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21.1 课时2 多边形的内角和与外角和
第二十一章 四边形
掌握多边形的内角和与外角和公式.
能灵活运用多边形的内角和与外角和公式解决有关问题.
我们已经知道，三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，你能猜想出五边形、六边形、七边形等多边形的内角和分别是多少度吗？
活动1 探究多边形的内角和
问题1：回顾求四边形的内角和的过程，思考是如何将四边形的内角和问题转化，从而利用三角形内角和定理求出四边形的内角和的？
四边形的内角和是360°.
问题2：类比求四边形的内角和的方法，将多边形分割成不重叠的三角形，求五边形、六边形、七边形的内角和，完成图形分割，并将结果填入下表.
六边形的内角和是720°
五边形的内角和是540°
七边形的内角和是900°
多边形 边数 图形(分割成三角形) 分割出的三角形的个数 多边形的内角和
四边形 4 2 360°
五边形 5
六边形 6
七边形 7
3
4
5
540°
720°
问题3：多边形的内角和与边数n有关系吗？n边形可以分割成几个三角形，猜想n边形的内角和.
A1
A2
A3
A4
An-1
An
n边形可以分割成（n-2）个三角形，每个三角形的内角和是180°，
猜想：n边形的内角和等于（n-2）×180°.
如何用数学的方式验证呢？
证明：连接A1Ai(i=3，4，…，n-1)，得到
△A1Ai-1Ai(i=3,4,...,n-1)，共有(n-2)个三角形.
∵ △A1Ai-1Ai(i=3,4,...,n-1)的内角和等于180°，
∴n边形的内角和=△A1A2A3的内角和+△A1A3A4的内角和+...+△A1An-1An的内角和
=
已知：如图，n边形 .
求证：n边形的内角和等于.
A1
A2
A3
A4
An-1
An
n边形的内角和等于
多边形的内角和定理
想一想，还有其他方法可以探究出多边形的内角和公式吗？
活动2 探究多边形的外角和
我们知道，四边形的外角和是360°.请借助求四边形外角和的方法求n边形的外角和.
n边形外角和
=n个平角n边形内角和
=
=360°.
多边形的外角和等于
多边形的外角和定理
1.已知一个多边形，它的内角和与外角和相等，这个多边形是几边形？
解：设多边形的边数为n，那么它的内角和等于 (n-2)×180 °，外角和等于360 °.
由题意，得 (n-2)×180 °=360 °.
解这个方程，得 n=4.
所以，这个多边形是四边形.
2.如图，小亮从点O处出发，前进 5 m 后右转20°再前进 5 m 后又右转20°，这样走n次后恰好回到点O处.
(1) 小亮走出的这个n边形的每个内角是多少度？内角和是多少度
(2) 小亮走出的这个n边形的周长是多少米
解：(1)这个n边形的每个内角为180 °-20 °=160 °.
∵多边形外角和等于360 °，
∴ n×20 °=360 °，
∴ n=18，
∴这个n边形的内角和=（18-2）×180 °=2880 °.
(2)∵5×18=90(m)，
∴ 小亮走出的这个n边形的周长为90 m.
1. 若一个多边形的内角和为1440°，则这个多边形是 ( )
A.七边形 B.八边形
C.九边形 D.十边形
D
2. 若一个多边形的边数是1000，则它的外角和是 ( )
A.180° B.360° C.720° D.1000°
B
3. 如图，在五边形ABCDE中，AB∥DE，∠B+∠D=200°，则∠C的度数是 ( )
A.180° B.170°
C.160° D.150°
C
4. 若从一个多边形的一个顶点出发做多可以作三条对角线，则这个多边形的内角和为______.
720°
5.如图,五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于＿＿＿.
180°
6. 已知一个多边形的每个内角都相等，并且每个外角都等于它相邻内角的，求这个多边形的边数.
解：设多边形的一个内角为x，则一个外角为x.
依题意，得，解得x=108°.
所以这个多边形的边数为=5.
多边形
内角和定理
n边形的内角和等于
多边形的外角和等于
外角和定理

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