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浙江省杭州市星澜中学、拱宸中学、风华中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷
1．（2025九上·杭州期中）已知⊙O的半径为4，点A与圆心O的距离为5，则点A与⊙O的位置关系是（　　）
A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O外 D．点A在⊙O外或在⊙O上
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为4，点A到圆心O的距离为5，
∴5>4，
∴ 点A在⊙O外 .
故答案为：C .
【分析】根据点到圆心的距离d与半径r的大小， 判断点A的位置：
若d>r，则点A在圆外； 若d=r，则点A在圆上； 若d2．（2025九上·杭州期中）将抛物线 向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线 的顶点坐标为（0，0），
∵向右平移2个单位，再向上平移3个单位，
∴平移后的顶点坐标为（2，3），
∴平移后的抛物线解析式为 .
故答案为：A.
【分析】先求出抛物线 的顶点坐标为（0，0），再求出向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后的顶点坐标为（2，3），根据顶点式写出平移后的解析式即可.
3．（2025九上·杭州期中）下列说法正确的是（　　）
A．天气预报说明天的降水概率是95%，则明天不一定会下雨
B．“通常加热到100℃，水沸腾”是随机事件
C．抛掷一枚硬币100次，一定有50次正面向上
D．“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是不可能事件
【答案】A
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：选项A：降水概率为95%表示可能性很大，但概率未达100%，因此“不一定会下雨”是正确的，故选项A正确；
选项B：在标准大气压下，水加热到100℃必然沸腾，属于必然事件，而非随机事件，因此选项B错误；
选项C
抛硬币是独立事件，每次正反面概率均为50%，但实际试验中次数可能偏离理论值（如100次中可能非50次正面），因此“一定有50次”错误，选项C错误；
选项D：一副标准扑克牌包含大王，因此抽到大王是可能的（概率为），属于随机事件，而非不可能事件，故选项D错误.
故答案为：A .
【分析】根据必然事件、随机事件及不可能事件的定义，逐一分析各选项是否符合概率的基本概念及事件的定义（必然事件、不可能事件、随机事件），注意区分概率与确定性事件.
4．（2025九上·杭州期中）对于抛物线 ，下列说法错误的是（　　）
A．对称轴是直线 B．函数的最大值是3
C．开口向下，顶点坐标（5，3） D．当时，随的增大而增大.
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线
∴该抛物线的对称轴是直线x=5，故选项A正确，不符合题意；
函数有最大值，最大值y=3，故选项B正确，不符合题意；
开口向下，顶点坐标为(5，3)，故选项C正确，不符合题意；
当x>5时，y随x的增大而减小，故选项D错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题.
5．（2025九上·杭州期中）下列命题中，真命题的个数是（　　）
①长度相等的两条弧是等弧；
②相等的圆心角所对的弧相等；
③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；
④弦的垂直平分线必经过园心，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；等圆、等弧的概念
【解析】【解答】解：等弧的定义需满足两个条件：长度相等且在同圆或等圆中，
故命题①：“长度相等的两条弧是等弧”是假命题；
圆心角所对的弧相等需在同圆或等圆中成立，
故命题②：“相等的圆心角所对的弧相等”是假命题；
根据垂径定理，若直径平分弦（非直径），则垂直于该弦并平分弦所对的弧。但若弦本身是直径，
则另一条直径平分它时未必垂直（如两条直径相交于圆心但夹角非90°），
故命题③： “平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 ”是假命题；
根据圆的性质，弦的垂直平分线必过圆心（圆心在弦的垂直平分线上），
故命题④：“弦的垂直平分线必经过圆心”是真命题.
综上，真命题只有1个，
故答案为：A .
【分析】 根据等弧的定义、圆心角与弧的关系、垂径定理等知识点，逐一分析各命题是否符合定理
条件，尤其注意命题中的隐含条件是否满足（如是否在同圆或等圆中，弦是否为直径等）.
6．（2025九上·杭州期中）已知二次函数y=x2-2mx+5m-1（m为常数）的图象经过点A（m-1，y1），B（m+3，y2），则y1，y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1=y2 D．与m的值有关
【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：根据 y=x2-2mx+5m-1 知其图像开口向上，对称轴为直线x=m，
∴当xm时，y随x的增大而增大.
∵ A（m-1，y1） 关于对称轴x=m对称的点为（m+1，y1），
又m∴ y1＜y2 .
故答案为：B .
【分析】根据二次函数表达式确定其开口方向及对称轴，根据二次函数的对称性知 A（m-1，y1） 关于对称轴x=m对称的点为（m+1，y1），再根据函数的增减性判断 y1与y2大小.
7．（2025九上·杭州期中） 如图，正六边形 ABCDEF 内接于 ，点 P 在 上，点 Q 是 的中点，则 的度数为 (　　)
A．30° B．45° C．36° D．60°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解： ∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴每条边对应的圆心角为 360°÷ 6 = 60 ° ，各顶点均匀分布在圆周上，相邻顶点间的圆心角为 60 °，
∵点Q是弧DE的中点，弧DE的长度为 60 °，
∴Q将弧DE分为两个 30 的弧，对应的圆心角为从D到Q为 30 ，Q到E也为 30 ，
∴弧CQ所对的圆心角∠COQ=60°+30°=90°，
∴=×∠COQ=45°.
故答案为：B .
【分析】根据 正六边形内接于圆的性质 知正六边形每条边所对的圆心角为60°，根据正六边形的对称性、圆周角定理知弧CQ所对的圆心角为90°，再圆心角与圆周角的关系知的度数.
8．（2025九上·杭州期中）抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+c相交于如图所示的A，B两点，则不等式ax2-mx+bx≤0的解集为（　　）
A．x≤0或x≥3 B．x≤3 C．-1≤x≤3 D．0≤x≤3
【答案】D
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：根据函数图象知：当0≤x≤3时， ax2+bx+c≤mx+c，
即 ax2-mx+bx≤0，
故答案为：D .
【分析】根据“数形结合”思想，结合函数图象知：当0≤x≤3时， ax2+bx+c≤mx+c，从而得 不等式ax2-mx+bx≤0的解集 .
9．（2025九上·杭州期中）如图，线段AE是⊙O的直径，点B是⊙O上一点，设∠DAE=α，∠DCB=β.若AE⊥BC，BD=GD，则（　　）
A．3α+β=270° B．α+β=180°
C．3β-α=270° D．β-α=90°
【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；垂径定理；圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵直径AE⊥BC，
∴，
∴∠ADB=∠ABC，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠CDG+∠ADC=180°，
∴∠CDG=∠ABC，
∴∠CDG=∠ADB，
∵BD=GD，
∴∠G=∠DBG，
∴∠ADB=∠G+∠DBG=2∠G，
∵AE⊥BC，
∴∠G=90°-∠DAE=90°- α ，
∴∠ADB=2（90°- α）=180°-2α，
∴∠CDG=180°-2α，
∴∠BCD=∠G+∠CDG=90°- α +180°-2α=270°-3 α
即 β =270°-3 α
∴ 3α+β=270°
故答案为：A .
【分析】根据垂径定理知 弧AB=弧AC ，根据 由BD=GD及AE⊥BC 知∠ADB与∠G的关系，再根据圆周角定理及直角三角形两内角互余知∠BCD=∠G+∠CDG，从而得3α+β=270°.
10．（2025九上·杭州期中）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，对称轴为直线x=1，下列四个结论：①bc＜0；②3a+2c＜0；③ax2+bx≥a+b；④若-2＜c＜-1，则＜a+b+c＜，其中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：据图像知 a>0
根据“同左异右”知 b<0，
图像与y轴交于负半轴，故c<0，
∴bc>0，即①不正确；
∵图象与x轴交于点A（3，0），对称轴为直线x=1，
∴图像与x轴的另一个交点为（-1，0），-=1，
∴a-b+c=0，2a+b=0，
∴3a+c=0，
∴3a+c+c<0，即3a+2c<0
故②正确；
∵对称轴直线x=1，图像开口向上，
∴当x=1时，ymin=a+b+c，
∴ ax2+bx+c ≥a+b+c，
即ax2+bx ≥a+b，故③正确；
又2a+b=0，3a+c=0，
∴a=，b=-2a=，
∴a+b+c=++c=，
∵-2＜c＜-1，
∴<<
∴故②③④正确.
故答案为：C .
【分析】根据图像及题意确定a、b、c的符号，结合对称轴及抛物线对称性确定a、b、c的关系，从而判断4个结论的正确性.
11．（2025九上·杭州期中）若扇形的圆心角为80°，半径为8，则它的弧长为　 　.
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵扇形的圆心角为80°，半径为8，
∴此扇形的弧长为：，
故答案为：.
【分析】根据弧长的公式进行计算即可.
12．（2025九上·杭州期中）已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的方程-x2+2x+m=0的解为　 　．
【答案】x1=3，x2=-1
【知识点】二次函数y=ax²的图象；二次函数y=ax²的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：根据图像知抛物线的对称轴为直线x=1，
又图像与x轴的一个交点为（3，0），
∴根据抛物线对称性知，图像与x轴的另一个交点为（-1，0），
∴ 方程-x2+2x+m=0的解为x1=3，x2=-1.
故答案为：x1=3，x2=-1 .
【分析】根据抛物线的对称性知图像与x轴的两个交点为（3，0）、（-1，0），从而确定 方程-x2+2x+m=0的解 .
13．（2025九上·杭州期中）为了了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如表：
身高x（cm） x＜160 160≤x＜170 170≤x＜180 x≥180
人数 60 260 550 130
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于170cm的概率是　 　．（精确到0.01）
【答案】0.68
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据表格知， 身高不低于170cm 的人数为550+130=680，
∴身高不低于170cm 的频率为680÷1000=0.68，
即 身高不低于170cm的概率是 0.68.
故答案为： 0.68.
【分析】根据表格计算 身高不低于170cm 的频率，从而判定身高不低于170cm的概率.
14．（2025九上·杭州期中）已知点是函数图象上两点，则当时，函数值=　 　.
【答案】0
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，点A(x1，4)，B(x2，4)是函数y=x2-3x图象上两点，
∴当x=x1+x2时，此时x=3，
∴y=32-3×3=0，
故答案为：0.
【分析】根据题意可以求得当x=x1+x2时的x的值，从而可以求得相应的y的值.
15．（2025九上·杭州期中）如图，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，，是弧AC的中点，AC与BD交于点E，若E是BD的中点，则BC的长为　 　．
【答案】2
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接OD，交AC于点F，
∵是弧AC的中点，
∴OD⊥AC，AF=CF=AC=，
∵OA=OB，
∴OF是△ABC的中位线，
∴OF=BC，OD∥BC，
∴∠D=∠CBE，
∵E是BD的中点，
∴DE=BE，
在△BCE和△DFE中，
∴△BCE≌△DFE(ASA)
∴DF=BC，
∵OF=BC，
∴OF=DF，
∴OF=OD
设半径为r，则r2=
∴r=3
∴BC=DF==2.
故答案为：2 .
【分析】根据圆周角定理及垂径定理知DF∥BC，∠D=∠CBE，再根据“ASA”证明△BCE≌△DFE，从而得BC=DF=2OF，再根据勾股定理计算出BC的长.
16．（2025九上·杭州期中）如图，AB是⊙O的直径，的度数是55°，的度数是21°，且∠AFC=∠BFD，∠AGD=∠BGE，则∠FDG的度数为　 　．
【答案】52°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；对顶角及其性质；圆的对称性
【解析】【解答】解：如图，作C、E关于直径AB的对称，对称点为M、N，
则，∠AFC=∠AFM，∠BGD=∠BGN，
∵ ∠AFC=∠BFD，∠AGD=∠BGE，
∴∠AFM=∠BFD，∠BGN=∠AGD，
∵A、F、G、B共线，
∴D、F、M三点共线，D、G、N三点共线，
∵的度数是55°，的度数是21°，
∴、的度数分别为55°、21°，
∴的度数为180°-55°-21°=104°，
根据圆周角定理知， ∠FDG的度数为的度数，
即∠FDG=×104°=52°.
故答案为： 52°.
【分析】根据圆的对称性知，∠AFC=∠AFM，∠BGD=∠BGN，再根据题意得证D、F、M三点共线，D、G、N三点共线，最后根据圆周角定理知 ∠FDG的度数为的度数.
17．（2025九上·杭州期中）如图，OA=OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．
（1）求证：AC＝BD．
（2）若CD＝4，EF＝1，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：∵OE⊥AB，
∴CF＝DF，
∵OA＝OB，
∴AF＝BF，
∴AF﹣CF＝BF﹣DF，
∴AC＝BD；
（2）解：如图，连接OC，
∵OE⊥AB，
∴
设⊙O的半径是r，
∵CO2＝CF2+OF5，
∴r2＝25+（r﹣1）2，
∴，
∴⊙O的半径是．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理，可得CF=DF，AF=BF；根据等量关系列代数式，可得AC=BD；
（2）根据垂径定理，可得CF=CD；根据勾股定理列等式，即可求出圆的半径.
18．（2025九上·杭州期中）如图，△ABC的顶点都在正方形网格格点上.
（1）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB'C'（点B对应点B'），画出△AB'C'.
（2）请借助网格和一把无刻度直尺找出△ABC的外心点O，并标明外心O的位置.
（3）设每个小方格的边长为1，求出线段AB在旋转过程中扫过的图形的面积.
【答案】（1）解：
如图，△AB'C'即为所求.
（2）解：
如图，O即为所求.
（3）解：
如图， 线段AB在旋转90°扫过的图形的面积为以A为圆心，AB为半径所形成90°扇形面积，
又AB==，
∴ 线段AB在旋转过程中扫过的图形的面积为=，
答： 线段AB在旋转过程中扫过的图形的面积.
【知识点】三角形的外接圆与外心；扇形面积的计算；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）按照旋转的定义作图即可.
（2）去BC、AC的垂直平分线的交点即可.
（3）按照扇形的面积公式计算即可.
19．（2025九上·杭州期中）在不透明的袋子里装有2个红球、1个蓝球（除颜色外其余都相同），
（1）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸到一红一蓝的概率．
（2）若向袋中再放入若干个同样的蓝球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个蓝球的概率为，求后来放入袋中的蓝球个数．
【答案】（1）解：列表如下：
红 红 蓝
红 　 （红，红） （蓝，红）
红 （红，红） 　 （蓝，红）
蓝 （红，蓝） （红，蓝） 　
由表知，共有6种等可能结果，其中两次摸到一红一蓝的有4种结果，
∴两次摸到一红一蓝的概率为；
（2）解：设后来放入的蓝球有x个，
根据题意，得：，
解得 x=9，
经检验：x=9是分式方程的解，
答：后来放入袋中的蓝球有9个．
【知识点】分式方程的实际应用；用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1）根据列表法计算等可能事件概率即可.
（2） 根据题意建立方程求解放入蓝球的数量，使得摸到蓝球的概率达到给定值.
20．（2025九上·杭州期中）二次函数y=ax2+2x+c（a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -1 -2 -1 2 7 …
（1）二次函数的图象开口向　 　，对称轴为直线x= 　 　.
（2）求该二次函数的解析式.
（3）当-3＜x＜3时，求y的取值范围.
【答案】（1）上；-1
（2）解：将（-2，-1），（-1，-2），（0，-1）代入y=ax2+bx+c，
得：
解得：
∴二次函数的表达式为y=x2+2x-1；
（3）解：当x=-3时，y=x2+2x-1=2；
当x=3时，y=x2+2x-1=14．
又∵二次函数图象的顶点坐标为（-1，-2），抛物线开口向上，
∴二次函数的最小值为-2，
∴当-3＜x＜3时，-2≤y＜14．
【知识点】函数值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（1）根据表格数据知，当x增大时，y先减小再增大，故函数开口向上；
当x=-2和x=0时，y=-1，
根据抛物线的对称性知，对称轴为直线x=，即直线x=-1，
故答案为：上；-1.
【分析】（1）根据表格判断图像的开口方向和对称轴.
（2）根据待定系数法确定 二次函数的解析式 .
（3）根据二次函数的增减性及顶点坐标，确定二次函数在 -3＜x＜3 范围内最值.
21．（2025九上·杭州期中）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为甲、乙两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药.学校已定购篱笆120米（恰好用完）.
（1）设AB=x，整个花园的面积为S，求S关于x的函数表达式，并求出S的最大值；
（2）在花园面积最大的条件下，甲，乙两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？
【答案】（1）解：根据题意知，AB=EF=CD=x 米，BC=(120-3x)米，
∴S=x(120-3x)=-3x2+120x=-3(x-20)2+1200
当x=20米时，S有最大值为1200平方米，
故S关于x的函数表达式为S=-3x2+120x，S的最大值为1200平方米；
（2）解：设甲区域面积为 S1，乙区域为S2=1200 S1，
根据题意，25×2S1+15×2(1200 S1)≤50000，
解得 S1≤700，
∴2S1 ≤1400
答：最多可以购买1400株牡丹.
【知识点】一元一次不等式的应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据“矩形面积=长×宽”列式化简得二次函数表达式，利用顶点式求S的最大值.
（2）根据“ 种植牡丹总费用+种植芍药的总费用 不超过5万元 ”列不等式求解并确定其最值.
22．（2025九上·杭州期中）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F.
（1）求证：CF=BF.
（2）若AD=12，⊙O的半径为10，求BC的长.
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB于点E，
∴∠ACB=∠CEB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，∠BCE+∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCE，
∵C是的中点，
∴，
∴∠BAC=∠DBC，
∴∠DBC=∠BCE，
∵BD交CE于点F，
∴CF=BF．
（2）解：如图，连接AD，OC，
∵直径是AB，
∴∠BDA=90°，
根据勾股定理知：AD2+BD2=AB2
即122+BD2=202，
∴BD=16，
∵ C是的中点，
∴OC⊥BD，MD=BM==8，
∵O是AB的中点，
∴OM==6，
∴CM=OC-OM=4，
由勾股定理知：BC2=CM2+BM2，
∴BC=，
答： BC的长是.
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据“同角的余角相等”知∠BAC=∠BCE，根据“等弧所对的圆周角相等”知∠BAC=∠DBC，等量代换得∠DBC=∠BCE，从而得 CF=BF(等角对等边).
（2）根据勾股定理得BD的长，根据垂径定理知BM的长，根据三角形中位线知OM、CM的长，再根据勾股定理计算BC的长即可.
23．（2025九上·杭州期中）已知二次函数y=（x-a）（x-a+4）（a为常数）.
（1）当a=1时，求该二次函数图象的顶点坐标.
（2）与x轴平行的直线交该二次函数图象于A，B两点，且点B的横坐标为a+1，求AB的长.
（3）若1＜a＜3，点（2a-7，m），（4a-9，n）在该二次函数图象上，试说明m＞n.
【答案】（1）解：当a=1时，二次函数 y=（x-1）（x-1+4）=x2+2x-3=(x+1)2-4
∴ 该二次函数图象的顶点坐标为（-1，-4）.
（2）解：令 y=（x-a）（x-a+4） =0，则x=a或x=a-4，
∴二次函数图象的对称轴为直线x==a-2，
∵ 与x轴平行的直线交该二次函数图象于A，B两点，且点B的横坐标为a+1，
∴A的横坐标为2a-4-（a+1）=a-5，
∴AB=(a+1)-(a-5)=6，
答：AB的长为6.
（3）解：二次函数y=（x-a）（x-a+4）的对称轴为x==a-2，且二次项系数为1＞0，即抛物线开口向上，
∵对于开口向上的抛物线，点到对称轴的距离越远，函数值越大．
计算点（2a-7，m）到对称轴x=a-2的距离：|（2a-7）-（a-2）|=|a-5|，
∵1＜a＜3，
∴a-5＜0，
∴|a-5|=5-a，
计算点（4a-9，n）到对称轴x=a-2的距离：|（4a-9）-（a-2）|=|3a-7|，
比较两个距离的大小：
（5-a）-|3a-7|=，
当1＜a＜时，2a-2＞0，即5-a＞7-3a，
当≤a＜3时，12-4a＞0，即5-a＞3a-7，
综上，点（2a-7，m）到对称轴的距离更远，又因为抛物线开口向上，
∴m＞n
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）根据a的值得二次函数表达式，转化为顶点式求出顶点坐标.
（2）先确定抛物线与x轴的交点坐标，从而确定抛物线的对称轴，再根据抛物线的对称性求出A的横坐标，根据A、B的横坐标求出AB的长.
（3）根据抛物线的增减性，借助点到对称轴的距离判断相应函数值的大小.
24．（2025九上·杭州期中）如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF.
（1）证明：AB=AC；
（2）若∠E=50°，求∠BDF的度数；
（3）设E是半圆AEB的中点，DE交AB于点G，若DF=6，AB=10，求DG的长.
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵CD=BD，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∴AB=AC.
（2）解：∵∠E=50°，
∴∠B=∠E=50°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=50°，
∵四边形ABDF是⊙O的内接四边形，
∴∠CFD=∠B=50°，
∵∠BDF是△DCF的一个外角，
∴∠BDF=∠C+∠CFD=100°.
（3）解：过点G作GH⊥AD于H，GP⊥BD于P，如图所示：
则∠GHD=∠GPD=90°，
∵∠ADB=90°，
∴四边形GHDP是矩形，
∵点E是半圆AEB的中点，
∴弧AE=弧BE，
∴∠ADE=∠BDE，
∴DE是∠ADB的平分线，
又∵GH⊥AD，GP⊥BD，
∴GH=GP，
∴矩形GHDP是正方形，
设GH=GP=DH=DP=a，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∵四边形ABDF是⊙O的内接四边形，
∴∠CFD=∠B，
∴∠CFD=∠C，
∵DF=6，
∴CD=DF=6，
∴CD=BD=6，
在Rt△ABD中，AB=10，BD=6，
由勾股定理得：AD==8，
∵S△ADG+S△BDG=S△ABD，
∴AD GH+BD GP=AD BD，
∴8a+6a=6×8，
解得：a=，
∴GP=DP=，
在Rt△DPG中，由勾股定理得：DG==．
【知识点】勾股定理；正方形的判定；圆周角定理；圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）先证明AD是线段BC的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质得AB=AC；
（2）根据“同弧所对圆周角相等”“等边对等角”知∠C=∠B=50°，再根据圆内接四边形及外角定理知∠BDF=∠C+∠CFD=100°.
（3）根据题意证明四边形GHDP是正方形，再根据圆的内接四边形知CD=BD=6，从而知AD的长，再根据“S△ADG+S△BDG=S△ABD”计算出GP的长，最后根据勾股定理知DG的长.
1 / 1浙江省杭州市星澜中学、拱宸中学、风华中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷
1．（2025九上·杭州期中）已知⊙O的半径为4，点A与圆心O的距离为5，则点A与⊙O的位置关系是（　　）
A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O外 D．点A在⊙O外或在⊙O上
2．（2025九上·杭州期中）将抛物线 向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025九上·杭州期中）下列说法正确的是（　　）
A．天气预报说明天的降水概率是95%，则明天不一定会下雨
B．“通常加热到100℃，水沸腾”是随机事件
C．抛掷一枚硬币100次，一定有50次正面向上
D．“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是不可能事件
4．（2025九上·杭州期中）对于抛物线 ，下列说法错误的是（　　）
A．对称轴是直线 B．函数的最大值是3
C．开口向下，顶点坐标（5，3） D．当时，随的增大而增大.
5．（2025九上·杭州期中）下列命题中，真命题的个数是（　　）
①长度相等的两条弧是等弧；
②相等的圆心角所对的弧相等；
③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；
④弦的垂直平分线必经过园心，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2025九上·杭州期中）已知二次函数y=x2-2mx+5m-1（m为常数）的图象经过点A（m-1，y1），B（m+3，y2），则y1，y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1=y2 D．与m的值有关
7．（2025九上·杭州期中） 如图，正六边形 ABCDEF 内接于 ，点 P 在 上，点 Q 是 的中点，则 的度数为 (　　)
A．30° B．45° C．36° D．60°
8．（2025九上·杭州期中）抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+c相交于如图所示的A，B两点，则不等式ax2-mx+bx≤0的解集为（　　）
A．x≤0或x≥3 B．x≤3 C．-1≤x≤3 D．0≤x≤3
9．（2025九上·杭州期中）如图，线段AE是⊙O的直径，点B是⊙O上一点，设∠DAE=α，∠DCB=β.若AE⊥BC，BD=GD，则（　　）
A．3α+β=270° B．α+β=180°
C．3β-α=270° D．β-α=90°
10．（2025九上·杭州期中）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，对称轴为直线x=1，下列四个结论：①bc＜0；②3a+2c＜0；③ax2+bx≥a+b；④若-2＜c＜-1，则＜a+b+c＜，其中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2025九上·杭州期中）若扇形的圆心角为80°，半径为8，则它的弧长为　 　.
12．（2025九上·杭州期中）已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的方程-x2+2x+m=0的解为　 　．
13．（2025九上·杭州期中）为了了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如表：
身高x（cm） x＜160 160≤x＜170 170≤x＜180 x≥180
人数 60 260 550 130
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于170cm的概率是　 　．（精确到0.01）
14．（2025九上·杭州期中）已知点是函数图象上两点，则当时，函数值=　 　.
15．（2025九上·杭州期中）如图，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，，是弧AC的中点，AC与BD交于点E，若E是BD的中点，则BC的长为　 　．
16．（2025九上·杭州期中）如图，AB是⊙O的直径，的度数是55°，的度数是21°，且∠AFC=∠BFD，∠AGD=∠BGE，则∠FDG的度数为　 　．
17．（2025九上·杭州期中）如图，OA=OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．
（1）求证：AC＝BD．
（2）若CD＝4，EF＝1，求⊙O的半径．
18．（2025九上·杭州期中）如图，△ABC的顶点都在正方形网格格点上.
（1）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB'C'（点B对应点B'），画出△AB'C'.
（2）请借助网格和一把无刻度直尺找出△ABC的外心点O，并标明外心O的位置.
（3）设每个小方格的边长为1，求出线段AB在旋转过程中扫过的图形的面积.
19．（2025九上·杭州期中）在不透明的袋子里装有2个红球、1个蓝球（除颜色外其余都相同），
（1）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸到一红一蓝的概率．
（2）若向袋中再放入若干个同样的蓝球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个蓝球的概率为，求后来放入袋中的蓝球个数．
20．（2025九上·杭州期中）二次函数y=ax2+2x+c（a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -1 -2 -1 2 7 …
（1）二次函数的图象开口向　 　，对称轴为直线x= 　 　.
（2）求该二次函数的解析式.
（3）当-3＜x＜3时，求y的取值范围.
21．（2025九上·杭州期中）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为甲、乙两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药.学校已定购篱笆120米（恰好用完）.
（1）设AB=x，整个花园的面积为S，求S关于x的函数表达式，并求出S的最大值；
（2）在花园面积最大的条件下，甲，乙两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？
22．（2025九上·杭州期中）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F.
（1）求证：CF=BF.
（2）若AD=12，⊙O的半径为10，求BC的长.
23．（2025九上·杭州期中）已知二次函数y=（x-a）（x-a+4）（a为常数）.
（1）当a=1时，求该二次函数图象的顶点坐标.
（2）与x轴平行的直线交该二次函数图象于A，B两点，且点B的横坐标为a+1，求AB的长.
（3）若1＜a＜3，点（2a-7，m），（4a-9，n）在该二次函数图象上，试说明m＞n.
24．（2025九上·杭州期中）如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF.
（1）证明：AB=AC；
（2）若∠E=50°，求∠BDF的度数；
（3）设E是半圆AEB的中点，DE交AB于点G，若DF=6，AB=10，求DG的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为4，点A到圆心O的距离为5，
∴5>4，
∴ 点A在⊙O外 .
故答案为：C .
【分析】根据点到圆心的距离d与半径r的大小， 判断点A的位置：
若d>r，则点A在圆外； 若d=r，则点A在圆上； 若d2．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线 的顶点坐标为（0，0），
∵向右平移2个单位，再向上平移3个单位，
∴平移后的顶点坐标为（2，3），
∴平移后的抛物线解析式为 .
故答案为：A.
【分析】先求出抛物线 的顶点坐标为（0，0），再求出向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后的顶点坐标为（2，3），根据顶点式写出平移后的解析式即可.
3．【答案】A
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：选项A：降水概率为95%表示可能性很大，但概率未达100%，因此“不一定会下雨”是正确的，故选项A正确；
选项B：在标准大气压下，水加热到100℃必然沸腾，属于必然事件，而非随机事件，因此选项B错误；
选项C
抛硬币是独立事件，每次正反面概率均为50%，但实际试验中次数可能偏离理论值（如100次中可能非50次正面），因此“一定有50次”错误，选项C错误；
选项D：一副标准扑克牌包含大王，因此抽到大王是可能的（概率为），属于随机事件，而非不可能事件，故选项D错误.
故答案为：A .
【分析】根据必然事件、随机事件及不可能事件的定义，逐一分析各选项是否符合概率的基本概念及事件的定义（必然事件、不可能事件、随机事件），注意区分概率与确定性事件.
4．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线
∴该抛物线的对称轴是直线x=5，故选项A正确，不符合题意；
函数有最大值，最大值y=3，故选项B正确，不符合题意；
开口向下，顶点坐标为(5，3)，故选项C正确，不符合题意；
当x>5时，y随x的增大而减小，故选项D错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题.
5．【答案】A
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；等圆、等弧的概念
【解析】【解答】解：等弧的定义需满足两个条件：长度相等且在同圆或等圆中，
故命题①：“长度相等的两条弧是等弧”是假命题；
圆心角所对的弧相等需在同圆或等圆中成立，
故命题②：“相等的圆心角所对的弧相等”是假命题；
根据垂径定理，若直径平分弦（非直径），则垂直于该弦并平分弦所对的弧。但若弦本身是直径，
则另一条直径平分它时未必垂直（如两条直径相交于圆心但夹角非90°），
故命题③： “平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 ”是假命题；
根据圆的性质，弦的垂直平分线必过圆心（圆心在弦的垂直平分线上），
故命题④：“弦的垂直平分线必经过圆心”是真命题.
综上，真命题只有1个，
故答案为：A .
【分析】 根据等弧的定义、圆心角与弧的关系、垂径定理等知识点，逐一分析各命题是否符合定理
条件，尤其注意命题中的隐含条件是否满足（如是否在同圆或等圆中，弦是否为直径等）.
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：根据 y=x2-2mx+5m-1 知其图像开口向上，对称轴为直线x=m，
∴当xm时，y随x的增大而增大.
∵ A（m-1，y1） 关于对称轴x=m对称的点为（m+1，y1），
又m∴ y1＜y2 .
故答案为：B .
【分析】根据二次函数表达式确定其开口方向及对称轴，根据二次函数的对称性知 A（m-1，y1） 关于对称轴x=m对称的点为（m+1，y1），再根据函数的增减性判断 y1与y2大小.
7．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解： ∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴每条边对应的圆心角为 360°÷ 6 = 60 ° ，各顶点均匀分布在圆周上，相邻顶点间的圆心角为 60 °，
∵点Q是弧DE的中点，弧DE的长度为 60 °，
∴Q将弧DE分为两个 30 的弧，对应的圆心角为从D到Q为 30 ，Q到E也为 30 ，
∴弧CQ所对的圆心角∠COQ=60°+30°=90°，
∴=×∠COQ=45°.
故答案为：B .
【分析】根据 正六边形内接于圆的性质 知正六边形每条边所对的圆心角为60°，根据正六边形的对称性、圆周角定理知弧CQ所对的圆心角为90°，再圆心角与圆周角的关系知的度数.
8．【答案】D
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：根据函数图象知：当0≤x≤3时， ax2+bx+c≤mx+c，
即 ax2-mx+bx≤0，
故答案为：D .
【分析】根据“数形结合”思想，结合函数图象知：当0≤x≤3时， ax2+bx+c≤mx+c，从而得 不等式ax2-mx+bx≤0的解集 .
9．【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；垂径定理；圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵直径AE⊥BC，
∴，
∴∠ADB=∠ABC，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠CDG+∠ADC=180°，
∴∠CDG=∠ABC，
∴∠CDG=∠ADB，
∵BD=GD，
∴∠G=∠DBG，
∴∠ADB=∠G+∠DBG=2∠G，
∵AE⊥BC，
∴∠G=90°-∠DAE=90°- α ，
∴∠ADB=2（90°- α）=180°-2α，
∴∠CDG=180°-2α，
∴∠BCD=∠G+∠CDG=90°- α +180°-2α=270°-3 α
即 β =270°-3 α
∴ 3α+β=270°
故答案为：A .
【分析】根据垂径定理知 弧AB=弧AC ，根据 由BD=GD及AE⊥BC 知∠ADB与∠G的关系，再根据圆周角定理及直角三角形两内角互余知∠BCD=∠G+∠CDG，从而得3α+β=270°.
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：据图像知 a>0
根据“同左异右”知 b<0，
图像与y轴交于负半轴，故c<0，
∴bc>0，即①不正确；
∵图象与x轴交于点A（3，0），对称轴为直线x=1，
∴图像与x轴的另一个交点为（-1，0），-=1，
∴a-b+c=0，2a+b=0，
∴3a+c=0，
∴3a+c+c<0，即3a+2c<0
故②正确；
∵对称轴直线x=1，图像开口向上，
∴当x=1时，ymin=a+b+c，
∴ ax2+bx+c ≥a+b+c，
即ax2+bx ≥a+b，故③正确；
又2a+b=0，3a+c=0，
∴a=，b=-2a=，
∴a+b+c=++c=，
∵-2＜c＜-1，
∴<<
∴故②③④正确.
故答案为：C .
【分析】根据图像及题意确定a、b、c的符号，结合对称轴及抛物线对称性确定a、b、c的关系，从而判断4个结论的正确性.
11．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵扇形的圆心角为80°，半径为8，
∴此扇形的弧长为：，
故答案为：.
【分析】根据弧长的公式进行计算即可.
12．【答案】x1=3，x2=-1
【知识点】二次函数y=ax²的图象；二次函数y=ax²的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：根据图像知抛物线的对称轴为直线x=1，
又图像与x轴的一个交点为（3，0），
∴根据抛物线对称性知，图像与x轴的另一个交点为（-1，0），
∴ 方程-x2+2x+m=0的解为x1=3，x2=-1.
故答案为：x1=3，x2=-1 .
【分析】根据抛物线的对称性知图像与x轴的两个交点为（3，0）、（-1，0），从而确定 方程-x2+2x+m=0的解 .
13．【答案】0.68
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据表格知， 身高不低于170cm 的人数为550+130=680，
∴身高不低于170cm 的频率为680÷1000=0.68，
即 身高不低于170cm的概率是 0.68.
故答案为： 0.68.
【分析】根据表格计算 身高不低于170cm 的频率，从而判定身高不低于170cm的概率.
14．【答案】0
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，点A(x1，4)，B(x2，4)是函数y=x2-3x图象上两点，
∴当x=x1+x2时，此时x=3，
∴y=32-3×3=0，
故答案为：0.
【分析】根据题意可以求得当x=x1+x2时的x的值，从而可以求得相应的y的值.
15．【答案】2
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接OD，交AC于点F，
∵是弧AC的中点，
∴OD⊥AC，AF=CF=AC=，
∵OA=OB，
∴OF是△ABC的中位线，
∴OF=BC，OD∥BC，
∴∠D=∠CBE，
∵E是BD的中点，
∴DE=BE，
在△BCE和△DFE中，
∴△BCE≌△DFE(ASA)
∴DF=BC，
∵OF=BC，
∴OF=DF，
∴OF=OD
设半径为r，则r2=
∴r=3
∴BC=DF==2.
故答案为：2 .
【分析】根据圆周角定理及垂径定理知DF∥BC，∠D=∠CBE，再根据“ASA”证明△BCE≌△DFE，从而得BC=DF=2OF，再根据勾股定理计算出BC的长.
16．【答案】52°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；对顶角及其性质；圆的对称性
【解析】【解答】解：如图，作C、E关于直径AB的对称，对称点为M、N，
则，∠AFC=∠AFM，∠BGD=∠BGN，
∵ ∠AFC=∠BFD，∠AGD=∠BGE，
∴∠AFM=∠BFD，∠BGN=∠AGD，
∵A、F、G、B共线，
∴D、F、M三点共线，D、G、N三点共线，
∵的度数是55°，的度数是21°，
∴、的度数分别为55°、21°，
∴的度数为180°-55°-21°=104°，
根据圆周角定理知， ∠FDG的度数为的度数，
即∠FDG=×104°=52°.
故答案为： 52°.
【分析】根据圆的对称性知，∠AFC=∠AFM，∠BGD=∠BGN，再根据题意得证D、F、M三点共线，D、G、N三点共线，最后根据圆周角定理知 ∠FDG的度数为的度数.
17．【答案】（1）证明：∵OE⊥AB，
∴CF＝DF，
∵OA＝OB，
∴AF＝BF，
∴AF﹣CF＝BF﹣DF，
∴AC＝BD；
（2）解：如图，连接OC，
∵OE⊥AB，
∴
设⊙O的半径是r，
∵CO2＝CF2+OF5，
∴r2＝25+（r﹣1）2，
∴，
∴⊙O的半径是．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理，可得CF=DF，AF=BF；根据等量关系列代数式，可得AC=BD；
（2）根据垂径定理，可得CF=CD；根据勾股定理列等式，即可求出圆的半径.
18．【答案】（1）解：
如图，△AB'C'即为所求.
（2）解：
如图，O即为所求.
（3）解：
如图， 线段AB在旋转90°扫过的图形的面积为以A为圆心，AB为半径所形成90°扇形面积，
又AB==，
∴ 线段AB在旋转过程中扫过的图形的面积为=，
答： 线段AB在旋转过程中扫过的图形的面积.
【知识点】三角形的外接圆与外心；扇形面积的计算；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）按照旋转的定义作图即可.
（2）去BC、AC的垂直平分线的交点即可.
（3）按照扇形的面积公式计算即可.
19．【答案】（1）解：列表如下：
红 红 蓝
红 　 （红，红） （蓝，红）
红 （红，红） 　 （蓝，红）
蓝 （红，蓝） （红，蓝） 　
由表知，共有6种等可能结果，其中两次摸到一红一蓝的有4种结果，
∴两次摸到一红一蓝的概率为；
（2）解：设后来放入的蓝球有x个，
根据题意，得：，
解得 x=9，
经检验：x=9是分式方程的解，
答：后来放入袋中的蓝球有9个．
【知识点】分式方程的实际应用；用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1）根据列表法计算等可能事件概率即可.
（2） 根据题意建立方程求解放入蓝球的数量，使得摸到蓝球的概率达到给定值.
20．【答案】（1）上；-1
（2）解：将（-2，-1），（-1，-2），（0，-1）代入y=ax2+bx+c，
得：
解得：
∴二次函数的表达式为y=x2+2x-1；
（3）解：当x=-3时，y=x2+2x-1=2；
当x=3时，y=x2+2x-1=14．
又∵二次函数图象的顶点坐标为（-1，-2），抛物线开口向上，
∴二次函数的最小值为-2，
∴当-3＜x＜3时，-2≤y＜14．
【知识点】函数值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（1）根据表格数据知，当x增大时，y先减小再增大，故函数开口向上；
当x=-2和x=0时，y=-1，
根据抛物线的对称性知，对称轴为直线x=，即直线x=-1，
故答案为：上；-1.
【分析】（1）根据表格判断图像的开口方向和对称轴.
（2）根据待定系数法确定 二次函数的解析式 .
（3）根据二次函数的增减性及顶点坐标，确定二次函数在 -3＜x＜3 范围内最值.
21．【答案】（1）解：根据题意知，AB=EF=CD=x 米，BC=(120-3x)米，
∴S=x(120-3x)=-3x2+120x=-3(x-20)2+1200
当x=20米时，S有最大值为1200平方米，
故S关于x的函数表达式为S=-3x2+120x，S的最大值为1200平方米；
（2）解：设甲区域面积为 S1，乙区域为S2=1200 S1，
根据题意，25×2S1+15×2(1200 S1)≤50000，
解得 S1≤700，
∴2S1 ≤1400
答：最多可以购买1400株牡丹.
【知识点】一元一次不等式的应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据“矩形面积=长×宽”列式化简得二次函数表达式，利用顶点式求S的最大值.
（2）根据“ 种植牡丹总费用+种植芍药的总费用 不超过5万元 ”列不等式求解并确定其最值.
22．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB于点E，
∴∠ACB=∠CEB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，∠BCE+∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCE，
∵C是的中点，
∴，
∴∠BAC=∠DBC，
∴∠DBC=∠BCE，
∵BD交CE于点F，
∴CF=BF．
（2）解：如图，连接AD，OC，
∵直径是AB，
∴∠BDA=90°，
根据勾股定理知：AD2+BD2=AB2
即122+BD2=202，
∴BD=16，
∵ C是的中点，
∴OC⊥BD，MD=BM==8，
∵O是AB的中点，
∴OM==6，
∴CM=OC-OM=4，
由勾股定理知：BC2=CM2+BM2，
∴BC=，
答： BC的长是.
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据“同角的余角相等”知∠BAC=∠BCE，根据“等弧所对的圆周角相等”知∠BAC=∠DBC，等量代换得∠DBC=∠BCE，从而得 CF=BF(等角对等边).
（2）根据勾股定理得BD的长，根据垂径定理知BM的长，根据三角形中位线知OM、CM的长，再根据勾股定理计算BC的长即可.
23．【答案】（1）解：当a=1时，二次函数 y=（x-1）（x-1+4）=x2+2x-3=(x+1)2-4
∴ 该二次函数图象的顶点坐标为（-1，-4）.
（2）解：令 y=（x-a）（x-a+4） =0，则x=a或x=a-4，
∴二次函数图象的对称轴为直线x==a-2，
∵ 与x轴平行的直线交该二次函数图象于A，B两点，且点B的横坐标为a+1，
∴A的横坐标为2a-4-（a+1）=a-5，
∴AB=(a+1)-(a-5)=6，
答：AB的长为6.
（3）解：二次函数y=（x-a）（x-a+4）的对称轴为x==a-2，且二次项系数为1＞0，即抛物线开口向上，
∵对于开口向上的抛物线，点到对称轴的距离越远，函数值越大．
计算点（2a-7，m）到对称轴x=a-2的距离：|（2a-7）-（a-2）|=|a-5|，
∵1＜a＜3，
∴a-5＜0，
∴|a-5|=5-a，
计算点（4a-9，n）到对称轴x=a-2的距离：|（4a-9）-（a-2）|=|3a-7|，
比较两个距离的大小：
（5-a）-|3a-7|=，
当1＜a＜时，2a-2＞0，即5-a＞7-3a，
当≤a＜3时，12-4a＞0，即5-a＞3a-7，
综上，点（2a-7，m）到对称轴的距离更远，又因为抛物线开口向上，
∴m＞n
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）根据a的值得二次函数表达式，转化为顶点式求出顶点坐标.
（2）先确定抛物线与x轴的交点坐标，从而确定抛物线的对称轴，再根据抛物线的对称性求出A的横坐标，根据A、B的横坐标求出AB的长.
（3）根据抛物线的增减性，借助点到对称轴的距离判断相应函数值的大小.
24．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵CD=BD，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∴AB=AC.
（2）解：∵∠E=50°，
∴∠B=∠E=50°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=50°，
∵四边形ABDF是⊙O的内接四边形，
∴∠CFD=∠B=50°，
∵∠BDF是△DCF的一个外角，
∴∠BDF=∠C+∠CFD=100°.
（3）解：过点G作GH⊥AD于H，GP⊥BD于P，如图所示：
则∠GHD=∠GPD=90°，
∵∠ADB=90°，
∴四边形GHDP是矩形，
∵点E是半圆AEB的中点，
∴弧AE=弧BE，
∴∠ADE=∠BDE，
∴DE是∠ADB的平分线，
又∵GH⊥AD，GP⊥BD，
∴GH=GP，
∴矩形GHDP是正方形，
设GH=GP=DH=DP=a，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∵四边形ABDF是⊙O的内接四边形，
∴∠CFD=∠B，
∴∠CFD=∠C，
∵DF=6，
∴CD=DF=6，
∴CD=BD=6，
在Rt△ABD中，AB=10，BD=6，
由勾股定理得：AD==8，
∵S△ADG+S△BDG=S△ABD，
∴AD GH+BD GP=AD BD，
∴8a+6a=6×8，
解得：a=，
∴GP=DP=，
在Rt△DPG中，由勾股定理得：DG==．
【知识点】勾股定理；正方形的判定；圆周角定理；圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）先证明AD是线段BC的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质得AB=AC；
（2）根据“同弧所对圆周角相等”“等边对等角”知∠C=∠B=50°，再根据圆内接四边形及外角定理知∠BDF=∠C+∠CFD=100°.
（3）根据题意证明四边形GHDP是正方形，再根据圆的内接四边形知CD=BD=6，从而知AD的长，再根据“S△ADG+S△BDG=S△ABD”计算出GP的长，最后根据勾股定理知DG的长.
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