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第八章《实数》培优训练题
一．选择题（共4小题）
1．若m，n满足（m﹣1）20，则的平方根是（　　）
A．±4 B．±2 C．4 D．2
2．比较大小错误的是（　　）
A． B．21
C．6 D．
3．已知0＜x＜1，则x，，x2，的大小关系为（　　）
A．xx2 B．x＜x2
C．x2＜x D．x＜x2
4．把无理数，，，表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共3小题）
5．若实数m，n满足等式|，且m，n恰好是等腰三角形ABC两条边的长，则等腰三角形ABC的周长为　 　 ．
6．如图，在纸面上有一数轴，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为3，点C表示的数为．若子轩同学先将纸面以点B为中心折叠，然后再次折叠纸面使点A和点B重合，则此时数轴上与点C重合的点所表示的数是　 　 ．
7．已知的整数部分是a，（b﹣2）2，则的算术平方根为　 　 ．
三．解答题（共16小题）
8．已知，求xy的算术平方根．
9．已知实数与互为相反数，y的算术平方根是14，z的绝对值为，且m和n互为倒数，求2mn+xz2的平方根．
10．已知a、b满足b．求的值．
11．（1）已知1﹣a2，求a的值；
（2）若与互为相反数，求的值．
12．已知3a﹣2的平方根是±5，4a﹣2b﹣8的算术平方根是4，求：
（1）a、b的值．
（2）求a+3b的立方根．
13．如果为a﹣3b的算术平方根，为1﹣a2的立方根，求2a﹣3b的立方根．
14．若与互为相反数，求的值．
15．利用已知算术平方根等式探究规律．
①；②；③；④
（1）猜想写出第6个等式；
（2）用含字母n（n为正整数）的式子表示第n个式子．
16．已知下列等式成立：
①2；
②3；
③4；
…
（1）根据以上规律，请直接写出第④个等式：　 　 ；
（2）根据以上规律，请你猜测等式8（m，n均为正整数）中m，n的值，并计算的值．
17．阅读下列解题过程：
①；
②，即；
③，即；
（1）猜想：　 　 ，　 　 ．
（2）请用含n的等式将你发现的规律表示出来：　 　 ．
18．阅读材料，回答问题：
观察下列各式
；
；
．
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题：
（1）猜想：　 　 ＝　 　 ；
（2）归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：　 　 ；
（3）应用：用上述规律计算．
19．“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，
即：；
例如：比较与2的大小．
∵，
又∵则，
∴，
∴．
请根据上述方法解答以下问题：
（1）的整数部分是 　 　 ，的小数部分是 　 　 ；
（2）比较与﹣3的大小；
（3）已知的小数部分是m，的小数部分是n，求m+n的值．
20．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
（1）求m的值；
（2）求|m﹣1|+（m）2的值．
21．阅读下面的文字，解答问题．
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于12，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分为（1）．解答下列问题：
（1）的整数部分是 　 　 ，小数部分是 　 　 ；
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b的值；
（3）已知12x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．
22．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为9和6，
（1）小正方形边长的值在哪两个连续的整数之间？与哪个整数较接近？（直接写结果）
（2）求图中阴影部分的面积．
（3）若小正方形边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求（y）x的值．
23．数学活动课上，张老师说：“是一个无限不循环小数，同学们，你能把的小数部分全部写出来吗？”大家议论纷纷，晶晶同学说：“要把它的小数部分全部写出来是非常难的，但我们可以用（2）表示它的小数部分．”张老师说：“晶晶同学的说法是正确的，因为4＜5＜9，所以23，所的整数部分是2，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．”接着张老师出示了以下问题，请聪明的你给出正确答案．
（1）介于连续的两个整数a和b之间，且a＜b，那么a＝　 　 ，b＝　 　 ；
（2）x是2的小数部分，y是1的整数部分，则x＝　 　 ，y＝　 　 ；
（3）已知：4x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的值．
第八章《实数》培优训练题
一．选择题（共4小题）
题号 1 2 3 4
答案 B D C B
一．选择题（共4小题）
1．若m，n满足（m﹣1）20，则的平方根是（　　）
A．±4 B．±2 C．4 D．2
【分析】根据非负数的性质求出m，n的值，求出m+n的值，再求平方根即可．
【解答】解：∵（m﹣1）2≥0，0，
∴m﹣1＝0，n﹣15＝0，
∴m＝1，n＝15，
∴4，
∴4的平方根是±2．
故选：B．
2．比较大小错误的是（　　）
A． B．21
C．6 D．
【分析】根据正整数算术平方根的大小估算，进而进行大小比较，做出判断．
【解答】解：∵5＜7，
∴，因此选项A不符合题意；
∵56，
∴72＜8，
∵910，
∴81＜9，
∴21，因此选项B不符合题意；
∵45，
∴117＜12，
∴5.56，
∴﹣65.5，因此选项C不符合题意；
∵3，2，而，
∴32，因此选项D符合题意；
故选：D．
3．已知0＜x＜1，则x，，x2，的大小关系为（　　）
A．xx2 B．x＜x2
C．x2＜x D．x＜x2
【分析】取x，求出，x2和的值，再根据实数的大小比较法则比较即可．
【解答】解：因为0＜x＜1，
所以取x，
则4，x2，，
∵4，
∴x2＜x，
故选：C．
4．把无理数，，，表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是（　　）
A． B． C． D．
【分析】设被墨迹覆盖住的无理数为x，由图可知：3＜x＜4，得，进而解决此题．
【解答】解：设被墨迹覆盖住的无理数为x．
由图可知：3＜x＜4．
∴．
∵，
∴x．
故选：B．
二．填空题（共3小题）
5．若实数m，n满足等式|，且m，n恰好是等腰三角形ABC两条边的长，则等腰三角形ABC的周长为　10　 ．
【分析】根据绝对值和平方都是非负数，得到m﹣2＝0以及n﹣4＝0，求出m，n的值．再分别讨论以m为腰以及以n为腰的情况，根据三角形三边关系判断等腰三角形ABC腰的长，进而得到周长．
【解答】解：∵|m﹣2|+（n﹣4）2＝0，
∴m﹣2＝0，n﹣4＝0，
解得m＝2，n＝4．
因为△ABC是等腰三角形，所以分两种情况讨论：
①当以m为腰时，△ABC的边长分别是2，2，4，
因为2+2＝4，所以此时不满足三角形三边关系；
②当以n为腰时，△ABC的边长分别是2，4，4，
此时满足三角形三边关系，则△ABC的周长为：C△ABC＝4+4+2＝10．
故答案为：10．
6．如图，在纸面上有一数轴，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为3，点C表示的数为．若子轩同学先将纸面以点B为中心折叠，然后再次折叠纸面使点A和点B重合，则此时数轴上与点C重合的点所表示的数是　4或6或2．　 ．
【分析】利用数轴上点的对称性解题．
【解答】解：第一次折叠后与A重合的点表示的数是：3+（3+1）＝7．
与C重合的点表示的数：3+（3）＝6．
第二次折叠，折叠点表示的数为：（3+7）＝5或（﹣1+3）＝1．
此时与数轴上的点C重合的点表示的数为：
5+（5﹣6）＝4．
或1﹣（1）＝2
故答案为：4或6或2．
7．已知的整数部分是a，（b﹣2）2，则的算术平方根为　3　 ．
【分析】先分别求出a、b、c的值，再求出的值，最后求出算术平方根即可．
【解答】解：∵45，
∴a＝4，
∵（b﹣2）2，
∴b﹣2＝0，c+3＝0，
∴b＝2，c＝﹣3，
∴9，
∴的算术平方根是3．
故答案为：3．
三．解答题（共16小题）
8．已知，求xy的算术平方根．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而利用算术平方根的定义得出答案．
【解答】解：∵与有意义，
∴x，
则y＝12，
故xy＝128，
则xy的算术平方根为：2．
9．已知实数与互为相反数，y的算术平方根是14，z的绝对值为，且m和n互为倒数，求2mn+xz2的平方根．
【分析】分别根据相反数、算术平方根、绝对值的性质、倒数可得x、y、z、mn的值，代入代数式计算可得答案．
【解答】解：∵实数与互为相反数，
∴7﹣2x＝0，
∴x，
∵y的算术平方根是14，z的绝对值为，且m和n互为倒数，
∴14，z，mn＝1，
∴2mn+xz2＝2×114﹣（）2＝2+49﹣2＝49，
∵49的平方根为±7，
∴2mn+xz2的平方根为±7．
10．已知a、b满足b．求的值．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数以及分母不等于0，即可求得a的值，进而求得b的值，然后代入求解．
【解答】解：根据题意得：，
解得：a＝﹣2．
则b＝﹣1．
则原式＝|﹣2+2|．
11．（1）已知1﹣a2，求a的值；
（2）若与互为相反数，求的值．
【分析】（1）根据立方根的定义解决此题；
（2）根据相反数的定义以及立方根的定义解决此题．
【解答】解：（1）∵1﹣a2，
∴1﹣a2＝0或1或﹣1．
当1﹣a2＝0，则a＝±1；
当1﹣a2＝﹣1，则a＝±；
当1﹣a2＝1，则a＝0．
综上：a＝±1或±或0；
（2）由题意得，0，
∴1﹣2x+3x﹣5＝0，
∴x＝4，
∴11﹣2＝﹣1．
12．已知3a﹣2的平方根是±5，4a﹣2b﹣8的算术平方根是4，求：
（1）a、b的值．
（2）求a+3b的立方根．
【分析】（1）根平方根、算术平方根的意义可以求得a、b的值；
（2）先求出a+3b的值，再求a+3b的立方根即可．
【解答】解：（1）由条件可知3a﹣2＝25，解得a＝9．
由4a﹣2b﹣8的算术平方根是4可知36﹣2b﹣8＝16，
解得b＝6，
（2）a+3b＝9+3×6＝27．
∴a+3b的立方根为3．
13．如果为a﹣3b的算术平方根，为1﹣a2的立方根，求2a﹣3b的立方根．
【分析】由算术平方根的根指数为2，立方根的根指数为3即可得到关于a、b的方程组，即；接下来求解方程组即可求出a、b，至此，再结合立方根的定义代入计算即可解答本题了．
【解答】解：由题意得：，
解得，
∴2a﹣3b＝2+6＝8，
∴2a﹣3b的立方根是2．
14．若与互为相反数，求的值．
【分析】由与互为相反数，得到1﹣2x与3y﹣2互为相反数，然后用整体代入法解决．
【解答】解：∵与互为相反数，
∴1﹣2x与3y﹣2互为相反数，
∴1﹣2x+3y﹣2＝0，
∴2x﹣1＝3y﹣2，
∴2x+1＝3y，
∴3．
15．利用已知算术平方根等式探究规律．
①；②；③；④
（1）猜想写出第6个等式；
（2）用含字母n（n为正整数）的式子表示第n个式子．
【分析】（1）由于3＝（1+1）2﹣1，8＝（2+1）2﹣1，15＝（3+1）2﹣1，24＝（4+1）2﹣1，据此可得到分数中分母与式子序号6之间的关系；
（2）根据上述结论，可用字母n（n为正整数）表示规律．
【解答】解：（1）第6个等式：7，
即7；
（2）第n个式子：
（n+1）（n为正整数）．
16．已知下列等式成立：
①2；
②3；
③4；
…
（1）根据以上规律，请直接写出第④个等式：　5　 ；
（2）根据以上规律，请你猜测等式8（m，n均为正整数）中m，n的值，并计算的值．
【分析】（1）根据上述规律，写出第④个等式即可；
（2）由2，得7＝23﹣1；3，得26＝33﹣1；即可得出：由等式8，得，求解出m，n的值，再将其代入计算即可．
【解答】解：（1）5；
故答案为：5；
（2）由2，得7＝23﹣1；
3，得26＝33﹣1；
由等式8，得，
∴m＝8，n＝511，
∴64．
17．阅读下列解题过程：
①；
②，即；
③，即；
（1）猜想：　4　 ，　5　 ．
（2）请用含n的等式将你发现的规律表示出来：　n　 ．
【分析】（1）利用二次根式的乘除法则即可求得答案；
（2）根据题干及（1）中求得的等式总结规律即可．
【解答】解：（1）4；
5；
故答案为：4；5；
（2）根据题干及（1）中求得的等式可得n，
故答案为：n．
18．阅读材料，回答问题：
观察下列各式
；
；
．
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题：
（1）猜想：　1　 ＝　1　 ；
（2）归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：　1　 ；
（3）应用：用上述规律计算．
【分析】（1）根据题目所给的例题可知：可化为1，计算即可得出答案；
（2）根据题意可知规律为，可化为1，计算即可得出答案；
（3）根据题意可化为1+111 +1，根据有理数加法计算即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意可得：11；
故答案为：1，1；
（2）根据题意可得：1（n为正整数）；
故答案为：1（n为正整数）；
（3）
＝1+1111
＝10
＝9．
19．“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，
即：；
例如：比较与2的大小．
∵，
又∵则，
∴，
∴．
请根据上述方法解答以下问题：
（1）的整数部分是 　5　 ，的小数部分是 　　 ；
（2）比较与﹣3的大小；
（3）已知的小数部分是m，的小数部分是n，求m+n的值．
【分析】（1）先估算和的大小，求出其整数部分和小数部分即可；
（2）先求出两个数的差，然后通过差的正负比较两数的大小即可；
（3）先估算的大小，进而估算的大小，求出m，n，再代入m+n进行计算即可．
【解答】解：（1）∵，
∴的整数部分是5，
∵，
∴，
，
，
∴的整数部分是1，小数部分是，
故答案为：5，；
（2）
，
∵，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
∴，
，
∴的整数部分是5，小数部分，
∵，
∴，
∴的整数部分是12，小数部分，
∴m+n
＝1．
20．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
（1）求m的值；
（2）求|m﹣1|+（m）2的值．
【分析】（1）利用数轴上两点之间距离求法得出答案；
（2）直接利用绝对值的性质以及完全平方公式计算得出答案．
【解答】解：（1）∵蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，
∴点B所表示的数比点A所表示的数大2．
∵点A表示，点B表示m，
∴m2；
（2）|m﹣1|+（m）2
＝|2﹣1|+（2）2
＝|1|+4
1+4
3．
21．阅读下面的文字，解答问题．
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于12，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分为（1）．解答下列问题：
（1）的整数部分是 　3　 ，小数部分是 　3　 ；
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b的值；
（3）已知12x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．
【分析】（1）估算无理数的大小即可；
（2）估算无理数，的大小，确定a、b的值，再代入计算即可；
（3）估算无理数12的大小，确定x、y的值，代入计算后求其相反数即可．
【解答】解：（1）∵，即34，
∴的整数部分为3，小数部分为3，
故答案为：3，3；
（2）∵23，34，
∴的小数部分为a2，的整数部分b＝3，
∴a+b2+31；
（3）∵12，
∴13＜1214，
又∵12x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，
∴x＝13，y1，
∴x﹣y＝13﹣（1）＝14，
∴x﹣y的相反数是14．
22．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为9和6，
（1）小正方形边长的值在哪两个连续的整数之间？与哪个整数较接近？（直接写结果）
（2）求图中阴影部分的面积．
（3）若小正方形边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求（y）x的值．
【分析】（1）根据算术平方根可得小正方形的边长，估算在2和3之间；
（2）根据有理数的乘方求出两个正方形的面积，然后根据阴影部分的面积的和为一个矩形的面积列式计算即可得解；
（3）根据小正方形边长为，估算出x和y的值，再代入求值即可．
【解答】解：（1）∵小正方形的面积为6，
∴小正方形的边长为，
∵4＜6＜9，
∴23，
∴小正方形的边长在2和3之间；与整数2比较接近．
（2）∵阴影部分的面积的和为一个长为，宽为（3）的矩形面积，
∴阴影部分的面积．
（3）∵小正方形的边长为，
∴x＝2，y，
∴原式
＝4．
23．数学活动课上，张老师说：“是一个无限不循环小数，同学们，你能把的小数部分全部写出来吗？”大家议论纷纷，晶晶同学说：“要把它的小数部分全部写出来是非常难的，但我们可以用（2）表示它的小数部分．”张老师说：“晶晶同学的说法是正确的，因为4＜5＜9，所以23，所的整数部分是2，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．”接着张老师出示了以下问题，请聪明的你给出正确答案．
（1）介于连续的两个整数a和b之间，且a＜b，那么a＝　4　 ，b＝　5　 ；
（2）x是2的小数部分，y是1的整数部分，则x＝　4　 ，y＝　3　 ；
（3）已知：4x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的值．
【分析】（1）估算无理数的大小即可得出答案；
（2）估算无理数的大小即可得出答案；
（3）估算无理数的大小即可得出x，y的值，代入代数式求值即可．
【解答】解：（1）∵16＜17＜25，
∴45，
∴a＝4，b＝5，
故答案为：4，5；
（2）∵45，
∴62＜7，31＜4，
∴x2﹣64，y＝3，
故答案为：4，3；
（3）∵916，
∴34，
∴7＜48，
∴x＝7，y＝473，
∴x﹣y＝7﹣（3）
＝73
＝10．

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