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第4讲　转化与化归思想
思想概述　转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情形使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.
方法一　特殊与一般的转化
　　一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案.
例1　(1)已知函数f(x)满足对 x，y∈R，有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，且f(1)=1，则f(-3)等于(　　)
A.2 B.3 C.6 D.9
思路分析　方法一　取特值求f(2)，f(3)f(3)与f(-3)的关系→求f(-3).
方法二　令f(x)=x2→求f(-3).
答案　D
解析　方法一　令x=y=0，得f(0)=0，
令x=y=1，得f(2)=4，
令x=2，y=1，得f(3)=9，
令x=3，y=-3，得f(0)=f(3)+f(-3)-18，
解得f(-3)=9.
方法二　取f(x)=x2，满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy及f(1)=1，
所以f(-3)=(-3)2=9.
批注　此类题目一般都是采用方法一，赋值法求解，比较烦琐，所以可以直接取满足条件的函数求解.
(2)在△ABC中，点M，N满足=2，=，若=x+y，x，y∈R，则x=　　　　，y=　　　　.
思路分析　假设AC⊥AB，AB=4，AC=3，建系→写出坐标→利用向量的坐标运算求解.
答案　　-
解析　特殊化，不妨设AC⊥AB，AB=4，AC=3，如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，M(0，2)，C(0，3)，B(4，0)，N，
∴=，=(4，0)，=(0，3)，
∵=x+y，即=x(4，0)+y(0，3)，
∴4x=2，3y=-，∴x=，y=-.
[规律方法]　一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单；特殊问题一般化，可以把握问题的一般规律，使我们达到成批处理问题的效果.对于客观题，当题设条件提供的信息在普通条件下都成立或暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，可以快捷地得到答案.
方法二　命题的等价转化
　　将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决.一般包括数与形的转化、正与反的转化、常量与变量的转化、图形形体及位置的转化.
例2　(1)已知命题p： x∈(0，3)，x2-a-2ln x≤0.若p为假命题，则a的取值范围为　　　　.
思路分析　p为假命题→綈p为真命题→x2-a-2ln x>0恒成立→a答案　(-∞，1)
解析　∵p为假命题，
∴綈p： x∈(0，3)，x2-a-2ln x>0为真命题，
故对 x∈(0，3)，a令f(x)=x2-2ln x，x∈(0，3)，
则f'(x)=2x-=，x∈(0，3)，
令f'(x)>0，解得1令f'(x)<0，解得0∴f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，3)上单调递增，
∴f(x)min=f(1)=1，∴a<1.
(2)某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示，底面ABCD是边长为2的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直，则该包装盒的容积为(　　)
A. B. C.10 D.20
思路分析　补成长方体→求补的部分的体积→长方体的体积减去补的部分的体积即可.
答案　A
解析　将几何体补全为长方体，如图所示，
A1E=A1H=A1B1=1，
AA1=
==，
所以该包装盒的容积为
-4
=2×2×-4×
=4-=.
[规律方法]　根据命题的等价性对题目条件进行明晰化是解题常见的思路；对复杂问题可采用正难则反策略，也称为“补集法”；含两个变量的问题可以变换主元.
方法三　函数、方程、不等式之间的转化
　　函数与方程、不等式紧密联系，通过研究函数y=f(x)的图象性质可以确定方程f(x)=0、不等式f(x)>0和f(x)<0的解集.
例3　(1)已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈，总存在唯一的y∈[-1，1]，使得ln x-x+1+a=y2ey成立，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
思路分析　f(x)=ln x-x+1+a，x∈的值域M→g(y)=y2ey的单调性、图象→结合g(y)的图象，找到唯一的y对应的g(y)的值的取值集合N→利用M N求解.
答案　B
解析　设f(x)=ln x-x+1+a，当x∈时，f'(x)=≥0，f(x)单调递增，
所以当x∈时，f(x)∈.
设g(y)=y2ey，则g'(y)=eyy(y+2)，
则g(y)在[-1，0)上单调递减，在[0，1]上单调递增，g(0)=0，且g(-1)=因为对任意的x∈，
总存在唯一的y∈[-1，1]，
使得f(x)=g(y)成立，所以 ，
所以(2)已知m，n∈(2，e)，且-A.m>n　　　　 B.mC.m>2+　　　D.m，n的大小关系不确定
思路分析　由-答案　A
解析　由不等式可得-即+ln n<+ln m，
设f(x)=+ln x，x∈(2，e)，
则f'(x)=-+=.
因为x∈(2，e)，所以f'(x)>0，
故函数f(x)在(2，e)上单调递增.
因为f(n)所以n[规律方法]　借助函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出含参变量的范围.
专题强化练
[分值：80分]
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知函数f(x)=x5+ax3+bx-8，且f(-2)=10，那么f(2)等于(　　)
A.-26 B. -18 C. -10 D.10
答案　A
解析　∵f(x)=x5+ax3+bx-8，
∴f(-x)=-x5-ax3-bx-8，
∴f(x)+f(-x)=-16，
令x=2，则f(2)+f(-2)=-16，
又f(-2)=10，∴f(2)=-16-10=-26.
2.已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是(　　)
A.3 B.4 C. D.
答案　B
解析　由2xy≤得，
8=x+2y+2xy≤x+2y+(当且仅当x=2y时取等号)，解得x+2y≥4或x+2y≤-8，
由条件知x+2y>0，所以x+2y≥4，
当且仅当x=2，y=1时等号成立.
所以x+2y的最小值为4.
3.在平行四边形ABCD中，||=12，||=8，若点M，N满足=3，=2，则·等于(　　)
A.20 B.15 C.36 D.6
答案　C
解析　假设平行四边形ABCD为矩形，以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0，0)，M(12，6)，N(8，8)，
∴=(12，6)，=(4，-2)，
∴·=12×4+6×(-2)=36.
4.已知向量a≠e，|e|=1，对任意t∈R，恒有|a-te|≥|a-e|，则(　　)
A.a⊥e B.a⊥(a-e)
C.e⊥(a-e) D.(a+e)⊥(a-e)
答案　C
解析　不等式等价于(a-te)2≥(a-e)2，
整理得t2-2a·te+2a·e-1≥0对任意t∈R恒成立，所以Δ≤0，
又Δ=4(a·e)2-4(2a·e-1)=4(a·e-1)2≥0，
所以Δ=0，即(a·e-1)2=0，
所以a·e=1，所以e·(a-e)=a·e-e2=0，
即e⊥(a-e).
5.已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，CC1=2，E为CC1的中点，则直线AC1到平面BED的距离为(　　)
A.2 B. C. D.1
答案　D
解析　如图所示，连接AC交BD于点O，连接OE，易知O为AC的中点，因为E为CC1的中点，所以OE∥AC1，
又OE 平面BED，AC1 平面BED，
所以AC1∥平面BED，所以直线AC1到平面BED的距离等于点C1到平面BED的距离.
又E为CC1的中点，所以点C1到平面BED的距离等于点C到平面BED的距离.
由题意得BE=DE=，BD=2，则OE=2，
设点C到平面BED的距离为d，
由V三棱锥C-BED=V三棱锥E-BDC，
得S△BED·d=S△BDC·EC，
即××2×2×d=××2×2×，
解得d=1，即直线AC1到平面BED的距离为1.
6.已知不等式t2-2at+1≥sin x对任意x∈[-π，π]及a∈[-1，1]恒成立，则实数t的取值范围是(　　)
A.t≤-2或t≥2 B.t≤2
C.t≥-2 D.t≤-2或t≥2或t=0
答案　D
解析　由t2-2at+1≥sin x对任意x∈[-π，π]恒成立，得t2-2at+1≥1，即2at-t2≤0，
令f(a)=2at-t2，
则f(a)≤0对任意a∈[-1，1]恒成立，
所以
解得t≤-2或t≥2或t=0.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+4)=f(x)+f(2)，且在区间[0，2]上单调递增，则下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)的一个周期为4
B.直线x=-4是函数f(x)图象的一条对称轴
C.函数f(x)在[-6，-5)上单调递增，在[-5，-1)上单调递减
D.函数f(x)在[0，100]内有25个零点
答案　ABD
解析　f(x+4)=f(x)+f(2)， ①
在①式中，令x=-2，得f(2)=f(-2)+f(2)，即f(-2)=0，
由于函数f(x)为偶函数，故f(2)=f(-2)=0，
所以f(x+4)=f(x)， ②
函数f(x)是以4为周期的周期函数，故A正确；
因为f(x)为偶函数，则f(x)=f(-x)， ③
在③式中，用x-4代替x得，f(x-4)=f(4-x)，
由周期性可得f(x-4)=f(4-x-8)，即f(x-4)=f(-x-4)，
所以直线x=-4是函数f(x)图象的一条对称轴，故B正确；
因为f(x)在区间[0，2]上单调递增，且f(x)为偶函数，所以f(x)在[-2，0]上单调递减，又f(x)的一个周期为4，所以函数f(x)在[-6，-4]上单调递减，故C错误；
根据f(2)=0，f(x)的一个周期为4可知，f(2)=f(6)=f(10)=…=f(98)=0，
故f(x)在[0，100]内共有25个零点，故D正确.
8.已知函数f(x)满足：① x，y∈R，f(x+y)+f(x)+f(y)=f(x)f(y)+2；②若x≠y，则f(x)≠f(y).则下列结论正确的有(　　)
A.f(0)=2
B.f(x)+f(-x)≥4
C.若f(1)=3，则f(2)=5
D.若f(3)=9，则f(4)=11
答案　ABC
解析　对于A，f(x+y)+f(x)+f(y)=f(x)f(y)+2，令x=y=0，
得3f(0)=[f(0)]2+2，解得f(0)=1或f(0)=2，
当f(0)=1时，令y=0，得2f(x)+1=f(x)+2，解得f(x)=1，
此时也有f(y)=1，与若x≠y，则f(x)≠f(y)矛盾，故排除，
所以f(0)=2，故A正确；
对于B，令y=-x，结合f(0)=2，
得2+f(x)+f(-x)=f(x)f(-x)+2，
化简得f(x)+f(-x)=f(x)f(-x)，
由重要不等式得f(x)f(-x)≤，
当且仅当f(x)=f(-x)时取等号，
故f(x)+f(-x)≤，
解得f(x)+f(-x)≥4或f(x)+f(-x)≤0，
而f(0)=2，故f(x)+f(-x)≤0不成立，
所以f(x)+f(-x)≥4成立，故B正确；
对于C，若f(1)=3，令y=1，得f(x+1)+f(x)+3=3f(x)+2，
故f(x+1)=2f(x)-1，则f(2)=2f(1)-1=6-1=5，故C正确；
对于D，令f(x)=2x+1，满足f(3)=9，
由指数函数性质，得f(x)在R上单调递增，满足当x≠y时，f(x)≠f(y)，
而f(x+y)+f(x)+f(y)=2x+y+1+2x+1+2y+1=2x+y+2x+2y+3，
f(x)f(y)+2=(2x+1)(2y+1)+2=2x+y+2x+2y+1+2=2x+y+2x+2y+3，
故f(x)满足f(x+y)+f(x)+f(y)=f(x)f(y)+2，
则f(4)=24+1=17，故D错误.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知函数f(x)=ln x-ax-2在区间(1，2)上不单调，则实数a的取值范围为　　　　　　.
答案　
解析　f'(x)=-a=.
①若函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，则f'(x)≥0在(1，2)上恒成立，
即当x∈(1，2)时，≥0恒成立，
则a≤，所以a≤；
②若函数f(x)在区间(1，2)上单调递减，则f'(x)≤0在(1，2)上恒成立，
即当x∈(1，2)时，≤0恒成立，
则a≥，所以a≥1.
综上，若函数f(x)在区间(1，2)上单调，则实数a的取值范围为a≤或a≥1.
所以若函数f(x)在区间(1，2)上不单调，则实数a的取值范围为.
10.已知a为正实数，若不等式≥1+-对一切非负实数x恒成立，则a的最大值为　　　　.
答案　4
解析　原不等式可化为≥1+- 对x≥0恒成立，(*)
令=t，t≥1，则x=t2-1，
所以(*)式可化为≥1+-t==对t≥1恒成立，
而(t-1)2≥0，当且仅当t=1时等号成立，
所以≥1对t≥1恒成立，又a为正实数，
所以a≤[(t+1)2]min=4 ，故a的最大值是4.
四、解答题(共28分)
11.(13分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=2，(b+c)(sin C-sin B)=a(sin A-sin B).
(1)求角C的值；(3分)
(2)求a+2b的最大值；(5分)
(3)若AB边上的中线CD的长为2，求△ABC的面积.(5分)
解　(1)因为(b+c)(sin C-sin B)=a(sin A-sin B)，
由正弦定理得(b+c)(c-b)=a(a-b)，
即a2+b2-c2=ab，
所以cos C===，
又因为C∈(0，π)，所以C=.
(2)由(1)知C=且c=2，设△ABC的外接圆半径为R，可得2R==，
又由正弦定理，得a=2Rsin A=sin A，
b=2Rsin B=sin B，且A+B=，
则a+2b=sin A+sin B=sin A+sin
=sin A+
=sin A+4cos A=sin(A+φ)，
其中tan φ=，且φ为锐角，
因为0(3)因为CD为AB边上的中线，且CD=2，
则=+)，
所以||2=(||2+||2+2||||cos C)=(a2+b2+ab)，
即a2+b2+ab=16， ①
又由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C，
得a2+b2-ab=4， ②
联立①②，可得ab=6，
所以△ABC的面积S△ABC=absin C=×6×=.
12.(15分)(2025·石家庄模拟)已知函数f(x)=x+aln x-xa，a∈R.
(1)当a=2时，求函数f(x)在x=1处的切线方程；(5分)
(2)若不等式f(x)+ ≥0对x∈(1，+∞)恒成立，求实数a的最小值.(10分)
解　(1)当a=2时，
f(x)=x+2ln x-x2，f(1)=0，
所以f'(x)=1+-2x，f'(1)=1，
所以函数f(x)在x=1处的切线方程为y=x-1.
(2)由题意知f(x)+ ≥0对x∈(1，+∞)恒成立，得x+aln x-xa+ ≥0对x∈(1，+∞)恒成立，
所以当x∈(1，+∞)时，x+ ≥xa-aln x=xa-ln xa恒成立，
即-ln ≥xa-ln xa恒成立，
构造函数g(x)=x-ln x，x>0，则g≥g(xa)在x∈(1，+∞)上恒成立，
g'(x)=1-=，
令g'(x)>0，解得x>1，
令g'(x)<0，解得0故g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，
又x∈(1，+∞)，则0<<1，而xa与1的大小不确定，
因为求实数a的最小值，故只需考虑a为负数的情况，
此时0故≤xa在x∈(1，+∞)上恒成立，两边取对数得-x≤aln x在x∈(1，+∞)上恒成立，
即a≥-在(1，+∞)上恒成立，
令h(x)=-，x∈(1，+∞)，
则h'(x)=，
令h'(x)>0，得1e，
所以h(x)在(1，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减，
所以h(x)≤h(e)=-e，即a≥-e，故a的最小值是-e.

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