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广东省高州中学2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025八下·高州期中）下列图形既是轴对称又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·高州期中）下列多项式不能用公式法分解因式的是( )
A． B． C． D．
3．（2025八下·高州期中）若不等式组的解为，则下列各式正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·高州期中）如图，三角形是由三角形平移得到，其中A的对应点为D，B的对应点为E．连接，则下列结论不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·高州期中）如图，于，且；将射线绕点逆时针旋转角，至位置，点为射线上一点，则的值不可能是（　　）
A． B．2 C．5 D．16
6．（2025八下·高州期中）将含的直角三角板直角顶点放置在直尺的一边上，，与直尺的交点分别为点，，，如图．若点，对应的刻度分别为，，，则的长是（　　）．
A． B． C． D．
7．（2025八下·高州期中）如图，在边长为的正方形的右下角，剪去一个边长为的小正方形，将余下部分拼成一个平行四边形，这一过程可以验证一个关于，的等式为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025八下·高州期中）将已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八下·高州期中）一次函数与的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025八下·高州期中）已知a﹑b﹑c为△ABC的三条边边长，且满足等式a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，则△ABC的形状为（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025八下·高州期中）小高同学计划去文具店购买3支笔和x本笔记本，笔的单价为2元，笔记本单价为8元，若购买的总金额少于30元，依题意可列不等式：　 　．
12．（2025八下·高州期中）如图，将（）绕点O逆时针旋转得到，则　 　．
13．（2025八下·高州期中）若是完全平方式，则m的值是　 　．
14．（2025八下·高州期中）若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是　 　．
15．（2025八下·高州期中）如图，在和中，，，．连接，交于点．以下四个结论：①；②；③；④平分，其中结论正确有　 　．（写序号）
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．（2025八下·高州期中）将下列多项式因式分解：
（1）；
（2）．
17．（2025八下·高州期中）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
18．（2025八下·高州期中）解不等式组，并写出它的所有正整数解．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（2025八下·高州期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，．将先向下平移5个单位长度，然后向右平移6个单位长度，得到．
（1）写出点，，的坐标；
（2）在平面直角坐标系中画出与；
20．（2025八下·高州期中）（1）如图1，大圆半径，小圆半径，求圆环的面积（结果保留）．
（2）如图2，是圆的直径，点在上，以为圆心，圆为半径作圆，若图中阴影部分的面积为，，求的长．
21．（2025八下·高州期中）如图，已知，，垂足分别为，，与交于点，．
（1）写出与的数量关系，并说明理由；
（2）若是的中点，连接，求证：线段所在直线是边的垂直平分线．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．（2025八下·高州期中）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔．某商场欲购进一批头盔，已知购进8个甲型头盔和6个乙型头盔需要540元；购进6个甲型头盔和8个乙型头盔需要580元．
（1）购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？
（2）若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过8200元，则最多可购进乙型头盔多少个？
（3）在（2）的条件下，若该商场分别以55元/个、80元/个的价格销售完甲、乙两种型号的200个头盔，能否实现利润不少于5540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
23．（2025八下·高州期中）在学习等腰直角三角形中，发现了很多有趣的问题．
（1）问题解决：如图①，为等腰直角三角形上一点，绕点逆时针旋转得，连接，求证：；
（2）问题探究：如图②，在（1）的条件下，连接，探究，，之间的数量关系；
（3）拓展延伸：如图③，在四边形中，，，连接，则，，之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
故选：D．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
2．【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A：，不符合题意；
B：，不符合题意；
C：，不符合题意；
D：不能进行因式分解，符合题意
故答案为：D
【分析】根据平方差公式和完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵不等式组的解为，
∴，
故答案为：B.
【分析】利用“同小取小”确定不等式组的解集确解题即可．
4．【答案】D
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵三角形是由三角形平移得到，
∴，，
故选项A，B，C一定成立，选项D不一定成立.
故答案为：D．
【分析】根据平移的性质对A，B，C、D各选项进行判断即可得答案.
5．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，
过作于，
由旋转可得：，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的值不可能是；
故答案为：A.
【分析】过作于，根据旋转的性质等于，根据角平分线的性质得等于，根据垂直，，得即可得答案.
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意得：，，
，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
故选：B ．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据三角形内角和定理可得∠AEF，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：如图，
左图的阴影部分面积为：，
右图的面积为：，
故答案为：D．
【分析】根据正方形面积公式，结合图形求出左图的阴影部分面积，右图的面积为，根据两图面积相等即可得答案.
8．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又∵不等式的解集为，
∴，
解得：，
故答案为：B．
【分析】不等式的性质：不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；根据不等式的性质，按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答．
9．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由于当时，一次函数的图象位于一次函数的图象上方，
故不等式的解集为．
故选：C．
【分析】当一次函数的图象位于一次函数的图象上方时，有，结合函数图象信息即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】因式分解的应用；等边三角形的判定；因式分解的应用-判断三角形形状
【解析】【解答】解：∵a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴为等边三角形．
故答案为：B．
【分析】根据分组分解因式的方法，把a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0分解为，再根据非负数性质得，即可判断为等边三角形．
11．【答案】
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意得：，
故答案为：．
【分析】根据题目情境列出不等式即可.
12．【答案】
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将（）绕点O逆时针旋转得到，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由旋转得到，然后利用角的和差解题即可．
13．【答案】
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是一个完全平方式，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据完全平方公式即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
解不等式①得x≥a，
解不等式②得x＜
∴该不等式组的解集为，
该不等式组有个整数解，
整数解为，，，
；
故答案为：.
【分析】将a作为参数，根据解不等式的步骤分别求出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”确定出不等式组的解集，然后根据该不等式组有三个整数解为5、4、3可确定a的取值范围.
15．【答案】①②④
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：①∵，
，即，
在和中，
，
∴，
∴，结论①正确；
②如图1，设与交于点，
∵，
∴，
在中，，
，
在中，，
，
，
，结论②正确；
③假设，
，
∴，
∴，
∵，
∴，根据已知条件无法得出这个结论，
即假设不成立，结论③错误；
④如图2，过点作于点，于点，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，，且点在的内部，
∴平分，结论④正确；
综上，结论正确有①②④，
故答案为：①②④．
【分析】根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质可判断①；设与交于点，根据全等三角形性质可得，再根据三角形内角和定理可得，则，可判断②；假设，根据角之间的关系可判断③；过点作于点，于点，根据全等三角形性质可得，，再根据三角形面积可得，再根据角平分线判定定理可判断④.
16．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）提公因式，结合完全平方公式因式分解即可求出答案.
（2）提公因式，结合平方差公式因式分解即可求出答案.
（1）解：
；
（2）解：
．
17．【答案】解：去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得．
解集在数轴上表示如图．
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，可得不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可．
18．【答案】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
把①②的解在数轴表示为：
根据数轴得不等式组的解集为：，
∴不等式组的所有正整数解有1，2，3．
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先解不等式①得：，再解不等式②得：，把①②的解在数轴表示出来，公共部分即为不等式组的解集，进一步即可得不等式组的整数解.
19．【答案】（1），，
（2）解：如图与即为所求．
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】（1）解：将先向下平移5个单位长度，然后向右平移6个单位长度，得到；，
的三个顶点的坐标分别是，，，
，
即．
【分析】（1）根据点的平移即可求出答案.
（2）在直角坐标系中作出各顶点，再依次连接即可求出答案.
（1）解：将先向下平移5个单位长度，然后向右平移6个单位长度，得到；，
的三个顶点的坐标分别是，，，
，
即．
（2）解：如图与即为所求．
20．【答案】解：（1）
（2）S阴影
∵阴影部分的面积为，
∴
∴．
【知识点】因式分解﹣公式法；圆的面积
【解析】【分析】（1）根据阴影部分面积=大圆面积-小圆面积即可求出答案.
（2）根据阴影部分面积=大圆面积-小圆面积建立方程，解方程即可求出答案.
21．【答案】（1）解：，理由如下：
，，
，
在和中，
，
，
．
（2）证明：由（1）得，，
，
，
点在边的垂直平分线上，
又是的中点，
，
在边的垂直平分线上，
线段所在直线是边的垂直平分线．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，根据等角对等边可得，根据垂直平分线判定定理及性质即可求出答案.
（1）解：，理由如下：
，，
，
在和中，
，
，
．
（2）证明：由（1）得，，
，
，
点在边的垂直平分线上，
又是的中点，
，
在边的垂直平分线上，
线段所在直线是边的垂直平分线．
22．【答案】（1）解：设购进1个甲型头盔需要元，购进1个乙型头盔需要元，根据题意得：
，解得：，
∴购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要50元.
（2）解：设购进乙型头盔个，则购进甲型头盔个，根据题意得：
，解得，
的最大值为110，
∴最多可购进乙型头盔110个.
（3）解：能实现利润不少于5540元的目标，根据题意得：
，解得，
，
为整数，
可取108，109和110，对应的的值92，91，90．
因此能实现利润不少于5540元的目标，该商场有三种采购方案：
①采购甲型头盔92个，采购乙型头盔108个；
②采购甲型头盔91个，采购乙型头盔109个；
③采购甲型头盔90个，采购乙型头盔110个．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设购进1个甲型头盔需要x元，1个乙型头盔需要y元，根据题目情境列出方程组，解出即可.
（2）设购进m个乙型头盔，则购进个甲型头盔，根据总价单价数量，结合题目情境列出一元一次不等式解出不等式即可.
（3）根据总利润每个甲型头盔的销售利润购进甲型头盔的数量每个乙型头盔的销售利润购进乙型头盔的数量，结合题目情境列出一元一次不等式，解出m的取值范围，结合且m为正整数，即可得出各采购方案．
（1）解：设购进1个甲型头盔需要元，购进1个乙型头盔需要元，
根据题意，得，
解得，
答：购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要50元；
（2）设购进乙型头盔个，则购进甲型头盔个，
根据题意，得，
解得，
的最大值为110，
答：最多可购进乙型头盔110个；
（3）能实现利润不少于5540元的目标，
根据题意，得，
解得，
，
为整数，
可取108，109和110，对应的的值92，91，90．
因此能实现利润不少于5540元的目标，该商场有三种采购方案：
①采购甲型头盔92个，采购乙型头盔108个；
②采购甲型头盔91个，采购乙型头盔109个；
③采购甲型头盔90个，采购乙型头盔110个．
23．【答案】（1）证明：如图①，
是等腰直角三角形，
，，
根据旋转性质得：是等腰直角三角形，
，，
，
.
（2）解：，理由如下：
如图②，
∵，，，
，
，
，
.
（3）解：，，之间的数量关系为：，理由如下：
如图，
将绕点逆时针旋转得到，
，，，，
，，
，
，
，
点、、在同一条直线上，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；四边形的综合；旋转全等模型
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得相等，为，根据旋转性质得是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质得相等，为，进一步推理得相等.
（2）根据相等，相等，相等，可证明全等，根据全等性质得相等，根据线段的和差即可得.
（3）将绕点逆时针旋转得到，根据已知条件可证点、、在同一条直线上，进一步得是等腰直角三角形，根据直角三角形的性质得即可.
（1）证明：是等腰直角三角形，
，，
由旋转可知：是等腰直角三角形，
，，
，
；
（2）解：，理由如下：
由，，，
，
，
；
（3）解：结论：，理由如下：
将绕点逆时针旋转得到，
，，，，
，，
，
，
，
点、、在同一条直线上，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
．
1 / 1广东省高州中学2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025八下·高州期中）下列图形既是轴对称又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
故选：D．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
2．（2025八下·高州期中）下列多项式不能用公式法分解因式的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A：，不符合题意；
B：，不符合题意；
C：，不符合题意；
D：不能进行因式分解，符合题意
故答案为：D
【分析】根据平方差公式和完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
3．（2025八下·高州期中）若不等式组的解为，则下列各式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵不等式组的解为，
∴，
故答案为：B.
【分析】利用“同小取小”确定不等式组的解集确解题即可．
4．（2025八下·高州期中）如图，三角形是由三角形平移得到，其中A的对应点为D，B的对应点为E．连接，则下列结论不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵三角形是由三角形平移得到，
∴，，
故选项A，B，C一定成立，选项D不一定成立.
故答案为：D．
【分析】根据平移的性质对A，B，C、D各选项进行判断即可得答案.
5．（2025八下·高州期中）如图，于，且；将射线绕点逆时针旋转角，至位置，点为射线上一点，则的值不可能是（　　）
A． B．2 C．5 D．16
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，
过作于，
由旋转可得：，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的值不可能是；
故答案为：A.
【分析】过作于，根据旋转的性质等于，根据角平分线的性质得等于，根据垂直，，得即可得答案.
6．（2025八下·高州期中）将含的直角三角板直角顶点放置在直尺的一边上，，与直尺的交点分别为点，，，如图．若点，对应的刻度分别为，，，则的长是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意得：，，
，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
故选：B ．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据三角形内角和定理可得∠AEF，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.
7．（2025八下·高州期中）如图，在边长为的正方形的右下角，剪去一个边长为的小正方形，将余下部分拼成一个平行四边形，这一过程可以验证一个关于，的等式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：如图，
左图的阴影部分面积为：，
右图的面积为：，
故答案为：D．
【分析】根据正方形面积公式，结合图形求出左图的阴影部分面积，右图的面积为，根据两图面积相等即可得答案.
8．（2025八下·高州期中）将已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又∵不等式的解集为，
∴，
解得：，
故答案为：B．
【分析】不等式的性质：不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；根据不等式的性质，按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答．
9．（2025八下·高州期中）一次函数与的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由于当时，一次函数的图象位于一次函数的图象上方，
故不等式的解集为．
故选：C．
【分析】当一次函数的图象位于一次函数的图象上方时，有，结合函数图象信息即可求出答案.
10．（2025八下·高州期中）已知a﹑b﹑c为△ABC的三条边边长，且满足等式a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，则△ABC的形状为（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】B
【知识点】因式分解的应用；等边三角形的判定；因式分解的应用-判断三角形形状
【解析】【解答】解：∵a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴为等边三角形．
故答案为：B．
【分析】根据分组分解因式的方法，把a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0分解为，再根据非负数性质得，即可判断为等边三角形．
二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025八下·高州期中）小高同学计划去文具店购买3支笔和x本笔记本，笔的单价为2元，笔记本单价为8元，若购买的总金额少于30元，依题意可列不等式：　 　．
【答案】
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意得：，
故答案为：．
【分析】根据题目情境列出不等式即可.
12．（2025八下·高州期中）如图，将（）绕点O逆时针旋转得到，则　 　．
【答案】
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将（）绕点O逆时针旋转得到，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由旋转得到，然后利用角的和差解题即可．
13．（2025八下·高州期中）若是完全平方式，则m的值是　 　．
【答案】
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是一个完全平方式，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据完全平方公式即可求出答案.
14．（2025八下·高州期中）若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
解不等式①得x≥a，
解不等式②得x＜
∴该不等式组的解集为，
该不等式组有个整数解，
整数解为，，，
；
故答案为：.
【分析】将a作为参数，根据解不等式的步骤分别求出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”确定出不等式组的解集，然后根据该不等式组有三个整数解为5、4、3可确定a的取值范围.
15．（2025八下·高州期中）如图，在和中，，，．连接，交于点．以下四个结论：①；②；③；④平分，其中结论正确有　 　．（写序号）
【答案】①②④
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：①∵，
，即，
在和中，
，
∴，
∴，结论①正确；
②如图1，设与交于点，
∵，
∴，
在中，，
，
在中，，
，
，
，结论②正确；
③假设，
，
∴，
∴，
∵，
∴，根据已知条件无法得出这个结论，
即假设不成立，结论③错误；
④如图2，过点作于点，于点，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，，且点在的内部，
∴平分，结论④正确；
综上，结论正确有①②④，
故答案为：①②④．
【分析】根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质可判断①；设与交于点，根据全等三角形性质可得，再根据三角形内角和定理可得，则，可判断②；假设，根据角之间的关系可判断③；过点作于点，于点，根据全等三角形性质可得，，再根据三角形面积可得，再根据角平分线判定定理可判断④.
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．（2025八下·高州期中）将下列多项式因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）提公因式，结合完全平方公式因式分解即可求出答案.
（2）提公因式，结合平方差公式因式分解即可求出答案.
（1）解：
；
（2）解：
．
17．（2025八下·高州期中）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】解：去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得．
解集在数轴上表示如图．
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，可得不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可．
18．（2025八下·高州期中）解不等式组，并写出它的所有正整数解．
【答案】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
把①②的解在数轴表示为：
根据数轴得不等式组的解集为：，
∴不等式组的所有正整数解有1，2，3．
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先解不等式①得：，再解不等式②得：，把①②的解在数轴表示出来，公共部分即为不等式组的解集，进一步即可得不等式组的整数解.
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（2025八下·高州期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，．将先向下平移5个单位长度，然后向右平移6个单位长度，得到．
（1）写出点，，的坐标；
（2）在平面直角坐标系中画出与；
【答案】（1），，
（2）解：如图与即为所求．
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】（1）解：将先向下平移5个单位长度，然后向右平移6个单位长度，得到；，
的三个顶点的坐标分别是，，，
，
即．
【分析】（1）根据点的平移即可求出答案.
（2）在直角坐标系中作出各顶点，再依次连接即可求出答案.
（1）解：将先向下平移5个单位长度，然后向右平移6个单位长度，得到；，
的三个顶点的坐标分别是，，，
，
即．
（2）解：如图与即为所求．
20．（2025八下·高州期中）（1）如图1，大圆半径，小圆半径，求圆环的面积（结果保留）．
（2）如图2，是圆的直径，点在上，以为圆心，圆为半径作圆，若图中阴影部分的面积为，，求的长．
【答案】解：（1）
（2）S阴影
∵阴影部分的面积为，
∴
∴．
【知识点】因式分解﹣公式法；圆的面积
【解析】【分析】（1）根据阴影部分面积=大圆面积-小圆面积即可求出答案.
（2）根据阴影部分面积=大圆面积-小圆面积建立方程，解方程即可求出答案.
21．（2025八下·高州期中）如图，已知，，垂足分别为，，与交于点，．
（1）写出与的数量关系，并说明理由；
（2）若是的中点，连接，求证：线段所在直线是边的垂直平分线．
【答案】（1）解：，理由如下：
，，
，
在和中，
，
，
．
（2）证明：由（1）得，，
，
，
点在边的垂直平分线上，
又是的中点，
，
在边的垂直平分线上，
线段所在直线是边的垂直平分线．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，根据等角对等边可得，根据垂直平分线判定定理及性质即可求出答案.
（1）解：，理由如下：
，，
，
在和中，
，
，
．
（2）证明：由（1）得，，
，
，
点在边的垂直平分线上，
又是的中点，
，
在边的垂直平分线上，
线段所在直线是边的垂直平分线．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．（2025八下·高州期中）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔．某商场欲购进一批头盔，已知购进8个甲型头盔和6个乙型头盔需要540元；购进6个甲型头盔和8个乙型头盔需要580元．
（1）购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？
（2）若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过8200元，则最多可购进乙型头盔多少个？
（3）在（2）的条件下，若该商场分别以55元/个、80元/个的价格销售完甲、乙两种型号的200个头盔，能否实现利润不少于5540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设购进1个甲型头盔需要元，购进1个乙型头盔需要元，根据题意得：
，解得：，
∴购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要50元.
（2）解：设购进乙型头盔个，则购进甲型头盔个，根据题意得：
，解得，
的最大值为110，
∴最多可购进乙型头盔110个.
（3）解：能实现利润不少于5540元的目标，根据题意得：
，解得，
，
为整数，
可取108，109和110，对应的的值92，91，90．
因此能实现利润不少于5540元的目标，该商场有三种采购方案：
①采购甲型头盔92个，采购乙型头盔108个；
②采购甲型头盔91个，采购乙型头盔109个；
③采购甲型头盔90个，采购乙型头盔110个．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设购进1个甲型头盔需要x元，1个乙型头盔需要y元，根据题目情境列出方程组，解出即可.
（2）设购进m个乙型头盔，则购进个甲型头盔，根据总价单价数量，结合题目情境列出一元一次不等式解出不等式即可.
（3）根据总利润每个甲型头盔的销售利润购进甲型头盔的数量每个乙型头盔的销售利润购进乙型头盔的数量，结合题目情境列出一元一次不等式，解出m的取值范围，结合且m为正整数，即可得出各采购方案．
（1）解：设购进1个甲型头盔需要元，购进1个乙型头盔需要元，
根据题意，得，
解得，
答：购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要50元；
（2）设购进乙型头盔个，则购进甲型头盔个，
根据题意，得，
解得，
的最大值为110，
答：最多可购进乙型头盔110个；
（3）能实现利润不少于5540元的目标，
根据题意，得，
解得，
，
为整数，
可取108，109和110，对应的的值92，91，90．
因此能实现利润不少于5540元的目标，该商场有三种采购方案：
①采购甲型头盔92个，采购乙型头盔108个；
②采购甲型头盔91个，采购乙型头盔109个；
③采购甲型头盔90个，采购乙型头盔110个．
23．（2025八下·高州期中）在学习等腰直角三角形中，发现了很多有趣的问题．
（1）问题解决：如图①，为等腰直角三角形上一点，绕点逆时针旋转得，连接，求证：；
（2）问题探究：如图②，在（1）的条件下，连接，探究，，之间的数量关系；
（3）拓展延伸：如图③，在四边形中，，，连接，则，，之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：如图①，
是等腰直角三角形，
，，
根据旋转性质得：是等腰直角三角形，
，，
，
.
（2）解：，理由如下：
如图②，
∵，，，
，
，
，
.
（3）解：，，之间的数量关系为：，理由如下：
如图，
将绕点逆时针旋转得到，
，，，，
，，
，
，
，
点、、在同一条直线上，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；四边形的综合；旋转全等模型
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得相等，为，根据旋转性质得是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质得相等，为，进一步推理得相等.
（2）根据相等，相等，相等，可证明全等，根据全等性质得相等，根据线段的和差即可得.
（3）将绕点逆时针旋转得到，根据已知条件可证点、、在同一条直线上，进一步得是等腰直角三角形，根据直角三角形的性质得即可.
（1）证明：是等腰直角三角形，
，，
由旋转可知：是等腰直角三角形，
，，
，
；
（2）解：，理由如下：
由，，，
，
，
；
（3）解：结论：，理由如下：
将绕点逆时针旋转得到，
，，，，
，，
，
，
，
点、、在同一条直线上，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
．
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