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浙江省浙东北县域名校发展联盟2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题
一、单项选择题（每小题5分，共40分）
1．（2025高一下·浙江期中）在中，，，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量减法运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】运用平面向量减法法则运算得解.
2．（2025高一下·浙江期中）下列命题中，正确的是（　　）
A．若直线a与平面平行，则a平行于内的任何直线
B．若两直线a，b都与平面平行，则
C．若直线a平行于平面，直线b在平面内，则
D．若直线l与平面平行，则平面内有无数条直线与l平行
【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：A、若直线a与平面平行，则也可能与平面内某直线异面，该选项错误，不合题意；
B、若两直线a，b都与平面α平行，则两直线可以平行、相交，也可以异面，该选项错误，不合题意；
C、若直线a平行于平面α，直线b在平面α内，则或两直线异面，该选项错误，不合题意；
D、如果一条直线与一个平面平行，那么平面内必有一条直线与给定直线平行，而平面内与一条直线平行的直线有无数条，根据平行的传递性，这些直线都与给定直线平行，所以有无数条，该选项正确，符合题意.
故答案为：D
【分析】当与平面内某直线异面时，直线a与平面平行，可判断A；两直线a，b都与平面α平行，则两直线可以平行、相交，也可以异面，可判断B；直线a平行于平面α，直线b在平面α内，则或两直线异面，可判断C；根据线面平行的定义可判断D.
3．（2025高一下·浙江期中）已知向量，，则在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，，所以，，
所以向量在上的投影向量为.
故答案为：A
【分析】代入在上的投影向量公式计算得解.
4．（2025高一下·浙江期中）底面边长为，侧面积为的正四棱锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】棱锥的结构特征；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图，正四棱锥，，为底面正方形中心，为中点，
由已知可得，所以，
又，所以，
所以正四棱锥的体积为.
故答案为：C
【分析】解△SBC面积可得出斜高，解△SBO可得正四棱锥的高SO，代入体积公式可得解.
5．（2025高一下·浙江期中）用一个平行于棱锥底面的平面去截一个底面积为4的棱锥，截得的棱台的上底面积为1，已知截去的棱锥的顶点到其底面的距离为3，则棱台的体积为（　　）
A．12 B．9 C．7 D．6
【答案】C
【知识点】棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意截去小棱锥的高为3，设大棱锥的高为h，
根据截面与底面为相似多边形，面积比为相似比的平方，则，所以，
所以棱台的高是，所以棱台的体积为.
故答案为：C．
【分析】先推算出原棱锥的总高度，再通过原棱锥高度与截得小棱锥高度的差值，求得棱台的高度；将棱台的相关参数（包括求得的高）代入棱台体积计算公式，即可求解.
6．（2025高一下·浙江期中）在正方体中，P、M分别是、的中点，则直线与所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：如图：
取中点，连接，，，，
由正方体可知，，所以四边形为平行四边形，所以，
则异面直线与所成角即为直线与所成角，
即或其补角即为所求，设，则，，
由正方体可知，平面，平面，
即，则，
在中，由余弦定理，
即直线与所成角的余弦值为.
故答案为：C.
【分析】取中点，连接，，，利用正方体的性质得 四边形为平行四边形 ，可证，则异面直线与所成角即或其补角，解，代入余弦定理得解.
7．（2025高一下·浙江期中）如图五边形由一个长方形和等腰三角形构成，其中，，D是的中点，将，，折起，使A、B、C三点重合于点P，则与平面所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：由题意可知形成三棱锥，如图：
取的中点，连接，，过点作于点，连接，
因为，所以，，，
平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
又平面平面，，平面，所以平面，
故为与平面所成角，
又，，，平面，所以平面，
又平面，所以，且，
因为，所以，又，
所以，在直角三角形中，，
所以与平面所成角的正弦值为.
故答案为：D
【分析】取的中点，连接，，过点作于点，连接，△DEF、△PEF中线得，，可证平面平面，由面面垂直的性质定理得平面，则与平面所成角就是；线面垂直的判定及性质定理得，解Rt△PDM得解.
8．（2025高一下·浙江期中）如图是小明家阁楼的一处墙角示意图，其中，在的角平分线上有一定点A，在A处有一盏灯，灯的光线能照亮覆盖的区域范围（图中，），若A距离地面高度为，则这盏灯可照亮的四边形区域的最大面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，设，.
由题意：，，，，
所以，.
因为四边形的面积：.
因为.
设，则，.
所以（当且仅当，即时取“”）.
此时.
所以四边形区域的最大面积是.
故答案为：B
【分析】过点作于点，设，得，. 继而得 ：，单独化简得 ，设，得，利用基本不等式得，验证等号成立条件，代入S中得，得解.
二、多项选择题（每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9．（2025高一下·浙江期中）若是一组基底，则下列各组向量中，可以作为基底的有（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】共线（平行）向量；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：A、由已知是一组基底，则与不共线，
设，则，无解，
所以不存在实数使得，即与不共线，
所以可以作为一组基底，该选项正确，符合题意；
B、设，则，无解，
所以不存在实数使得，即与不共线，
所以可以作为一组基底，该选项正确，符合题意；
C、，即与共线，
所以不可以作为基底，该选项错误，不合题意；
D、设，则，无解，
所以不存在实数使得，即与不共线，
所以可以作为一组基底，该选项正确，符合题意；
故答案为：ABD.
【分析】由基底的概念，先判断所给的两个向量是否共线即可.
10．（2025高一下·浙江期中）根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B,C
【知识点】解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：A、由正弦定理得：，解得，
根据，可得：，显然不满足内角和为，该选项错误，不合题意；
B、由正弦定理得：，解得，
根据，且，仅存在一个锐角满足，该选项正确，符合题意；
C、由正弦定理得：，解得，
根据，可得：，显然满足唯一解，该选项正确，符合题意；
D、由正弦定理得：，解得，
根据，且，可得一个锐角和钝角都满足题意，该选项错误，不合题意；
故答案为：BC.
【分析】由正弦定理得，根据，可得：，显然不满足内角和为，可判断A；正弦定理得，，且，仅存在一个锐角满足，可判断B；正弦定理得，根据，可得：，显然满足唯一解，可判断C；正弦定理得，，且，可得一个锐角和钝角都满足题意，可判断D；
11．（2025高一下·浙江期中）我们称底面直径与高相等的圆柱为等边圆柱，如图，在等边圆柱内有一个正三棱锥，正三棱锥的底面在圆柱底面圆周上，顶点P是圆柱的上底面中心，M是底面三角形边的中点，连接，是上底面的一条直径且不平行于，若圆柱的高为4，则下列说法中，正确的是（　　）
A．中的长为
B．圆柱的外接球的体积与圆柱的体积之比为
C．四面体的体积最大值为8
D．半平面与半平面所成二面角的余弦值的取值范围是
【答案】B,C,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；二面角及二面角的平面角；柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：
A、因为圆柱的高为4，所以底面直径为4，
设下底面圆的圆心为，因为底面圆为等边的外接圆，
所以点为等边的中心，所以，又，
所以，该选项错误，不合题意；
B、设底面圆的半径为，则，
设圆柱的外接球的半径为，所以，
所以，，
所以，
即圆柱的外接球的体积与圆柱的体积之比为，该选项正确，符合题意；
C、四面体的体积可看作三棱锥和三棱锥的体积之和，
且，
当平面时，三棱锥和三棱锥的体积最大，即四面体的体积最大，
所以最大值为，
该选项正确，符合题意；
D、连接，当平面时，因为平面，所以，
又，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
此时为半平面与半平面所成二面角，
又，
所以，
当趋于与平行时，此时半平面与半平面所成二面角趋于，
所以二面角的余弦值趋于，
所以当在上底面运动且不平行于时，半平面与半平面所成二面角的余弦值的取值范围是，该选项正确，符合题意.
故答案为：.
【分析】对于选项A，设下底面圆的圆心为，在直角三角形中，根据勾股定理得；对于选项B，易得，代入球和圆柱的体积公式，得；对于选项C，由已知可得当平面时，四面体的体积最大，最大值为8；对于选项D，得为半平面与半平面所成二面角，，当趋于与平行时，半平面与半平面所成二面角趋于；不平行于时，半平面与半平面所成二面角的余弦值的取值范围是.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2025高一下·浙江期中）如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的面积为　 　．
【答案】
【知识点】平面图形的直观图；斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：根据题意，将直观图还原为原图，如图所示，
可得为直角三角形，其中，
所以的面积为．
故答案为：
【分析】由斜二测画法，可得原图，，代入面积公式，得解.
13．（2025高一下·浙江期中）已知高为1的正四棱柱的顶点都在表面积为的球面上，则该正四棱柱的表面积为　 　．
【答案】16
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：由已知得球的半径，则正四棱柱的体对角线为3，
设正四棱柱的底面边长为，则，解得，
所以该正四棱柱的表面积为，
故答案为：16．
【分析】易求球的半径，体对角线为3，即，解得，代入表面积公式得解
14．（2025高一下·浙江期中）已知向量，，满足，，，若时，的最小值为1，则　 　．
【答案】2
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为，所以，
又，所以，所以，
所以，又，所以，
所以，化简得，即，
而
，
因为，所以当时，的最小值为，则.
故答案为：2
【分析】由，，得，展开，结合得，由求模的方法化简得，可由二次函数性质求得最值，得解
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（2025高一下·浙江期中）已知向量和满足以下条件：
（1）求和；
（2）若且，求实数的值；
（3）若且，，求．
【答案】（1）解：由，
则，即，
所以；
（2）解： 由（1）得，，
则，
又且，
则，解得；
（3）解：由，，
所以，
又，
所以，即，
由，则，
解得或，
即或.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【分析】（1）类比求解二元一次方程组方法，解得，；
（2）由（1）即向量加法得，向量共线坐标公式得，得解；
（3）先得，由垂直得即，又，则，联立可解.
（1）由，
则，即，
所以；
（2）由（1）得，，
则，
又且，
则，解得；
（3）由，，
所以，
又，
所以，即，
由，则，
解得或，
即或.
16．（2025高一下·浙江期中）四棱锥的底面是边长为的正方形，是的中点，
（1）证明：平面；
（2）若在底面上的投影为底面中心，求直线到平面的距离．
【答案】（1）证明：连接交于点，连接
因为四边形是正方形，所以是的中点
因为是的中点，所以
又因为平面，平面，
所以平面；
（2）解：因为在底面上的投影为底面中心，所以平面
因为平面，所以，
由（1）知，平面，
所以直线到平面的距离等于点到平面的距离
因为为正方形，所以
因为平面，平面，，
所以平面，
所以点到平面的距离即线段的长度
在正方形中，，
所以，所以直线到平面的距离为
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）连接交于点O，证明，根据线面平行判定定理得证平面；
（2）在底面上的投影为底面中心，所以平面可证明，平面，
所以直线到平面的距离等于点到平面的距离，可得平面，点到平面的距离即线段的长度，结合计算可得.
（1）证明：连接交于点，连接
因为四边形是正方形，所以是的中点
因为是的中点，所以
又因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为在底面上的投影为底面中心，所以平面
因为平面，所以，
由（1）知，平面，
所以直线到平面的距离等于点到平面的距离
因为为正方形，所以
因为平面，平面，，
所以平面，
所以点到平面的距离即线段的长度
在正方形中，，
所以，所以直线到平面的距离为
17．（2025高一下·浙江期中）如图，在等腰梯形中，，是的中点，在线段上（含边界），和相交于点，令、，
（1）若是的中点，用和表示；
（2）若，求并求的取值范围．
【答案】（1）解：因为是的中点，所以，
在等腰梯形中，因为，
所以，
所以，
因为是的中点，所以，
所以；
（2）解： 因为，
所以
又，，
设，
由，，共线，则，
即，所以，
所以，
所以
易得，，
所以
因为，所以令，
所以.
【知识点】向量的模；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）是的中点，所以，得因为是的中点，所以，
再由向量线性运算法则计算可得；
（2）由，得，根据向量线性运算法则直接计算，可得
，利用换元法求得范围.
（1）因为是的中点，所以，
在等腰梯形中，因为，
所以，
所以，
因为是的中点，所以，
所以；
（2）因为，
所以
又，，
设，
由，，共线，则，
即，所以，
所以，
所以
易得，，
所以
因为，所以令，
所以.
18．（2025高一下·浙江期中）在学习了解三角形后，小万和小千尝试探究下面的问题：如图，在中，，，，，，在边上，且，连接，请完成下述两个问题，并且写出解答过程．
（1）小万说：我能求出边的最短长度；
（2）小千说：我能求出边的最短长度；
【答案】（1）解：因为，所以，
因为，所以，即，
在中，由余弦定理得，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，即边的最短长度为；
（2）解：因为在边上，且，所以，，
所以在中，由余弦定理得，
同理在中，由余弦定理得，
因为，所以，
即
，
即，
所以，
所以
，
当且仅当，时等号成立，所以的最小值为.
【知识点】解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据三角形面积可得，由余弦定理得，运用基本不等式，验证等号得解；
（2）解和，分别用余弦定理，，，且，得结合基本不等式求解.
（1）因为，所以，
因为，所以，即，
在中，由余弦定理得，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，即边的最短长度为；
（2）因为在边上，且，所以，，
所以在中，由余弦定理得，
同理在中，由余弦定理得，
因为，所以，
即
，
即，
所以，
所以
，
当且仅当，时等号成立，所以的最小值为.
19．（2025高一下·浙江期中）如图，等腰直角三角形所在平面与半圆弧所在平面垂直，且，M是上异于A、B的点，N是的中点．
（1）证明：平面；
（2）若三棱锥体积最大为，设，
（ⅰ）求体积最大时α的值及此时二面角的余弦值；
（ⅱ）当M在弧上运动时（不与A、B重合），证明：点O到平面的距离．
【答案】（1）证明：因为M是半圆弧上一点，所以，即，
因为分别是的中点，所以，，
因为是等腰直角三角形，，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又因为平面，所以，
因为平面，，所以平面．
（2）解：（ⅰ）设的半径为r，过点M作交于点G，如图，则，
因为，
故当最大时，体积最大，此时M位于的中点处，
所以，，所以．
由（1）知，平面，因为平面，所以，
因为，平面平面，
所以为二面角的平面角，
因为平面，平面，所以，
因为时，，，
在中，，
所以，所以二面角的平面角的余弦值为．
（ⅱ）：过点M作交于点G，如图所示，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
由（ⅰ）知，
当时，，则，
所以，
由等腰三角形得，，
因为平面，平面，所以，
所以，
在中，，，
所以，
又因为，
所以．
【知识点】直线与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质，平面平面，且，得平面．
（2）（ⅰ）由三棱锥体积，最大时，体积最大，此时M位于的中点处，得V最大为，求得半径．又为二面角（ⅰ）的平面角，，中，勾股定理得，得，得解；
（ⅰi）由（ⅰ）知，可求得，中，，得，等体积法得d.
（1）证明：因为M是半圆弧上一点，所以，即，
因为分别是的中点，所以，，
因为是等腰直角三角形，，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又因为平面，所以，
因为平面，，所以平面．
（2）（ⅰ）设的半径为r，过点M作交于点G，如图，则，
因为，
故当最大时，体积最大，此时M位于的中点处，
所以，，所以．
由（1）知，平面，因为平面，所以，
因为，平面平面，
所以为二面角的平面角，
因为平面，平面，所以，
因为时，，，
在中，，
所以，所以二面角的平面角的余弦值为．
（ⅱ）：过点M作交于点G，如图所示，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
由（ⅰ）知，
当时，，则，
所以，
由等腰三角形得，，
因为平面，平面，所以，
所以，
在中，，，
所以，
又因为，
所以．
1 / 1浙江省浙东北县域名校发展联盟2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题
一、单项选择题（每小题5分，共40分）
1．（2025高一下·浙江期中）在中，，，则等于（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高一下·浙江期中）下列命题中，正确的是（　　）
A．若直线a与平面平行，则a平行于内的任何直线
B．若两直线a，b都与平面平行，则
C．若直线a平行于平面，直线b在平面内，则
D．若直线l与平面平行，则平面内有无数条直线与l平行
3．（2025高一下·浙江期中）已知向量，，则在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025高一下·浙江期中）底面边长为，侧面积为的正四棱锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025高一下·浙江期中）用一个平行于棱锥底面的平面去截一个底面积为4的棱锥，截得的棱台的上底面积为1，已知截去的棱锥的顶点到其底面的距离为3，则棱台的体积为（　　）
A．12 B．9 C．7 D．6
6．（2025高一下·浙江期中）在正方体中，P、M分别是、的中点，则直线与所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高一下·浙江期中）如图五边形由一个长方形和等腰三角形构成，其中，，D是的中点，将，，折起，使A、B、C三点重合于点P，则与平面所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高一下·浙江期中）如图是小明家阁楼的一处墙角示意图，其中，在的角平分线上有一定点A，在A处有一盏灯，灯的光线能照亮覆盖的区域范围（图中，），若A距离地面高度为，则这盏灯可照亮的四边形区域的最大面积是（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题（每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9．（2025高一下·浙江期中）若是一组基底，则下列各组向量中，可以作为基底的有（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025高一下·浙江期中）根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
11．（2025高一下·浙江期中）我们称底面直径与高相等的圆柱为等边圆柱，如图，在等边圆柱内有一个正三棱锥，正三棱锥的底面在圆柱底面圆周上，顶点P是圆柱的上底面中心，M是底面三角形边的中点，连接，是上底面的一条直径且不平行于，若圆柱的高为4，则下列说法中，正确的是（　　）
A．中的长为
B．圆柱的外接球的体积与圆柱的体积之比为
C．四面体的体积最大值为8
D．半平面与半平面所成二面角的余弦值的取值范围是
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2025高一下·浙江期中）如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的面积为　 　．
13．（2025高一下·浙江期中）已知高为1的正四棱柱的顶点都在表面积为的球面上，则该正四棱柱的表面积为　 　．
14．（2025高一下·浙江期中）已知向量，，满足，，，若时，的最小值为1，则　 　．
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（2025高一下·浙江期中）已知向量和满足以下条件：
（1）求和；
（2）若且，求实数的值；
（3）若且，，求．
16．（2025高一下·浙江期中）四棱锥的底面是边长为的正方形，是的中点，
（1）证明：平面；
（2）若在底面上的投影为底面中心，求直线到平面的距离．
17．（2025高一下·浙江期中）如图，在等腰梯形中，，是的中点，在线段上（含边界），和相交于点，令、，
（1）若是的中点，用和表示；
（2）若，求并求的取值范围．
18．（2025高一下·浙江期中）在学习了解三角形后，小万和小千尝试探究下面的问题：如图，在中，，，，，，在边上，且，连接，请完成下述两个问题，并且写出解答过程．
（1）小万说：我能求出边的最短长度；
（2）小千说：我能求出边的最短长度；
19．（2025高一下·浙江期中）如图，等腰直角三角形所在平面与半圆弧所在平面垂直，且，M是上异于A、B的点，N是的中点．
（1）证明：平面；
（2）若三棱锥体积最大为，设，
（ⅰ）求体积最大时α的值及此时二面角的余弦值；
（ⅱ）当M在弧上运动时（不与A、B重合），证明：点O到平面的距离．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平面向量减法运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】运用平面向量减法法则运算得解.
2．【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：A、若直线a与平面平行，则也可能与平面内某直线异面，该选项错误，不合题意；
B、若两直线a，b都与平面α平行，则两直线可以平行、相交，也可以异面，该选项错误，不合题意；
C、若直线a平行于平面α，直线b在平面α内，则或两直线异面，该选项错误，不合题意；
D、如果一条直线与一个平面平行，那么平面内必有一条直线与给定直线平行，而平面内与一条直线平行的直线有无数条，根据平行的传递性，这些直线都与给定直线平行，所以有无数条，该选项正确，符合题意.
故答案为：D
【分析】当与平面内某直线异面时，直线a与平面平行，可判断A；两直线a，b都与平面α平行，则两直线可以平行、相交，也可以异面，可判断B；直线a平行于平面α，直线b在平面α内，则或两直线异面，可判断C；根据线面平行的定义可判断D.
3．【答案】A
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，，所以，，
所以向量在上的投影向量为.
故答案为：A
【分析】代入在上的投影向量公式计算得解.
4．【答案】C
【知识点】棱锥的结构特征；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图，正四棱锥，，为底面正方形中心，为中点，
由已知可得，所以，
又，所以，
所以正四棱锥的体积为.
故答案为：C
【分析】解△SBC面积可得出斜高，解△SBO可得正四棱锥的高SO，代入体积公式可得解.
5．【答案】C
【知识点】棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意截去小棱锥的高为3，设大棱锥的高为h，
根据截面与底面为相似多边形，面积比为相似比的平方，则，所以，
所以棱台的高是，所以棱台的体积为.
故答案为：C．
【分析】先推算出原棱锥的总高度，再通过原棱锥高度与截得小棱锥高度的差值，求得棱台的高度；将棱台的相关参数（包括求得的高）代入棱台体积计算公式，即可求解.
6．【答案】C
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：如图：
取中点，连接，，，，
由正方体可知，，所以四边形为平行四边形，所以，
则异面直线与所成角即为直线与所成角，
即或其补角即为所求，设，则，，
由正方体可知，平面，平面，
即，则，
在中，由余弦定理，
即直线与所成角的余弦值为.
故答案为：C.
【分析】取中点，连接，，，利用正方体的性质得 四边形为平行四边形 ，可证，则异面直线与所成角即或其补角，解，代入余弦定理得解.
7．【答案】D
【知识点】直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：由题意可知形成三棱锥，如图：
取的中点，连接，，过点作于点，连接，
因为，所以，，，
平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
又平面平面，，平面，所以平面，
故为与平面所成角，
又，，，平面，所以平面，
又平面，所以，且，
因为，所以，又，
所以，在直角三角形中，，
所以与平面所成角的正弦值为.
故答案为：D
【分析】取的中点，连接，，过点作于点，连接，△DEF、△PEF中线得，，可证平面平面，由面面垂直的性质定理得平面，则与平面所成角就是；线面垂直的判定及性质定理得，解Rt△PDM得解.
8．【答案】B
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，设，.
由题意：，，，，
所以，.
因为四边形的面积：.
因为.
设，则，.
所以（当且仅当，即时取“”）.
此时.
所以四边形区域的最大面积是.
故答案为：B
【分析】过点作于点，设，得，. 继而得 ：，单独化简得 ，设，得，利用基本不等式得，验证等号成立条件，代入S中得，得解.
9．【答案】A,B,D
【知识点】共线（平行）向量；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：A、由已知是一组基底，则与不共线，
设，则，无解，
所以不存在实数使得，即与不共线，
所以可以作为一组基底，该选项正确，符合题意；
B、设，则，无解，
所以不存在实数使得，即与不共线，
所以可以作为一组基底，该选项正确，符合题意；
C、，即与共线，
所以不可以作为基底，该选项错误，不合题意；
D、设，则，无解，
所以不存在实数使得，即与不共线，
所以可以作为一组基底，该选项正确，符合题意；
故答案为：ABD.
【分析】由基底的概念，先判断所给的两个向量是否共线即可.
10．【答案】B,C
【知识点】解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：A、由正弦定理得：，解得，
根据，可得：，显然不满足内角和为，该选项错误，不合题意；
B、由正弦定理得：，解得，
根据，且，仅存在一个锐角满足，该选项正确，符合题意；
C、由正弦定理得：，解得，
根据，可得：，显然满足唯一解，该选项正确，符合题意；
D、由正弦定理得：，解得，
根据，且，可得一个锐角和钝角都满足题意，该选项错误，不合题意；
故答案为：BC.
【分析】由正弦定理得，根据，可得：，显然不满足内角和为，可判断A；正弦定理得，，且，仅存在一个锐角满足，可判断B；正弦定理得，根据，可得：，显然满足唯一解，可判断C；正弦定理得，，且，可得一个锐角和钝角都满足题意，可判断D；
11．【答案】B,C,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；二面角及二面角的平面角；柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：
A、因为圆柱的高为4，所以底面直径为4，
设下底面圆的圆心为，因为底面圆为等边的外接圆，
所以点为等边的中心，所以，又，
所以，该选项错误，不合题意；
B、设底面圆的半径为，则，
设圆柱的外接球的半径为，所以，
所以，，
所以，
即圆柱的外接球的体积与圆柱的体积之比为，该选项正确，符合题意；
C、四面体的体积可看作三棱锥和三棱锥的体积之和，
且，
当平面时，三棱锥和三棱锥的体积最大，即四面体的体积最大，
所以最大值为，
该选项正确，符合题意；
D、连接，当平面时，因为平面，所以，
又，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
此时为半平面与半平面所成二面角，
又，
所以，
当趋于与平行时，此时半平面与半平面所成二面角趋于，
所以二面角的余弦值趋于，
所以当在上底面运动且不平行于时，半平面与半平面所成二面角的余弦值的取值范围是，该选项正确，符合题意.
故答案为：.
【分析】对于选项A，设下底面圆的圆心为，在直角三角形中，根据勾股定理得；对于选项B，易得，代入球和圆柱的体积公式，得；对于选项C，由已知可得当平面时，四面体的体积最大，最大值为8；对于选项D，得为半平面与半平面所成二面角，，当趋于与平行时，半平面与半平面所成二面角趋于；不平行于时，半平面与半平面所成二面角的余弦值的取值范围是.
12．【答案】
【知识点】平面图形的直观图；斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：根据题意，将直观图还原为原图，如图所示，
可得为直角三角形，其中，
所以的面积为．
故答案为：
【分析】由斜二测画法，可得原图，，代入面积公式，得解.
13．【答案】16
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：由已知得球的半径，则正四棱柱的体对角线为3，
设正四棱柱的底面边长为，则，解得，
所以该正四棱柱的表面积为，
故答案为：16．
【分析】易求球的半径，体对角线为3，即，解得，代入表面积公式得解
14．【答案】2
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为，所以，
又，所以，所以，
所以，又，所以，
所以，化简得，即，
而
，
因为，所以当时，的最小值为，则.
故答案为：2
【分析】由，，得，展开，结合得，由求模的方法化简得，可由二次函数性质求得最值，得解
15．【答案】（1）解：由，
则，即，
所以；
（2）解： 由（1）得，，
则，
又且，
则，解得；
（3）解：由，，
所以，
又，
所以，即，
由，则，
解得或，
即或.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【分析】（1）类比求解二元一次方程组方法，解得，；
（2）由（1）即向量加法得，向量共线坐标公式得，得解；
（3）先得，由垂直得即，又，则，联立可解.
（1）由，
则，即，
所以；
（2）由（1）得，，
则，
又且，
则，解得；
（3）由，，
所以，
又，
所以，即，
由，则，
解得或，
即或.
16．【答案】（1）证明：连接交于点，连接
因为四边形是正方形，所以是的中点
因为是的中点，所以
又因为平面，平面，
所以平面；
（2）解：因为在底面上的投影为底面中心，所以平面
因为平面，所以，
由（1）知，平面，
所以直线到平面的距离等于点到平面的距离
因为为正方形，所以
因为平面，平面，，
所以平面，
所以点到平面的距离即线段的长度
在正方形中，，
所以，所以直线到平面的距离为
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）连接交于点O，证明，根据线面平行判定定理得证平面；
（2）在底面上的投影为底面中心，所以平面可证明，平面，
所以直线到平面的距离等于点到平面的距离，可得平面，点到平面的距离即线段的长度，结合计算可得.
（1）证明：连接交于点，连接
因为四边形是正方形，所以是的中点
因为是的中点，所以
又因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为在底面上的投影为底面中心，所以平面
因为平面，所以，
由（1）知，平面，
所以直线到平面的距离等于点到平面的距离
因为为正方形，所以
因为平面，平面，，
所以平面，
所以点到平面的距离即线段的长度
在正方形中，，
所以，所以直线到平面的距离为
17．【答案】（1）解：因为是的中点，所以，
在等腰梯形中，因为，
所以，
所以，
因为是的中点，所以，
所以；
（2）解： 因为，
所以
又，，
设，
由，，共线，则，
即，所以，
所以，
所以
易得，，
所以
因为，所以令，
所以.
【知识点】向量的模；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）是的中点，所以，得因为是的中点，所以，
再由向量线性运算法则计算可得；
（2）由，得，根据向量线性运算法则直接计算，可得
，利用换元法求得范围.
（1）因为是的中点，所以，
在等腰梯形中，因为，
所以，
所以，
因为是的中点，所以，
所以；
（2）因为，
所以
又，，
设，
由，，共线，则，
即，所以，
所以，
所以
易得，，
所以
因为，所以令，
所以.
18．【答案】（1）解：因为，所以，
因为，所以，即，
在中，由余弦定理得，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，即边的最短长度为；
（2）解：因为在边上，且，所以，，
所以在中，由余弦定理得，
同理在中，由余弦定理得，
因为，所以，
即
，
即，
所以，
所以
，
当且仅当，时等号成立，所以的最小值为.
【知识点】解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据三角形面积可得，由余弦定理得，运用基本不等式，验证等号得解；
（2）解和，分别用余弦定理，，，且，得结合基本不等式求解.
（1）因为，所以，
因为，所以，即，
在中，由余弦定理得，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，即边的最短长度为；
（2）因为在边上，且，所以，，
所以在中，由余弦定理得，
同理在中，由余弦定理得，
因为，所以，
即
，
即，
所以，
所以
，
当且仅当，时等号成立，所以的最小值为.
19．【答案】（1）证明：因为M是半圆弧上一点，所以，即，
因为分别是的中点，所以，，
因为是等腰直角三角形，，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又因为平面，所以，
因为平面，，所以平面．
（2）解：（ⅰ）设的半径为r，过点M作交于点G，如图，则，
因为，
故当最大时，体积最大，此时M位于的中点处，
所以，，所以．
由（1）知，平面，因为平面，所以，
因为，平面平面，
所以为二面角的平面角，
因为平面，平面，所以，
因为时，，，
在中，，
所以，所以二面角的平面角的余弦值为．
（ⅱ）：过点M作交于点G，如图所示，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
由（ⅰ）知，
当时，，则，
所以，
由等腰三角形得，，
因为平面，平面，所以，
所以，
在中，，，
所以，
又因为，
所以．
【知识点】直线与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质，平面平面，且，得平面．
（2）（ⅰ）由三棱锥体积，最大时，体积最大，此时M位于的中点处，得V最大为，求得半径．又为二面角（ⅰ）的平面角，，中，勾股定理得，得，得解；
（ⅰi）由（ⅰ）知，可求得，中，，得，等体积法得d.
（1）证明：因为M是半圆弧上一点，所以，即，
因为分别是的中点，所以，，
因为是等腰直角三角形，，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又因为平面，所以，
因为平面，，所以平面．
（2）（ⅰ）设的半径为r，过点M作交于点G，如图，则，
因为，
故当最大时，体积最大，此时M位于的中点处，
所以，，所以．
由（1）知，平面，因为平面，所以，
因为，平面平面，
所以为二面角的平面角，
因为平面，平面，所以，
因为时，，，
在中，，
所以，所以二面角的平面角的余弦值为．
（ⅱ）：过点M作交于点G，如图所示，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
由（ⅰ）知，
当时，，则，
所以，
由等腰三角形得，，
因为平面，平面，所以，
所以，
在中，，，
所以，
又因为，
所以．
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