造全等三角形
一组对应角相等
两组对边分别平行
四边形ABCD是平行四边形
提示：能否作辅助线证明另两条边也平行
B
D
A
C
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
平行四边形的判定定理
几何语言：
在四边形ABCD中，
∵AB=CD，AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
已知：如图，在 ABCD中，E为BA延长线上一点，F为DC延长线上一点，且AE=CF，连接 BF，DE.
求证：四边形BFDE是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD.
∵AE=CF，
∴BE=DF.
又∵BE∥DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
已知：如图，EF∥MN，A，B为直线EF上任意两点，AD⊥MN，垂足为D，BC⊥MN，垂足为C.
活动2 证明平行线间的距离处处相等
问题1：AD和BC有什么位置关系？
问题2：四边形ADCB是什么特殊的四边形？依据是什么？
问题3：求证：AD=BC.
AD∥BC
四边形ADCB为平行四边形，依据是EF∥MN，AD∥BC
已知：如图，EF∥MN，A，B为直线EF上任意两点，AD⊥MN，垂足为D，BC⊥MN，垂足为C.求证：AD=BC.
证明：∵ AD⊥MN，BC⊥MN，
∴AD∥BC.
又∵EF∥MN，
∴四边形ADCB为平行四边形.
∴AD=BC.
活动3 探究判定平行四边形的方法
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D.
B
D
A
C
问题1：∠A和∠B有什么数量关系？
问题2：AD和BC有什么位置关系？
问题3：求证：四边形ABCD是平行四边形.
∵ ∠A+∠B+∠C+∠D=360°，且∠A=∠C，∠B=∠D，
∴∠A+∠B=180°.
∵∠A+∠B=180°，
∴AD∥BC.
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵ ∠A+∠B+∠C+∠D=360°， 且∠A=∠C，∠B=∠D，
∴∠A+∠B=180°，∠A+∠D=180°，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ADCB为平行四边形.
B
D
A
C
1. 依据所标数据，下列四边形一定是平行四边形的是( )
D
2.已知四边形ABCD中有四个条件：AB∥CD，AB=CD，BC∥AD，BC=AD，从中任选两个，不能使四边形ABCD成为平行四边形的选法是（　　）
A．AB∥CD，AB=CD B．AB∥CD，BC∥AD
C．AB∥CD，BC=AD D．AB=CD，BC=AD
C
3. 如图，在 ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点.求证：AF=CE.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC，AD=BC.
又∵点E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE∥CF，AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，∴AF=CE.
平行四边形的判定
平行线间的距离处处相等
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形

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