资源简介

平度市 2026 年高考模拟检测 (一) 数学试题
全卷满分 150 分. 考试用时 120 分钟.
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上， 并将条形码粘贴在答题卡指定位置上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.回答非选择题时, 将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 请将答题卡上交.
一、单项选择题: 本大题共 8 小题. 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四 个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 设复数 满足 ,则 ( )
A. B. 1 C. D. 2
3. 已知 是等差数列 的前 项和,若 ,则 ( )
A. 60 B. 120 C. 180 D. 240
4. 已知非零向量 ，则 “ ”是“向量 ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 把函数 图像上所有点的横坐标扩大为原来的 2 倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移 个单位长度,得到函数 的图像,则 ( )
A. B. C. D.
6. 若 4 个数据的平均值为 6 ，方差为 5 ，现加入数据 8 和 10 ，则这 6 个数据的方差为( )
A. B. 5
C. D. 4
7. 已知椭圆 上有两个动点 满足 为线段 的中点,则 的最大值为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
8. 已知定义在 上的函数 满足 ,当 时, ,则方程 所有根之和为 ( )
A. 8 B. 11 C. 15 D. 17
二、多项选择题: 本大题共 3 小题. 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四 个选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 如图所示，在正方体 中， 为 的中点，直线 交平面 于点 ,则下列结论正确的是 ( )
A. 直线 与直线 所成角为 B. 平面
C. 三点共线 D. 直线 与平面 所成角的为
10. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,过点 的直线与 的左支相交于 两点, ,则 ( )
A. B.
C. 的离心率为 D. 直线 的斜率为 4
11. 记 的内角 所对边分别为 ，点 为 的中点， ， ，延长 到点 ，使点 为线段 的中点，则( )
A.
B. 周长的取值范围为
C. 的最大值为 2
D. 的最小值为
三、填空题:本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 二项式 展开式中 项的系数为_____.
13. 若曲线 与圆 有公共点 ,且在点 处的切线相同,则实数 _____.
14. 在三棱锥 中, 平面 ,则三棱锥 外接球表面积的最小值为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.
15. 已知抛物线 ,点 为 的焦点, 是 上任意不重合的两点,当直线 过点 且垂直 轴时, .
(1)求 的方程；
(2)若直线 过点 且 的面积为 4，求 的方程.
16. 已知函数 .
(1)讨论 的单调性;
(2)当 时, 恒成立,求 的取值范围.
17. 已知三棱锥 (如图一) 的平面展开图 (如图二) 中，四边形 为边长等于 的正方形， 和 均为正三角形，在三棱锥 中:
图一
图二
(1)证明:平面 平面 ；
(2)若点 在棱 上运动，当直线 与平面 所成的角最大时，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
18. 三个人利用手机软件依次进行拼手气抢红包活动,红包的总金额数为 个单位. 第一个人抢到的金额数为 1 到 个单位且等可能 (记第一个人抢完后剩余的金额数为 ),第二个人在剩余的 个金额数中抢到 1 到 个单位且等可能,第三个人抢到剩余的所有金额数，并且每个人抢到的金额数均为整数个单位. 三个人都抢完后，获得金额数最高的人称为手气王(若有多人金额数相同且最高，则先抢到最高金额数的人称为手气王).
(1)若 ，则第一个人抢到的金额数可能为1,2,3个单位且等可能.
(i) 求第一个人抢到金额数 的分布列与期望;
(ii) 求第一个人获得手气王的概率;
(2)在三个人抢到的金额数为2,3,4的一个排列的条件下，求第一个人获得手气王的概率.
19. 在密码学领域, 欧拉函数是非常重要的, 其中最著名的应用就是在 RSA 加密算法中的应用. 设 是两个正整数,若 的最大公约数是 1,则称 互素.对于任意正整数 ,欧拉函数是不超过 且与 互素的正整数的个数,记 .
(1)求 ， 和 ；
(2)RSA 算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥:公钥和私钥.具体而言:
①准备两个不同的、足够大的素数 ；②计算 ，欧拉函数 ；
③ 求正整数 ,使得 除以 的余数是 1 ;
④其中 称为公钥， 称为私钥.
已知计算机工程师在某 RSA 算法中公布的公钥是 (187,17). 若满足题意的正整数 从小到大排列得到一列数记为数列 ,数列 满足 ,若数列 满足
项和
1. C
因 ,解得 ,即 , 又 ,则 .
2. C
由已知得 ,从而 ,即 ,所以 . 故选: C.
3. B
因为数列 为等差数列,所以 ,
所以 ,
所以 ,所以 .
4. C
因为 为非零向量,
若 ,则 ,则 ,
所以 ,所以 ,故充分性成立;
若 ,则 ,所以 ,
所以 ,则 ,故必要性成立;
所以“ ” 是 “向量 ” 的充要条件.
故选: C.
5. A
函数 的图像向左平移 个单位长度,得到 .
所有点的横坐标缩小为原来的 倍,纵坐标不变,得到 .
又 ,所以 .
6. A
设这 4 个数据为 ,依题意,
则 ,
加入数据 8 和 10 后，这 6 个数据的平均值为 ，
则方差为 .
7. D
设 为椭圆的右焦点,
由题意,椭圆的长半轴长 ,短半轴长 ,半焦距 ,
,
同理可得, ,
而 ,
即 ,解得 ,则 的最大值为 1 .
8. D
由 ,得函数 关于点 对称,
又 ,得函数 关于直线 对称,
从而函数 是周期为 4 的周期函数.
又当 时, ,则 ,
即 是 的单调递增函数, ,可画出 的部分图象,
又方程 的根即 与 的交点横坐标,如图
两函数共有 17 个交点,并且关于点 对称,故所有根之和为 17 .
9. ABC
对于 ,连接 ,四边形 是正方体 的对角面, 则四边形 为矩形, 是直线 与直线 所成角或其补角, 而 ,因此 , A 正确;
对于 平面 平面 ,则 ,又 ,
平面 ,则 平面 ,又 平面 ,
于是 ,同理 ,又 ,因此 平面 , B 正确;
对于 ,由 平面 ,得 平面 ,
由 平面 ,得 平面 ,则 是平面 和平面 的公共点,
同理,点 和 都是平面 和平面 的公共点,
因此三点 在平面 与平面 的交线上,即 三点共线, 正确;
对于 ,连接 ,设 ,连接 ,由选项 ,同理得 平面 ,
则 为直线 与平面 所成的角,在 中， ， 因此 ，D 错误.
故选: ABC
10. AC
如图,由 ,可设 . 因为 ,所以 .
对于 : 设 ,则 ,解得 ,所以
,故 A 正确, B 错误;
对于 : 在 中,由 ,得 ,则 ,从而双曲线 的离心率为 ，故 正确；
对于 D: 因为 ,所以直线 的斜率为 ,故 错误.
11. ABD
对于 ,已知 ,由正弦定理得 ,
即 ,得 ,
则有 ,得 ,
又由于 ,所以 ,故 ,
而 ,所以 ,选项 正确;
对于 ,在 中,由余弦定理 ,得 ,
所以 ,所以 ,即 ,
当且仅当 时取等号,
由于 ,
所以 的周长的取值范围为 ，故选项 B 正确；
对于 ,在 中,由正弦定理得 ,
由 的中点为 ,有 ,
为锐角三角形,则 ,得 ,
当 ,有 ,所以 ,
有 ,故 的最大值为 ,选项 C 错误;
对于 ,设 ,所以 ,在 中由余弦定理,
故当 ,即 时,
取最小值 ，所以 的最小值为 ，故 选项正确.
故选: ABD.
12. 15
根据二项式定理, 的通项 ,
当 ,即 时,可得
项的系数为 15
13. -1
对于 ,故切线斜率存在,于是 ,又 , 解得 或 (舍去),于是 ,所以 ,所以 . 故答案为: -1 .
14.
设 ，在等腰 中， ，
设 的外心是 ,外接圆半径是 ,
则 ,
设外接球球心是 ,则 平面 平面 ,则 ,
同理 , ,
又 平面 ,所以 , 是直角梯形,
设 ,外接球半径为 ,即 ,
则 ,所以 ,
在直角 中, ,
,
令 ,则 ,
,
当且仅当 时等号成立,
所以 的最小值是 .
故答案为: .
15. (1)
(2) 或
(1)设点
因为抛物线 ,所以 ,
当直线 过点 且垂直 轴时,直线 的方程为 ,
把 代入 可得 ,
故 ,所以 ,所以方程为 .
(2)由(1)可知 ，设直线 方程为 ，
联立 得 ，
则 ,
所以 ,
又点 到直线 距离 ,
所以 ,
令 ,所以 ,所以 ,解得 或 ,
所以直线 方程为 或 .
16. (1) 当 的递增区间是 ,没有单调递减区间,
若 , 的递增区间是 ,递减区间是 ;
(2)
(1) 由题知:
若 在 上单调递增
若 ,令 解得:
当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增,
综上,
当 的递增区间是 ,没有单调递减区间,
若 的递增区间是 ,递减区间是 ;
(2)依题意， 时， 恒成立，即 在 上恒成立，
令 ,则
令 ,由 (1) 知函数 在 上单调递增,
所以函数 在 上单调递增,
则有 ,即 ,
即当 时,则 ,当 时,则 ,
即 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以函数 在 处取最小值 ,于是得 ,
所以 的取值范围为 .
17.(1)取 的中点 ，连接 ，依题意， ， ， ,
则 ,即有 ,显然有 ,
而 平面 平面 ,于是 平面 ,又 平面 ,
所以平面 平面 .
(2)由(1)知， ， ， ，则 平面 ，
即 为直线 与平面 所成的角,且 ,
因此当 最短时, 最大, 最大,而 ,则 为 的中点,
以 为坐标原点,直线 分别为 轴,建立空间直角坐标系,
则 ,
设平面 的法向量为 ,则 ,令 ,得 , 显然平面 的法向量为 ,设平面 与平面 所成锐二面角为 ,
则 ,
所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
18. (1)若第一个人抢到的金额数为 个单位,第二个人抢到的金额数为 个单位,第三个人抢到的金额数为 个单位,我们将三个人抢到的金额数记作 .
(i) ,
所以 的分布列为
1 2 3
1
(ii) 第一个人获得手气王时,三个人抢到的金额数只可能为 ,
故第一个人获得手气王的概率
.
(2)记事件 “三个人抢到的金额数为2,3,4的一个排列”，事件 “第一个人获得手气王”. 所要求的是条件概率 ,有 .
当三个人抢到的金额数为2,3,4的一个排列时,总金额数为 9,故第一个人抢到的金额数可能为
1,2,3,4,5.
又 ,
,
故 .
19.
(2)
(1) 解: 由欧拉函数的定义知,不超过 3 且与 3 互素的正整数有 1,2,则 , 不超过 7 且与 7 互素的正整数有1,2,3,4,5,6,则 ,
不超过 21 且与 21 互素的正整数有1,2,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20,则 ,所以 .
(2)计算机工程师在某 RSA 加密算法中公布的公钥是 ，则 ，从而 . 由 是两个不同的素数,得 ,
在不超过 的正整数中, 的倍数有 个, 的倍数有 个,
于是 ,
所以 .
所以 ,
所以正整数 满足的条件为: ,
令 ,则 ,
令 ,则 ,
取 ,则 ,
所以 ,即 ,
由题意可知,
,
可知当 为偶数时,
可知当 为奇数时,
,
故 .

展开更多......

收起↑