资源简介

高三年级开学检测 数学
满分 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.回答非选择题时, 将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束后, 请将答题卡交回.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则( )
A. B.
C. D.
2. 记 ,若 ,则 ( )
A. B. C. D.
3. 已知向量 在 方向上的投影向量等于 ，则 ( )
A. 2 B. -1 C. 1 D. -2
4. 若某圆锥的体积为 ,其轴截面面积为 12,则该圆锥的母线长为( )
A. 3 B. 5 C. 6 D.
5. 在平面直角坐标系 中, ,点 在曲线 上, 的斜率为 ，则 ( )
A. 4
B.
C. 2
D.
6. 从 1,2,3,4 中随机抽取三个不同的数相加,得到的和记为 ,剩余的数乘以 3,记为 ,则 ( )
A. B. C. D. 1
7. 已知双曲线 的右焦点为 为 上一点，则 的最小值为 ( )
A. 1 B. C. D.
8. 已知函数 对任意实数 满足 ,且 ,则 ( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知函数 ，则正确的有( )
A. 将曲线 上的各点向左平移 个单位长度得到的曲线关于 轴对称
B. 将曲线 上的各点向左平移 个单位长度得到的曲线关于原点对称
C. 在区间 上单调递增
D. 在区间 上单调递增
10. 已知函数 ,则( )
A. 当 时,曲线 在点 处的切线方程为
B. 当 时, ,都有
C. 当 时, 有三个零点
D. 当 时, 有极大值 3
11. 对于各项均为正数的数列 ,定义数列 , 定义变换 : 将 的各项由小到大排列,去掉所有为零的项,得到数列 ,则( )
A. 若 ,则
B. 若 是递增数列,则 是递增数列
C. 若 是等差数列， ，则 的项数可能为 3
D. 若 是等比数列，则 的项数不小于
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 设正数 满足 ，则 的最小值为_____.
13. 若 的展开式中 的系数为 121,则 _____.
14. 已知椭圆 的左焦点为 ，以 为圆心、 为半径的圆与 交于 ， 两点，若 ，则 的离心率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 记 为数列 的前 项和,已知 .
(1)求 的通项公式；
(2)求 的前 项和 .
16. 深度神经网络的工作原理是模仿人脑神经元之间的连接与信息传递机制，从而提高识别速度与准确率. 现对其进行数据训练，考虑线性化神经网络，在固定权重下，对不同输入数据进行前向传播，得到对应的损失函数值(Loss)输出:
2.3 2.1 1.8 2.3 1.9 2.2 2.3 2.5 2.0 2.1.
(1)求这 10 个数据的极差 分位数 ；
(2)进行学习率调整后精细数据出现整值近似化，所有不超过 2.0 的数据归为 1 ，大于 2.0 且不超过 2.3 的数据归为 2 ，大于 2.3 的数据归为 3 ，用频率估计概率，记下一次生成的近似化整值为 ,求 的分布列和期望.
17. 如图,在三棱台 中, 平面 .
(1)证明:平面 平面 ；
(2)点 满足 ，求平面 从与平面 夹角的余弦值.
18. 已知在 中， ，点 满足 ，且 .
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的取值范围.
19.(1)当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围；
(2)设集合 ，证明: 是 的充要条件；
(3)若不等式 对于任意 恒成立，求实数 的最大值与实数 的最小值.
1. A
因为 ,
所以 .
2. C
因 ,
则 ,
则 .
3. D
由题意: ,即 .
4. B
设圆锥的底面半径为 ,母线长为 ,则 , 联立可得 ,所以 .
5. A
因为 的斜率为 2,故可设点 的坐标为 ,
因为点 在曲线 上,所以 ,
因为 ， ，所以 ，
解方程可得 .
6. B
从1,2,3,4中随机抽取三个不同的数,共有 4 种等可能的情况:
①抽取1,2,3，则 ，剩余数为4， ，此时 ；
②抽取 1,2,4 ，则 ，剩余数为 3 ， ，此时 ；
③抽取 1，3，4，则 ，剩余数为 2， ，此时 ；
④抽取2,3,4，则 ，剩余数为 ，此时 ； 在总共 4 种等可能的情况中,满足 的情况有 2 种,
因此
7. B
因为右焦点为 ,所以 ,即 ; 设双曲线的左焦点为 ，则 ；由双曲线的定义得 ， 所以 ,当 三点共线时, 有最小值, 最小值为 ，所以 的最小值为 .
8. D
令 ,可得 ,
因为 ,所以 ,
则 .
9. ACD
由 ,
A: 为偶函数,对,
B: 为非奇非偶函数,错,
C: ,则 ,显然 在区间 上单调递增,对,
D: ,则 ,显然 在区间 上单调递增, 对.
10. BC
对于 ,
当 时, ,
切线斜率 ,又切线过点 ,
故曲线在点 处的切线方程为 ,即 , A 错误,
对于 ,函数 为增函数,
,都有 ,故 正确,
对于 ,
当 时, ,
函数 在 上单调递增,又 ,
所以 在 上有一个零点,
当 时， ,
令 ,可得 ,
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
又 ,
所以函数 在区间 上有一个零点,在区间 上有一个零点,
所以 时,函数 有三个零点, 正确,
对于 ,
当 时, ,
函数 在 上单调递增,
所以函数 在 上单调递增,函数 在 上没有极值,
当 时, ,
令 ,可得 ,
当 时, ,函数 在 上单调递减,
当 时， ，函数 在 上单调递增，
所以 时,函数 取极大值,极大值为 , D 错误.
11. ABD
对于 ,若 ,则 ,所以 ,故 正确;
对于 ,由 是递增数列,得 ,
由 ,则 ,即 ,
则 是递增数列,故 正确;
对于 ,由 是等差数列,设公差为 ,则 ,
即 ,
要使 的项数为 3,则 中恰有 2 项为 0,
若 ,解得 ,此时 ,不满足题意;
若 ,解得 ,此时 ,不满足题意;
若 ,解得 ,此时 ,不满足题意;
若 ,解得 ,此时 ,不满足题意;
若 ,解得 ,此时 ,不满足题意;
若 ,解得 ,此时 ,不满足题意,
综上所述， 的项数不可能为 3，故 C 错误；
对于 ,由 是各项均为正数的等比数列,
可知方程 最多有两个整数解,
而 ,且 的项数为 ,
则 中最多有 2 项为 0,即 的项数不小于 ,故 正确.
故选: ABD
12.
由题设, , 当且仅当 ,即 时取等号,故 的最小值为 .
13. 3
由 ,
而 的展开式的通项为 ,
因为 的展开式中 的系数为 121,
所以 ,解得 .
14. 或
不妨设 焦距为 ,记右焦点为 ,易知 ,
由定义知 ,记 ,显然其为锐角,
故由 ,解得 .
在 中由余弦定理得 ，化简得 ,即 ,可得离心率 或 .
15. (1)
(2)
(1) 由 ,
当 时, ,解得 ;
当 时, ,
则 ,即 ,
所以数列 是以 1 为首项,3 为公比的等比数列,
则 .
(2)由(1)知， ，则 ，
即 ,所以 ,
则 .
16.(1)排序得 1.8 1.9 2.0 2.1 2.1 2.2 2.3 2.3 2.3 2.5,
故极差 ,
因为 ,所以第 分位数 ;
(2)这 10 个数字 1.8 1.9 2.0 2.1 2.1 2.2 2.3 2.3 2.3 2.5，近似化整值为:
3个1，6个2，1个3，所以 的可能取值为1,2,3，
再用频率估计概率可得,
所以 的分布列为:
1 2 3
所以 的期望为: .
17.(1)由题可得 ,取 中点为 ,连接 .
因 平面 平面 ,则 ,又 ,则 .
因 ，则 ，所以四边形 为正方形，
则 ,从而 ,
即 为直角三角形,所以 ;
因 平面 平面 ,则 ,又 ,
平面 ,则 平面 ,
又 平面 ,则 .
结合 平面 ,可得 平面 ,
又 平面 ，则平面 平面 ;
(2)如图，过 作 平行线，建立以 为坐标原点的空间直角坐标系. 设 ,则 . 由题 ,设 ,则 . . 设平面 法向量为 ,则 , 取 ,则 可为 ; 设平面 的法向量为 ,则 ,
则 可为 .
设平面 与平面 夹角为 ,则 .
18.
(2)2
(3)
(1)如图，
因为 ，
所以由正弦定理可得 ，
所以 .
(2)因为 ，点 满足 ，
所以 ,
在 中,由正弦定理可得: ,
因为 ,
所以 ,
所以 ,
在 中,由余弦定理可得: ,
即 ,
由( 1 )知， ，代入上式，
可得
即 ，所以 .
(3) 由 (2) 知, ，
在 中，由余弦定理可得:
令 ,
由 可知, ,故 ,
则 ,可得 ,即 ,
则 ,
故 ,
当 时, 单调递增,所以 ,
故 .
19.(1)由题意，不等式 对任意 恒成立，当 时， .
当 时,不等式化为 ,解得 .
当 时,由于 ,则 ,故 ,不等式恒成立,
当 时,对于任意 ,有 ,
因为 ,所以 ,即 恒成立,综上, 的取值范围是 .
(2)令 . 由于 ，
所以不等式 中的函数关于 对称. 即 当且仅当 .
先证明充分性: 若 ,任取 ,则 .
由 可知 ,即满足不等式条件.
根据对称性, 也满足不等式条件,即 .
所以 .
再证明必要性: 若 ,任取 ,则 .
由 可知 .
根据对称性, .
所以 .
综上, 是 的充要条件.
(3)设 ，则 ，
则 单调递增， ，
即 时, ,
则 ,
则 ,
由(1)得 ，猜测 即为实数 的最大值，
由(2)中的对称性分析可知，对于不等式 ，其左侧与右侧同时满足对称性,故只需在 上考虑不等式恒成立即可.
故下面证明: 当 时, 在 上恒成立.
设函数 ,其中 ,
令 ,得 .
因为 ,所以对于函数 ,由零点存在定理可知在 上存在唯一实根 .
当 时, 单调递增;
当 时, 单调递减. 又 .
由于 先递增后递减,且两端点值为 0,故在 上 恒成立.
所以 在 上单调递增. 故 ,即 成立.
所以 的最大值为 .
当 时, ,解得 .
下面证明: 当 时, 在 上恒成立.
设函数 ,其中 ,
. 令 ,得 . 因为 ,所以 ,故由零点存在定理,对于函数 ,在 上存在唯一实根 . 当 时,
单调递减; 当 时, ,
单调递增. .
由于 先递减后递增,且 ,故存在 ,使得 .
结合 ,由零点存在定理可知 在 上存在唯一零点 .
在 上 单调递增; 在 上 单调递减.
又 . 所以 在 上恒成立,即 .
所以 的最小值为 . 综上所述,实数 的最大值为 ,实数 的最小值为 .

展开更多......

收起↑