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21.1 课时1 四边形的内角和与外角和
第二十一章 四边形
理解多边形的定义及相关概念.
掌握四边形的内角和与外角和，了解四边形的不稳定性.
能灵活运用四边形的内角和与外角和解决有关问题.
观察这些图形，类比三角形的组成方式，谈谈它们在组成方式上有什么共同特点？
这些图形与我们学过的三角形一样，都是在平面上由不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的.
四边形
五边形
六边形
七边形
在平面上，由不在同一条直线上的线段首尾顺次相接（且不能相交）组成的图形，叫作多边形.一般把边数为n的多边形叫作n边形（n为正整数，且n≥3）.
___________
___________
___________
___________
填一填：以下图形分别叫什么？
内角
顶点
边
外角
对角线
组成多边形的各条线段叫作多边形的边，多边形相邻两边组成的角叫作多边形的内角，多边形一边的延长线与相邻的另一边所组成的角叫作多边形的外角，多边形每一个内角的顶点叫作多边形的顶点，连接多边形不相邻两个顶点的线段叫作多边形的对角线.
一个多边形如果总在它的任何一条边所在直线的同一侧，这个多边形就叫作凸多边形. 目前我们只研究凸多边形.
如图所示的五边形，我们记作五边形ABCDE，用类似的方法可以表示其他多边形.
试一试：描述图中多边形的边、顶点、内角、外角和对角线.
活动1 探究四边形的内角和
问题1：三角形的内角和是多少度
三角形的内角和是180°.
长方形和正方形的内角和是360°.
任意四边形的内角和是360°.
问题3：猜想任意四边形的内角和是多少度.
问题2：长方形和正方形的内角和是多少度
1.用量角器量出四个角的度数，然后把四个角的度数加起来，你有什么发现？
验证：在彩纸上任意画出一个四边形.
2.如图，剪下它的四个角，然后把这四个角的顶点重合，拼在一起.你有什么发现？
内角和是360°
四边形的内角和等于360°
拼成一个周角，即内角和是360°
如何用数学的方法证明呢？
已知：如图所示的四边形ABCD.
求证：∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
证明：如图，连接AC.
∵在△ABC中，∠BAC+∠B+∠BCA=180°，
在△ACD中，∠DAC+∠D+∠DCA=180°，
∴(∠BAC+∠B+∠BCA)+(∠DAC+∠D+∠DCA)=180°+180°，
即（∠BAC+∠DAC)+ ∠B +∠D+(∠BCA+∠DCA)=360°，
∴∠BAD+∠B+∠BCD+∠D=360°.
还有其他证明方法吗？
如图，已知∠EAD是四边形ABCD的一个外角，且∠EAD=∠C，那么，∠B与∠D互补吗？为什么
解：∠B与∠D互补.理由如下：
∵∠EAD+∠DAB=180°，
又∵∠EAD=∠C，
∴∠C+∠DAB=180°.
∵四边形ABCD的内角和等于360°，
∴∠B+∠D=180°,
即∠B与∠D互补.
在四边形的每个顶点处，取这个四边形的一个外角，这四个外角的和叫作这个四边形的外角和.
问题1：请在它的每个顶点处画出这个四边形的一个外角.
问题2：求四边形ABCD的外角和.
活动2 探究四边形的外角和
如图，已知四边形ABCD.
四边形的外角和等于360°
∠A)+∠B)+∠C)+∠D)
=
=360°.
问题：三角形具有稳定性，四边形也会具有稳定性吗？
活动3 探究四边形的稳定性
画一画：在纸上任意画出一个四边长分别为2，2.5，3，3.5的四边形，与同桌对比，你们画的图形一样吗？
对于四边形，即使各边长都确定，四边形的形状也是不能确定的，可以有不同的形状（如图），因此，四边形具有不稳定性.
在日常生活中，四边形的不稳定性有着广泛的应用，下图反映了四边形不稳定性的部分应用.
除此之外，你还能举出哪些应用四边形不稳定性的例子？
1.四边形具有而三角形不具有的性质是　(　　)
A.稳定性　　　　　　　　　 B.不稳定性
C.内角和是180°　　　　　　D.无对角线
B
2. 如图，图中x的值是 ( )
A.120 B.110 C.100 D.90
C
3. 如图1是化学实验中利用酒精灯给试管中液体加热的实验装置图，如图2是其简化示意图．若∠1＝45°，则∠2的度数为（ ）
A.140° B.135° C.130° D.145°
B
4.如图,已知四边形的三个内角度数,则图中∠α=＿＿＿.
91°
5.如图，在四边形ABCD中，∠A＝80°，∠D＝110°，与∠α相邻的外角是70°，则∠β的度数是 .
解析：∵与∠α相邻的外角是70°，
∴∠α＝180°﹣70°＝110°.
∵四边形ABCD的内角和是360°，
∴∠β＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠α＝360°﹣80°﹣110°﹣110°＝60°．
60°
6. 如图，一个含60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，则∠1+∠2的度数为______.
240°
四边形
由不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫作多边形
多边形
四边形的内角和
四边形的内角和等于
四边形的外角和等于
四边形的外角和
四边形的不稳定性

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