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广东省肇庆市某校2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2025七下·肇庆期中）49的平方根是（　　）
A．7 B．﹣7 C．±7 D．
2．（2025七下·肇庆期中）若一个正数的两个平方根分别是与，则m的值是（　　）
A． B． C．1 D．16
3．（2025七下·肇庆期中）在下列各数：3.1415926、、0.2、、、、中无理数的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2025七下·肇庆期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025七下·肇庆期中）点A（，1）关于y轴对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣，﹣1） B．（﹣，1）
C．（，﹣1） D．（，1）
6．（2025七下·肇庆期中）如图所示，点E在的延长线上，下列条件中不能判断的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025七下·肇庆期中）如图，将直尺与角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025七下·肇庆期中）若y轴上的点A到x轴的距离为3，则点A的坐标为（　　）
A． B．或 C． D．或
9．（2025七下·肇庆期中）下列命题中正确的有（　　）
①相等的角是对顶角； ②在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥c；
③同旁内角互补； ④互为邻补角的两角的角平分线互相垂直．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．（2025七下·肇庆期中）如图，动点M按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的规律运动，则第2024次运动到点（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（2025七下·肇庆期中）已知，用含的式子表示，则　 　．
12．（2025七下·肇庆期中）若某个电影院用 表示5排12号，则3排4号可以表示为　 　．
13．（2025七下·肇庆期中）　 　．
14．（2025七下·肇庆期中）线段两端点的坐标分别为，，若将线段平移，使得点A的对应点为点C，点B的对应点为点D，点D的坐标为．则点C的坐标为　 　．
15．（2025七下·肇庆期中）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为　 　．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
16．（2025七下·肇庆期中）计算．
（1）；
（2）．
17．（2025七下·肇庆期中）用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）．
18．（2025七下·肇庆期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（3a﹣5，a+1）
（1）若点A在y轴上，求a的值及点A的坐标．
（2）若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等 ，求a的值及点A的坐标．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．（2025七下·肇庆期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在网格点上，其中点C的坐标为．
（1）写出点A，点B的坐标．
（2）画出将三角形先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得到的三角形．并写出三角形的三个顶点坐标；
（3）求三角形的面积．
20．（2025七下·肇庆期中）某服装店用元购进两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润元（毛利润售价-进价），这两种服装的进价，标价如表所示．
类型价格 A B
进价（元／件）
标价（元／件）
（1）请利用二元一次方程组求A，B两种新式服装各购进的件数；
（2）如果A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？
21．（2025七下·肇庆期中）已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DF∥CA，∠FDE＝∠A；
（1）求证：DE∥BA．
（2）若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度数．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
22．（2025七下·肇庆期中）规定：形如关于x、y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组．
（1）方程的共轭二元一次方程是______；
（2）若关于的方程组为共轭方程组，则______，______；
（3）若方程中x、y的值满足下列表格：则这个方程的共轭二元一次方程是______；
x 0
y 0 2
（4）解下列方程组（直接写出方程组的解即可）：
的解为______；的解为______；
（5）发现：若共轭方程组的解是猜想之间的数量关系，并说明理由。
23．（2025七下·肇庆期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
（1）如图1，若，点P在、内部，，，求的度数．
（2）如图2，将点P移到、外部，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论．
（3）如图3，直接写出、、、之间的数量关系．（不需证明）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵（±7）2=49，
∴± =±7，
故选：C．
【分析】根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数解答即可．
2．【答案】C
【知识点】平方根的概念与表示；平方根的性质
【解析】【解答】解：一个正数的两个平方根分别是与，
，
，
故答案为：C．
【分析】根据一个正数的两个平方根分别是与，结合正数的两个平方根互为相反数得，解出即可得m的值.
3．【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【分析】根据无理数的定义及常见的无理数的形式即可判定．
【解答】在下列各数：3.1415926、、0.2、、、、中，
根据无理数的定义可得，无理数有、两个．
故选A．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，解题要注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0)等形式．
4．【答案】C
【知识点】有理数的乘方法则；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用算术平方根的计算方法、立方根的计算方法和有理数的乘方的计算方法逐项分析判断即可.
5．【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：A（，1）关于y轴对称的点的坐标是（﹣，1），
故选：B．
【分析】根据关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，可得答案．
6．【答案】B
【知识点】平行线的判定；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：A．∵，∴，故A不符合题意；
B．，不能判断，故B符合题意；
C．∵，∴，故C不符合题意；
D．∵，∴，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用同位角相等的两条直线平行、同位角相等的两条直线平行或同旁内角互补的两条直线平行的判定方法分析求解即可.
7．【答案】B
【知识点】平行线的性质；补角
【解析】【解答】解：如图：
由三角尺可知，
∵，
∴，
由平行线的性质可知．
故答案为：B．
【分析】根据补角可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质
【解析】【解答】解：轴上的点到轴的距离为3，
点的纵坐标为，
轴上点的横坐标为0，
点的坐标为或，
故答案为：D．
【分析】利用点坐标的定义及点坐标与象限的关系分析求解即可.
9．【答案】C
【知识点】平行公理及推论；对顶角及其性质；邻补角；同旁内角的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】解：相等的角不一定是对顶角，①错误；
在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥c，②正确；
同旁内角不一定互补，③错误；
互为邻补角的两角的角平分线互相垂直，④正确，
故选：C．
【分析】根据对顶角的性质、平行公理、平行线的判定定理和垂直的定义对各个选项进行判断即可．
10．【答案】B
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：如图，
根据图形得：
第1次从原点运动到点，
第2次运动到点，
第3次运动到点，
第4次从原点运动到点，
第5次运动到点，
第6次运动到点，
第7次运动到点，
第8次运动到点，
观察发现：动点M的横坐标为，纵坐标按照2，0，4，0四个为一组进行循环，
∵，
∴第次运动到点，即：.
故答案为：B．
【分析】观察所给坐标，发现规律，动点M的横坐标为，纵坐标按照2，0，4，0四个为一组进行循环，结合规律求解即可得答案.
11．【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：
移项得，
故答案为：
．
【分析】求出
即可作答。
12．【答案】(3，4)
【知识点】有序数对
【解析】【解答】解：电影院里第5排12号可以表示为（5，12），那么3排4号可以表示为 （3，4）．
故答案为：（3，4）．
【分析】由于电影院用（5，12）表示5排12号，根据这个规律即可确定3排4号的表示方法。
13．【答案】
【知识点】无理数的估值；实数的绝对值
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∴．
故答案为：．
【分析】利用实数的绝对值的定义及计算方法求解即可.
14．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵，点B的对应点为点D，点D的坐标为．
∴
∴变化规律是横坐标减2，纵坐标减3，
∵
∴
∴平移后点A的对应点C的坐标为，
故答案为：.
【分析】利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.
15．【答案】100
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定；平行线的性质；平行线的应用-求角度；平行公理
【解析】【解答】解：如图，
过点D作，过点E作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：100．
【分析】过点D作，过点E作，根据垂直定义得，根据平行得互相平行，即可得和为，相等，，都等于，根据，，求出都等于，，即可得.
16．【答案】（1）解：
；
（2）解：
【知识点】有理数的乘方法则；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先计算乘方、绝对值，再将同类二次根式进行合并即可；
（2）先计算算术平方根、立方根，再算加减即可.
17．【答案】（1）解：，
由①得，然后代入②，
得，
展开得：，
解得：，
把代入，
得：，
∴这个方程组的解是．
（2）解：，
方程组整理得：，
由得：③，
由得：
，
解得：，
把代入①得：
，
解得．
∴这个方程组的解是．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用代入消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
（2）利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
（1）解：，
由①得，然后代入②，
得，
展开得：，
解得：，
把代入，
得：，
∴这个方程组的解是．
（2），
方程组整理得：，
由得：③，
由得：
，
解得：，
把代入①得：
，
解得．
∴这个方程组的解是．
18．【答案】解：（1）∵点A在y轴上，
∴3a﹣5=0，
解得：a=，
a+1=，
点A的坐标为：（0，）；
（2）∵点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，
∴|3a﹣5|=|a+1|，
①3a﹣5=a+1，解得：a=3，则点A（4，4）；
②3a﹣5=﹣（a+1），解得：a=1，则点A（﹣2，2）．
【知识点】点的坐标
【解析】【分析】（1）根据点在y轴上，横坐标为0，求出a的值，即可解答；
（2）根据点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，得到|3a﹣5|=|a+1|，即可解答．
19．【答案】（1）解：∵点C的坐标为，
∴，．
（2）解：∵，，，三角形先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得到的三角形，
∴，，，
画图如下：
（3）解：根据题意，得的面积为：．
故的面积为5．
【知识点】点的坐标；三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据平面直角坐标系直接求出点A、B的坐标即可；
（2）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接并直接求出三角形的三个顶点坐标即可；
（3）利用三角形的面积公式及割补法求出△ABC的面积即可.
（1）解：∵点C的坐标为，
∴，．
（2）解：∵，，，
三角形先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得到的三角形，
∴，，，
画图如下：
（3）解：根据题意，得的面积为：．
故的面积为5．
20．【答案】（1）解：设A种新式服装购进件，B种新式服装购进件，
根据题意，得
解得
答：A种新式服装购进25件，B种新式服装购进30件．
（2）解：（元）．
答：这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入1210元．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种新式服装购进件，B种新式服装购进件，利用“ 某服装店用元购进两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润元（毛利润售价-进价） ”列出方程组求解即可；
（2）利用“九折的费用-八折的费用”列出算式求解即可.
（1）解：设A种新式服装购进件，B种新式服装购进件，
根据题意，得
解得
答：A种新式服装购进25件，B种新式服装购进30件．
（2）（元）．
答：这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入1210元．
21．【答案】（1）证明：∵DF∥CA，
∴∠DFB=∠A，
又 ∵∠FDE=∠A，
∴∠DFB=∠FDE，
∴DE∥AB；
（2）解：设∠EDC=x°，
∵∠BFD=∠BDF=2∠EDC，
∴∠BFD=∠BDF=2x°，
由（1）可知∠DFB=∠FDE=2x°，
∴∠BDF+∠EDF+∠EDC=2x°+2x°+x°=180°，
∴x=36，
又∵DE∥AB，
∴∠B=∠EDC=36 °．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得∠DFB=∠A，则∠DFB=∠FDE，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）设∠EDC=x°，由题意可得∠BFD=∠BDF=2x°，再根据角之间的关系建立方程，解方程可得x=36，再根据直线平行性质即可求出答案.
22．【答案】（1）
（2）1；1
（3）
（4）；
（5）解：．
理由如下：是共轭方程，
，整理得，
的解为，
．
【知识点】解二元一次方程组；二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：（1）由共轭二元一次方程的定义可得，
方程的共轭二元一次方程是
故答案为：；
（2）由于关于x，y的方程组为共轭方程组，
所以，，
解得，，
故答案为：1，1；
（3）由表可得，
解得，
∴方程为，
原方程的共轭方程为；
故答案为：；
（4）解方程组，可得解为；
解方程组，可得解为；
故答案为：，．
【分析】（1）利用共轭二元一次方程的定义分析求解即可；
（2）利用共轭方程组的定义可得，，再求出a、b的值即可；
（3）利用共轭二元一次方程可得；
（4）利用加减消元法的计算方法求解即可；
（5）利用共轭方程组的定义可得，再求解即可.
（1）由共轭二元一次方程的定义可得，
方程的共轭二元一次方程是
故答案为：；
（2）由于关于x，y的方程组为共轭方程组，
所以，，
解得，，
故答案为：1，1；
（3）由表可得，
解得，
∴方程为，
原方程的共轭方程为；
故答案为：；
（4）解方程组，可得解为；
解方程组，可得解为；
故答案为：，．
（5）．
理由如下：是共轭方程，
，整理得，
的解为，
．
23．【答案】（1）解：如图，过P作，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：如图，
∵，
∴，
∵
∴．
（3）
【知识点】三角形外角的概念及性质；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题；平行公理的推论
【解析】【解答】（3）解：、、、之间的数量关系为：．
连接并延长到点G，如图所示：
根据题意，得，，，，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）过P作，利用平行线的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得；
（2）利用平行线的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得；
（3）连接并延长到点G，利用三角形外角的计算方法和等量代换求出即可.
（1）解：如图，过P作，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：如图，
∵，
∴，
∴．
（3）解：、、、之间的数量关系为：．
连接并延长到点G，
根据题意，得，，，，
故．
1 / 1广东省肇庆市某校2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2025七下·肇庆期中）49的平方根是（　　）
A．7 B．﹣7 C．±7 D．
【答案】C
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵（±7）2=49，
∴± =±7，
故选：C．
【分析】根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数解答即可．
2．（2025七下·肇庆期中）若一个正数的两个平方根分别是与，则m的值是（　　）
A． B． C．1 D．16
【答案】C
【知识点】平方根的概念与表示；平方根的性质
【解析】【解答】解：一个正数的两个平方根分别是与，
，
，
故答案为：C．
【分析】根据一个正数的两个平方根分别是与，结合正数的两个平方根互为相反数得，解出即可得m的值.
3．（2025七下·肇庆期中）在下列各数：3.1415926、、0.2、、、、中无理数的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【分析】根据无理数的定义及常见的无理数的形式即可判定．
【解答】在下列各数：3.1415926、、0.2、、、、中，
根据无理数的定义可得，无理数有、两个．
故选A．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，解题要注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0)等形式．
4．（2025七下·肇庆期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的乘方法则；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用算术平方根的计算方法、立方根的计算方法和有理数的乘方的计算方法逐项分析判断即可.
5．（2025七下·肇庆期中）点A（，1）关于y轴对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣，﹣1） B．（﹣，1）
C．（，﹣1） D．（，1）
【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：A（，1）关于y轴对称的点的坐标是（﹣，1），
故选：B．
【分析】根据关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，可得答案．
6．（2025七下·肇庆期中）如图所示，点E在的延长线上，下列条件中不能判断的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：A．∵，∴，故A不符合题意；
B．，不能判断，故B符合题意；
C．∵，∴，故C不符合题意；
D．∵，∴，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用同位角相等的两条直线平行、同位角相等的两条直线平行或同旁内角互补的两条直线平行的判定方法分析求解即可.
7．（2025七下·肇庆期中）如图，将直尺与角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；补角
【解析】【解答】解：如图：
由三角尺可知，
∵，
∴，
由平行线的性质可知．
故答案为：B．
【分析】根据补角可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
8．（2025七下·肇庆期中）若y轴上的点A到x轴的距离为3，则点A的坐标为（　　）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质
【解析】【解答】解：轴上的点到轴的距离为3，
点的纵坐标为，
轴上点的横坐标为0，
点的坐标为或，
故答案为：D．
【分析】利用点坐标的定义及点坐标与象限的关系分析求解即可.
9．（2025七下·肇庆期中）下列命题中正确的有（　　）
①相等的角是对顶角； ②在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥c；
③同旁内角互补； ④互为邻补角的两角的角平分线互相垂直．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】平行公理及推论；对顶角及其性质；邻补角；同旁内角的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】解：相等的角不一定是对顶角，①错误；
在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥c，②正确；
同旁内角不一定互补，③错误；
互为邻补角的两角的角平分线互相垂直，④正确，
故选：C．
【分析】根据对顶角的性质、平行公理、平行线的判定定理和垂直的定义对各个选项进行判断即可．
10．（2025七下·肇庆期中）如图，动点M按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的规律运动，则第2024次运动到点（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：如图，
根据图形得：
第1次从原点运动到点，
第2次运动到点，
第3次运动到点，
第4次从原点运动到点，
第5次运动到点，
第6次运动到点，
第7次运动到点，
第8次运动到点，
观察发现：动点M的横坐标为，纵坐标按照2，0，4，0四个为一组进行循环，
∵，
∴第次运动到点，即：.
故答案为：B．
【分析】观察所给坐标，发现规律，动点M的横坐标为，纵坐标按照2，0，4，0四个为一组进行循环，结合规律求解即可得答案.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（2025七下·肇庆期中）已知，用含的式子表示，则　 　．
【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：
移项得，
故答案为：
．
【分析】求出
即可作答。
12．（2025七下·肇庆期中）若某个电影院用 表示5排12号，则3排4号可以表示为　 　．
【答案】(3，4)
【知识点】有序数对
【解析】【解答】解：电影院里第5排12号可以表示为（5，12），那么3排4号可以表示为 （3，4）．
故答案为：（3，4）．
【分析】由于电影院用（5，12）表示5排12号，根据这个规律即可确定3排4号的表示方法。
13．（2025七下·肇庆期中）　 　．
【答案】
【知识点】无理数的估值；实数的绝对值
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∴．
故答案为：．
【分析】利用实数的绝对值的定义及计算方法求解即可.
14．（2025七下·肇庆期中）线段两端点的坐标分别为，，若将线段平移，使得点A的对应点为点C，点B的对应点为点D，点D的坐标为．则点C的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵，点B的对应点为点D，点D的坐标为．
∴
∴变化规律是横坐标减2，纵坐标减3，
∵
∴
∴平移后点A的对应点C的坐标为，
故答案为：.
【分析】利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.
15．（2025七下·肇庆期中）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为　 　．
【答案】100
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定；平行线的性质；平行线的应用-求角度；平行公理
【解析】【解答】解：如图，
过点D作，过点E作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：100．
【分析】过点D作，过点E作，根据垂直定义得，根据平行得互相平行，即可得和为，相等，，都等于，根据，，求出都等于，，即可得.
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
16．（2025七下·肇庆期中）计算．
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
【知识点】有理数的乘方法则；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先计算乘方、绝对值，再将同类二次根式进行合并即可；
（2）先计算算术平方根、立方根，再算加减即可.
17．（2025七下·肇庆期中）用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
由①得，然后代入②，
得，
展开得：，
解得：，
把代入，
得：，
∴这个方程组的解是．
（2）解：，
方程组整理得：，
由得：③，
由得：
，
解得：，
把代入①得：
，
解得．
∴这个方程组的解是．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用代入消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
（2）利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
（1）解：，
由①得，然后代入②，
得，
展开得：，
解得：，
把代入，
得：，
∴这个方程组的解是．
（2），
方程组整理得：，
由得：③，
由得：
，
解得：，
把代入①得：
，
解得．
∴这个方程组的解是．
18．（2025七下·肇庆期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（3a﹣5，a+1）
（1）若点A在y轴上，求a的值及点A的坐标．
（2）若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等 ，求a的值及点A的坐标．
【答案】解：（1）∵点A在y轴上，
∴3a﹣5=0，
解得：a=，
a+1=，
点A的坐标为：（0，）；
（2）∵点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，
∴|3a﹣5|=|a+1|，
①3a﹣5=a+1，解得：a=3，则点A（4，4）；
②3a﹣5=﹣（a+1），解得：a=1，则点A（﹣2，2）．
【知识点】点的坐标
【解析】【分析】（1）根据点在y轴上，横坐标为0，求出a的值，即可解答；
（2）根据点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，得到|3a﹣5|=|a+1|，即可解答．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．（2025七下·肇庆期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在网格点上，其中点C的坐标为．
（1）写出点A，点B的坐标．
（2）画出将三角形先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得到的三角形．并写出三角形的三个顶点坐标；
（3）求三角形的面积．
【答案】（1）解：∵点C的坐标为，
∴，．
（2）解：∵，，，三角形先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得到的三角形，
∴，，，
画图如下：
（3）解：根据题意，得的面积为：．
故的面积为5．
【知识点】点的坐标；三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据平面直角坐标系直接求出点A、B的坐标即可；
（2）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接并直接求出三角形的三个顶点坐标即可；
（3）利用三角形的面积公式及割补法求出△ABC的面积即可.
（1）解：∵点C的坐标为，
∴，．
（2）解：∵，，，
三角形先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得到的三角形，
∴，，，
画图如下：
（3）解：根据题意，得的面积为：．
故的面积为5．
20．（2025七下·肇庆期中）某服装店用元购进两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润元（毛利润售价-进价），这两种服装的进价，标价如表所示．
类型价格 A B
进价（元／件）
标价（元／件）
（1）请利用二元一次方程组求A，B两种新式服装各购进的件数；
（2）如果A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？
【答案】（1）解：设A种新式服装购进件，B种新式服装购进件，
根据题意，得
解得
答：A种新式服装购进25件，B种新式服装购进30件．
（2）解：（元）．
答：这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入1210元．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种新式服装购进件，B种新式服装购进件，利用“ 某服装店用元购进两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润元（毛利润售价-进价） ”列出方程组求解即可；
（2）利用“九折的费用-八折的费用”列出算式求解即可.
（1）解：设A种新式服装购进件，B种新式服装购进件，
根据题意，得
解得
答：A种新式服装购进25件，B种新式服装购进30件．
（2）（元）．
答：这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入1210元．
21．（2025七下·肇庆期中）已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DF∥CA，∠FDE＝∠A；
（1）求证：DE∥BA．
（2）若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度数．
【答案】（1）证明：∵DF∥CA，
∴∠DFB=∠A，
又 ∵∠FDE=∠A，
∴∠DFB=∠FDE，
∴DE∥AB；
（2）解：设∠EDC=x°，
∵∠BFD=∠BDF=2∠EDC，
∴∠BFD=∠BDF=2x°，
由（1）可知∠DFB=∠FDE=2x°，
∴∠BDF+∠EDF+∠EDC=2x°+2x°+x°=180°，
∴x=36，
又∵DE∥AB，
∴∠B=∠EDC=36 °．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得∠DFB=∠A，则∠DFB=∠FDE，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）设∠EDC=x°，由题意可得∠BFD=∠BDF=2x°，再根据角之间的关系建立方程，解方程可得x=36，再根据直线平行性质即可求出答案.
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
22．（2025七下·肇庆期中）规定：形如关于x、y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组．
（1）方程的共轭二元一次方程是______；
（2）若关于的方程组为共轭方程组，则______，______；
（3）若方程中x、y的值满足下列表格：则这个方程的共轭二元一次方程是______；
x 0
y 0 2
（4）解下列方程组（直接写出方程组的解即可）：
的解为______；的解为______；
（5）发现：若共轭方程组的解是猜想之间的数量关系，并说明理由。
【答案】（1）
（2）1；1
（3）
（4）；
（5）解：．
理由如下：是共轭方程，
，整理得，
的解为，
．
【知识点】解二元一次方程组；二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：（1）由共轭二元一次方程的定义可得，
方程的共轭二元一次方程是
故答案为：；
（2）由于关于x，y的方程组为共轭方程组，
所以，，
解得，，
故答案为：1，1；
（3）由表可得，
解得，
∴方程为，
原方程的共轭方程为；
故答案为：；
（4）解方程组，可得解为；
解方程组，可得解为；
故答案为：，．
【分析】（1）利用共轭二元一次方程的定义分析求解即可；
（2）利用共轭方程组的定义可得，，再求出a、b的值即可；
（3）利用共轭二元一次方程可得；
（4）利用加减消元法的计算方法求解即可；
（5）利用共轭方程组的定义可得，再求解即可.
（1）由共轭二元一次方程的定义可得，
方程的共轭二元一次方程是
故答案为：；
（2）由于关于x，y的方程组为共轭方程组，
所以，，
解得，，
故答案为：1，1；
（3）由表可得，
解得，
∴方程为，
原方程的共轭方程为；
故答案为：；
（4）解方程组，可得解为；
解方程组，可得解为；
故答案为：，．
（5）．
理由如下：是共轭方程，
，整理得，
的解为，
．
23．（2025七下·肇庆期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
（1）如图1，若，点P在、内部，，，求的度数．
（2）如图2，将点P移到、外部，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论．
（3）如图3，直接写出、、、之间的数量关系．（不需证明）
【答案】（1）解：如图，过P作，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：如图，
∵，
∴，
∵
∴．
（3）
【知识点】三角形外角的概念及性质；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题；平行公理的推论
【解析】【解答】（3）解：、、、之间的数量关系为：．
连接并延长到点G，如图所示：
根据题意，得，，，，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）过P作，利用平行线的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得；
（2）利用平行线的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得；
（3）连接并延长到点G，利用三角形外角的计算方法和等量代换求出即可.
（1）解：如图，过P作，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：如图，
∵，
∴，
∴．
（3）解：、、、之间的数量关系为：．
连接并延长到点G，
根据题意，得，，，，
故．
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