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浙江省杭州市余杭区2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题
1．（2025九上·余杭月考）已知二次函数 的图象开口向下，则a的值可能是 (　　)
A．- 1 B．0 C．1 D．2
2．（2025九上·余杭月考）下列事件中，属于必然事件的是 (　　)
A．李老师在黑板上任意画两条直线，它们平行
B．李老师花10元买5注双色球彩票，刚好中奖
C．李老师开车经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯
D．李老师在黑板上任意画一个三角形，其内角和为180°
3．（2025九上·余杭月考）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，连结DE.若单独添加下列条件，其中不能使△ADE∽△ACB 的是(　　)
A．∠ADE=∠C B．∠AED=∠B C． D．
4．（2025九上·余杭月考） 如图， 点A， P， B在⊙O上. 若∠AOB=96°， 则∠P的大小是 (　　)
A．43° B．48° C．84° D．96°
5．（2025九上·余杭月考） 如图， 已知AB∥CD∥EF， AC：CE=2∶3. 若BF=15， 则DF的长为 (　　)
A．6 B．8 C．9 D．10
6．（2025九上·余杭月考）一个不透明的袋子中，装有除颜色外完全相同的5个红球和2个白球.从袋子中随机摸球，甲认为：若摸出1个球，则摸出红球的可能性大；乙认为：若摸出3个球，则至少有1个是红球.以下判断正确的是 (　　)
A．甲乙都正确 B．甲正确，乙错误
C．甲错误，乙正确 D．甲乙都错误
7．（2025九上·余杭月考）将二次函数. 的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得图象的函数表达式是(　　)
A．y=-(x-2)2-3 B． C．y=-(x-2)2+3 D．
8．（2025九上·余杭月考）下列命题正确的是 (　　)
A．平分弦的直径平分弦所对的弧
B．垂直平分弦的直线必定经过圆心
C．相等的圆心角所对的弧一定相等
D．相等的弦所对的圆周角一定相等
9．（2025九上·余杭月考） 已知二次函数y=a(x-x1)(x-x2)(a<0)， 且x1小于x2.若点P（m，n）在该函数图象上，则下列判断正确的是（　　）
A．当n<0时， m＜x1 B．当n<0时， m>x2
C．当n>0时， m>0 D．当n>0时，
10．（2025九上·余杭月考）如图，在平面直角坐标系中，以点G (0，1)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B 两点，与y轴交于 C，D 两点，E为⊙G上一动点，CF⊥AE于点 F，则点E在⊙G上运动过程中，线段FG 的长的最小值为 (　　)
A． B．1 C． D．
11．（2025九上·余杭月考）在同样条件下对某种水稻种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表.
试验种子数m(粒) 1000 2000 3000 4000 5000
发芽频数n 953 1896 2856 3804 4750
发芽频率.nm 0.953 0.948 0.952 0.951 0.950
根据频率的稳定性，估计该稻种的发芽概率约为　 　.(精确到0.01)
12．（2025九上·余杭月考）若抛物线 经过原点，则m的值为　 　.
13．（2025九上·余杭月考） 如图， 已知△ABC∽△ACD， 若AB=9， AD=4， 则AC的长为　 　.
14．（2025九上·余杭月考） 如图， 在正六边形ABCDEF 中， 以点A为圆心， AC长为半径画弧CE， 连结AC、AE. 若AB=2，则图中阴影部分的面积是　 　.
15．（2025九上·余杭月考）用“描点法”画二次函数. 的图象时，列表如下：
x … 1 2 3 4 5 …
y … 5 6 5 2 -3 　
根据表格信息可知，当x=-1时，函数值y=　 　.
16．（2025九上·余杭月考） 如图， △ABC内接于⊙O， AB=AC， CD∥AB 交⊙O于点D， 连结AD. 若∠CAD=33°，则∠ABC的度数为　 　.
17．（2025九上·余杭月考）已知a∶b∶c=1∶2∶3.
（1）求代数式 的值.
（2） 若a+2b-c=10， 求a， b， c的值.
18．（2025九上·余杭月考）如图， AB， CD 相交于点O， △AOD∽△BOC.
（1） 若∠A=35°， ∠AOD=80°， 求∠C 的度数.
（2） 若OA：OB=3：4， AD=6， 求BC的长.
19．（2025九上·余杭月考）一个不透明的箱子里装有3个只有颜色不同的球，其中1个黑球，2个白球.从箱子里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球.求下列事件发生的概率：
（1）事件A：摸一次，恰好摸出1个黑球.
（2）事件B：摸两次，摸出2个球的颜色相同.
20．（2025九上·余杭月考）如图， AD是⊙O的直径， 弦BC⊥AD 于点P， 连结AB， BD.
（1） 求证： ∠A=∠DBC.
（2） 若BC=16， PD=4， 求⊙O的半径.
21．（2025九上·余杭月考）如图，一位篮球运动员投篮，球从点A 处投出，沿抛物线 运动，球运动至点B处达到最高点，此时，水平距离OC为3.5米.
（1） 求a的值.
（2）已知篮筐中心高度DE为3.05米，投篮出手点A与篮筐中心的水平距离OE为m米.若该运动员本次投篮能直接命中篮筐中心，求m的值.
22．（2025九上·余杭月考）如图， 点A， B， C在⊙O上， 连结AB， BC， 求作 的中点D.
下面是甲同学的作法：
以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 为半径画弧交于点 P，射线BP交⊙O于点 D，点D 即为所求.
（1）请根据甲同学的作法，在图1中画出点D，并判断该作法是否正确，说明理由.
（2）请尝试用其他方法，在图2中画出点D.(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
23．（2025九上·余杭月考）在平面直角坐标系中，设二次函数 (m是常数).
（1）若函数图象经过点 (0，4)，求该函数图象的顶点坐标.
（2） 若点A(-1， y1) ， B(-m+3， y2) 在该函数图象上， 且y1
（3） 若函数图象经过点 (一1， p)， (1， q)， 求证：pq≤48.
24．（2025九上·余杭月考）如图， 锐角三角形ABC 内接于⊙O， AD平分∠BAC， 交BC于点E， 交⊙O于点 D，连结BO 并延长交AD 于点 F，连结BD.
（1） 若∠DBC=35°， 请直接写出∠BAC， ∠OBC的大小.
（2） 若BF平分∠ABC，
①求证： BD=DF.
②若BD=6， AD=10， 求EF的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解： 二次函数 y = a x2 + b x + c 的开口方向由系数a的符号决定：
当 a > 0 时，开口向上；
当 a < 0 时，开口向下，
∵ 二次函数 的图象开口向下
∴a<0，
观察各选项，只有A选项-1<0，
故答案为：A.
【分析】根据 二次函数图象开口向下，需确定系数a的可能值.
2．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解： 两条直线的位置关系可能为平行、相交或重合，故选项A 属于随机事件 ；
彩票中奖是随机事件，无法保证必然发生，因此B选项属于随机事件；
交通信号灯的变化是周期性的，经过时可能遇到红灯、黄灯或绿灯，属于随机事件；
根据三角形内角和定理，在平面几何中，任意三角形的内角和恒为 180 ，因此该事件是必然事件.
故答案为：D.
【分析】根据“必然事件”概念，逐一对各选项进行判定.
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解： △ADE与△ACB中，已知∠A为公共角（公共角对应相等），
若∠ADE=∠C（对应角相等），则根据AA相似准则，△ADE∽△ACB（对应角为∠A=∠A，∠ADE=∠C），因此选项A能构成相似，故A不符合题意；
若 ∠AED=∠B （对应角相等），则根据AA相似准则，△ADE∽△ACB（对应角为∠A=∠A， ∠AED=∠B ），因此选项A能构成相似，故B不符合题意；
若，但夹角 ∠ADE=∠ACB 不确定，无法使 △ADE∽△ACB ，故C符号题意；
若，即，此时∠A=∠A， 则△ADE∽△ACB ，故D不符号题意.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定方法（满足两组对应角相等或对应边成比且夹角相等），逐一判断各选项是否符合题意.
4．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ 点A， P， B在⊙O上 ， ∠AOB=96°，
∴∠P=∠AOB=48°，
故答案为：B.
【分析】 根据圆周角定理：圆周角的度数等于对应圆心角度数的一半，完成作答.
5．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵ AB∥CD∥EF，
∴AC：CE=BD：DF，
∵ AC：CE=2∶3 ，
∴BD：DF=2：3，
∴DF=BF=9.
故答案为：C.
【分析】根据“ 平行线分线段成比例的性质 ”求解.
6．【答案】A
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵袋子中有5个红球和2个白球，总共有 5 + 2 = 7 个球，
∴摸出1个球时：摸到红球的概率为，摸到白球的概率为，
∵>，
∴摸出红球的可能性大 ，即甲说法正确.
∵袋中仅有2个白球，因此摸出3个球时，最多有2个白球，剩下的1个必为红球，因此乙的说法正确.
故答案为：A.
【分析】先计算摸出红球和白球的概率，判断甲的说法是否正确；再分析乙的说法，判断其是否正确.
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： 将二次函数的图象向左平移2个单位，得y= (x+2 )2 ， 再将二次函数y= (x+2 )2 的图象向上平移3个单位得 ，
故答案为：D.
【分析】 将二次函数 y = x2 的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，根据抛物线的平移规律，“左加右减”对应x方向的变换，“上加下减”对应整个函数的加减，需分两步处理原函数的解析式.
8．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；垂径定理的推论
【解析】【解答】解： 根据垂径定理推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦并平分弦所对的弧，但若被平分的弦是另一条直径，则平分它的直径未必垂直于它 ，故A选项不正确；
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分该弦，其逆命题为：若一条直线垂直平分弦，则该直线必为直径所在的直线，即经过圆心，因此命题B正确；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.但C选项未 限定同圆或等圆 ，则命题不成立，即C选项不正确；
相等的弦所对的圆心角相等，但圆周角可能对应优弧或劣弧，导致角度相等或互补，故选项D不正确.
故答案为：B.
【分析】根据圆的垂径定理、圆心角与弧的关系、圆周角定理等知识，逐一分析各选项的正确性，注意定理的适用条件.
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：根据题意，二次函数图象如下，
据图知，当P在x轴下方时，即n<0时，m＜x1或 m>x2 ，A、B选项不正确；
当当P在x轴上方时，即n>0时， ，C选项不正确，D选项正确。
故答案为：D.
【分析】 通过二次函数图象与方程解的分布分析，结合开口方向及参数符号，判断解的位置关系.关键在于理解开口向下时， y = n 的解在 x1 和 x2 之间（ n > 0 ）或两侧（ n < 0 ）.
10．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接AC，AG，过G作GM⊥AC于M，
∵ CF⊥AE ，
∴∠AFC=90°，
∴F点位于以AC为直径的圆M上，
∴当F在MG的延长线上时，FG最小，此时，MF=，
据题知，OG=1，AG=CG=2，
∴OC=OG+CG=3，
∴由勾股定理知：OA==，
AC==，
∴∠ACO=30°，MF=，
∴MG==1，
∴FG=MF-MG=-1.
故答案为：C.
【分析】根据 CF⊥AE于点 F 确定F点运动轨迹为圆，从而知当轨迹圆心与GF共线时FG最小.再根据根据定理得OA、AC的长，从而知MG、MF的长，结合线段和差计算出FG的长.
11．【答案】0.95
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解： 表格中试验种子数从1000到5000逐步增加，对应的发芽频率依次为0.953、0.948、0.952、0.951、0.950 ，
∴从数据趋势看，频率在0.95附近波动，且随着试验种子数增加，逐渐趋近于0.95，
即该稻种的发芽概率约为 0.95.
故答案为：0.95.
【分析】 通过统计试验数据的发芽频率，利用频率的稳定性估计概率（试验次数的增加，频率会趋近于概率）.
12．【答案】3
【知识点】二次函数的定义；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线经过原点(0，0)，
∴将x=0，y=0代入方程得：0 = m · 02 + 2 · 0 + m ( m 3 )
化简得：0 = 0 + 0 + m ( m 3 )
即：m ( m 3 ) = 0
解得：m = 0 或 m = 3
又是抛物线，
∴m≠0，
∴m=3.
故答案为：3.
【分析】根据题意将原点坐标代入方程即可求解m的值，结合抛物线表达式的二次项系数不为零知m的值.
13．【答案】6
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵ △ABC∽△ACD，
∴，
∵ AB=9， AD=4，
∴AC2=AB×AD=36，
∴AC=6，
故答案为：6.
【分析】根据相似三角形性质 (对应边成比例)建立方程求解AC的长度.
14．【答案】2π
【知识点】正多边形的性质；扇形的面积；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，过B作BM垂直AC，
在正六边形ABCDEF 中 ，∠ABC=120°，AB=BC，
∴∠BAM=30°，AC=2AM，
∴BM=AB=1，
由勾股定理知：AM==，
∴AC=2，
同理知∠EAF=30°，
∴∠CAE=60°，
∴ 阴影部分的面积 ==2π.
故答案为：2π.
【分析】根据正六边形性质知∠BAF=∠ABC=120°，∠EAF=∠BAC=30°，从而知∠EAC=60°，AC=2，再根据扇形面积公式计算即可.
15．【答案】－3
【知识点】二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解： 由表格可知，当x=1和x=3时，y均为5，因此对称轴为 x == 2，
根据二次函数的对称性知，当x=-1和x=5时，函数值相等，
又当x=5时，y=-3，
∴当x=-1时，函数值y=-3.
故答案为：-3.
【分析】观察表中数据确定二次函数的对称轴，再根据其对称性知x=-1时的函数值与 x=5时的函数值相等.
16．【答案】71°
【知识点】圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵ △ABC内接于⊙O， CD∥AB 交⊙O于点D，
∴四边形ABCD是圆的内接四边形，∠BAC=∠ACD，
∴∠B+∠D=180°，
∴∠D=180°-∠B，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠BAC=180°-2∠B，
∵∠CAD+∠ACD+∠D=180°，
∴33°+180°-2∠B+180°-∠B=180°，
∴∠B=71°.
故答案为：71°.
【分析】根据圆的内角四边形性质知∠B+∠D=180°，根据“等边对等角”“两直线平行，内错角相等”知∠BAC=∠ACD=180°-2∠B，结合三角形内角和定理及题意即可得出 ∠ABC的度数 .
17．【答案】（1）解：由题意，设a＝k，b＝2k，c＝3k，
则＝＝＝
（2）解：由题意，设a＝k，b＝2k，c＝3k，
则 a＋2b－c＝k＋4k－3k＝2k＝10，
∴k＝5．
∴a＝5，b＝10，c＝15
【知识点】求代数式值的实际应用
【解析】【分析】（1）根据比例设参数法将 a、b、c表示为同一参数的倍数后代入计算即可.
（2）利用参数法将 a、b、c表示为同一参数的倍数后代入方程求解参数值 ，从而得a、b、c的值.
18．【答案】（1）解：∵∠A＝35°，∠AOD＝80°，
∴∠D＝180°－35°－80°＝65°．
∵△AOD∽△BOC，
∴∠C＝∠D＝65°
（2）解：∵△AOD∽△BOC，OA∶OB＝3∶4，AD＝6，
∴＝＝＝．
∴BC＝8
【知识点】相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理计算∠D的度数，再根据 △AOD∽△BOC 得∠C的度数.
（2）根据△AOD∽△BOC得其对应边成比例＝，从而计算BC的长.
19．【答案】（1）解：∵ 3个只有颜色不同的球中，有 1个黑球，2个白球 ，
∴P（A）＝
（2）解：如下表：
据表知：共有9种等可能结果，其中 2个球的颜色相同的结果有5种，
∴P（B）＝
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）根据球的个数计算简单事件的概率；
（2）通过列表法计算等可能事件的概率.
20．【答案】（1）证明：∵AD是⊙O的直径，BC⊥AD，
∴＝．
∴∠A＝∠DBC
（2）解：连结OB，设⊙O的半径为r，
∵AD是⊙O的直径，BC⊥AD，
∴∠OPB＝90°，BP＝CP．
∴OP2＋BP2＝OB2．
∵BC＝16，PD＝4，
∴OP＝r－4，BP＝8．
∴（r－4）2＋82＝r2．
解得r＝10
【知识点】垂径定理；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据垂径定理（垂直于弦的直径，平分弦，平分弦所对的弧）及圆周角定理推论（同弧或等弧所对的圆周角相等）证明结论.
（2）根据垂径定理（垂直于弦的直径，平分弦，平分弦所对的弧）及勾股定理列式计算求半径.
21．【答案】（1）解：由题意可知，对称轴为直线x＝3.5，
∴－＝－＝3.5．
解得a＝－0.08．
即a的值为－0.08
（2）解：∵y＝－0.08x2＋0.56x＋2.57＝3.05，
∴化简得 x2－7x＋6＝0．
解得 x1＝1（不合题意，舍去），x2＝6．
答：m的值为6
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴x=-列式计算即可.
（2）根据题意列式得一元二次方程，求解即可.
22．【答案】（1）解：甲同学的作法正确，理由如下：
由作图过程可知 BP平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴，
即点D是的中点
（2）解：如图所示，点D即为所求．
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；尺规作图-作角的平分线；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”知.
（2）根据垂径定理“垂直于弦的直径，平分弦，平分弦所对的弧” 完成作图 .
23．【答案】（1）解：∵函数图象经过点（0，4），
∴－m＋5＝4．
∴m＝1．
∴y＝x2＋2x＋4＝（x＋1）2＋3．
∴该函数图象的顶点坐标为（－1，3）．
（2）解：∵y＝x2＋2mx－m＋5，
∴对称轴为直线x＝－m．
∵点A（－1，y1），B（－m＋3，y2）在该函数图象上，且y1＜y2，
∴－m－3＜－1＜－m＋3．
解得－2＜m＜4．
即m的取值范围为－2＜m＜4
（3）证明：∵函数图象经过点（－1，p），（1，q），
∴p＝1－2m－m＋5＝－3m＋6，
q＝1＋2m－m＋5＝m＋6．
∴pq＝（－3m＋6）（m＋6）＝－3（m＋2）2＋48≤48．
即pq≤48
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；利用一般式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】 （1）根据题意推导出二次函数表达式，再转变成顶点式，从而确定顶点坐标.
（2）根据题意及二次函数的增减性得到参数m需满足的条件，解关于m的不等式组即得m的取值范围.
（3）将 (一1， p)， (1， q) 代入二次函数表达式得、q的值， 再通过pq乘积得关于参数m的二次函数，通过配方得其最值，从而证明 pq≤48.
24．【答案】（1）∠BAC＝70°，∠OBC＝20°
（2）解：①∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD．
∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠CBD．
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF．
∴∠FBD＝∠CBD＋∠CBF＝∠BAD＋∠ABF＝∠BFD．
∴BD＝DF．
②∵∠BAD＝∠CBD，∠BDA＝∠EDB，
∴△BDA∽△EDB．
∴＝．
∵BD＝6，AD＝10，
∴36＝10DE．
∴DE＝3.6．
又∵BD＝DF＝6，
∴EF＝DF－DE＝6－3.6＝2.4．
即EF的长为2.4
【知识点】等腰三角形的判定；圆周角定理；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】（1）如图，连接OC，
∵ AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=，
又∠CAD=∠DBC=35°，
∴∠BAC=2∠CAD=70°.
∴∠BOC=140°，
又OB=OC，
∴∠OBC=(180°-140°)÷2=20°，
故答案为：70°；20°.
【分析】（1）根据角平分线概念知∠BAD=∠CAD=，再根据圆周角定理及推论得∠CAD=∠DBC=35°，∠BAC=2∠CAD=70°，最后根据“等边对等角”得 ∠OBC的大小 .
（2）根据“等角对等边”得证BD＝DF，根据“两角对应相等的两三角形相似”得△BDA∽△EDB，从而根据相似三角形性质得到DE的长，再根据线段和差关系得EF的长.
1 / 1浙江省杭州市余杭区2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题
1．（2025九上·余杭月考）已知二次函数 的图象开口向下，则a的值可能是 (　　)
A．- 1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解： 二次函数 y = a x2 + b x + c 的开口方向由系数a的符号决定：
当 a > 0 时，开口向上；
当 a < 0 时，开口向下，
∵ 二次函数 的图象开口向下
∴a<0，
观察各选项，只有A选项-1<0，
故答案为：A.
【分析】根据 二次函数图象开口向下，需确定系数a的可能值.
2．（2025九上·余杭月考）下列事件中，属于必然事件的是 (　　)
A．李老师在黑板上任意画两条直线，它们平行
B．李老师花10元买5注双色球彩票，刚好中奖
C．李老师开车经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯
D．李老师在黑板上任意画一个三角形，其内角和为180°
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解： 两条直线的位置关系可能为平行、相交或重合，故选项A 属于随机事件 ；
彩票中奖是随机事件，无法保证必然发生，因此B选项属于随机事件；
交通信号灯的变化是周期性的，经过时可能遇到红灯、黄灯或绿灯，属于随机事件；
根据三角形内角和定理，在平面几何中，任意三角形的内角和恒为 180 ，因此该事件是必然事件.
故答案为：D.
【分析】根据“必然事件”概念，逐一对各选项进行判定.
3．（2025九上·余杭月考）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，连结DE.若单独添加下列条件，其中不能使△ADE∽△ACB 的是(　　)
A．∠ADE=∠C B．∠AED=∠B C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解： △ADE与△ACB中，已知∠A为公共角（公共角对应相等），
若∠ADE=∠C（对应角相等），则根据AA相似准则，△ADE∽△ACB（对应角为∠A=∠A，∠ADE=∠C），因此选项A能构成相似，故A不符合题意；
若 ∠AED=∠B （对应角相等），则根据AA相似准则，△ADE∽△ACB（对应角为∠A=∠A， ∠AED=∠B ），因此选项A能构成相似，故B不符合题意；
若，但夹角 ∠ADE=∠ACB 不确定，无法使 △ADE∽△ACB ，故C符号题意；
若，即，此时∠A=∠A， 则△ADE∽△ACB ，故D不符号题意.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定方法（满足两组对应角相等或对应边成比且夹角相等），逐一判断各选项是否符合题意.
4．（2025九上·余杭月考） 如图， 点A， P， B在⊙O上. 若∠AOB=96°， 则∠P的大小是 (　　)
A．43° B．48° C．84° D．96°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ 点A， P， B在⊙O上 ， ∠AOB=96°，
∴∠P=∠AOB=48°，
故答案为：B.
【分析】 根据圆周角定理：圆周角的度数等于对应圆心角度数的一半，完成作答.
5．（2025九上·余杭月考） 如图， 已知AB∥CD∥EF， AC：CE=2∶3. 若BF=15， 则DF的长为 (　　)
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵ AB∥CD∥EF，
∴AC：CE=BD：DF，
∵ AC：CE=2∶3 ，
∴BD：DF=2：3，
∴DF=BF=9.
故答案为：C.
【分析】根据“ 平行线分线段成比例的性质 ”求解.
6．（2025九上·余杭月考）一个不透明的袋子中，装有除颜色外完全相同的5个红球和2个白球.从袋子中随机摸球，甲认为：若摸出1个球，则摸出红球的可能性大；乙认为：若摸出3个球，则至少有1个是红球.以下判断正确的是 (　　)
A．甲乙都正确 B．甲正确，乙错误
C．甲错误，乙正确 D．甲乙都错误
【答案】A
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵袋子中有5个红球和2个白球，总共有 5 + 2 = 7 个球，
∴摸出1个球时：摸到红球的概率为，摸到白球的概率为，
∵>，
∴摸出红球的可能性大 ，即甲说法正确.
∵袋中仅有2个白球，因此摸出3个球时，最多有2个白球，剩下的1个必为红球，因此乙的说法正确.
故答案为：A.
【分析】先计算摸出红球和白球的概率，判断甲的说法是否正确；再分析乙的说法，判断其是否正确.
7．（2025九上·余杭月考）将二次函数. 的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得图象的函数表达式是(　　)
A．y=-(x-2)2-3 B． C．y=-(x-2)2+3 D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： 将二次函数的图象向左平移2个单位，得y= (x+2 )2 ， 再将二次函数y= (x+2 )2 的图象向上平移3个单位得 ，
故答案为：D.
【分析】 将二次函数 y = x2 的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，根据抛物线的平移规律，“左加右减”对应x方向的变换，“上加下减”对应整个函数的加减，需分两步处理原函数的解析式.
8．（2025九上·余杭月考）下列命题正确的是 (　　)
A．平分弦的直径平分弦所对的弧
B．垂直平分弦的直线必定经过圆心
C．相等的圆心角所对的弧一定相等
D．相等的弦所对的圆周角一定相等
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；垂径定理的推论
【解析】【解答】解： 根据垂径定理推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦并平分弦所对的弧，但若被平分的弦是另一条直径，则平分它的直径未必垂直于它 ，故A选项不正确；
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分该弦，其逆命题为：若一条直线垂直平分弦，则该直线必为直径所在的直线，即经过圆心，因此命题B正确；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.但C选项未 限定同圆或等圆 ，则命题不成立，即C选项不正确；
相等的弦所对的圆心角相等，但圆周角可能对应优弧或劣弧，导致角度相等或互补，故选项D不正确.
故答案为：B.
【分析】根据圆的垂径定理、圆心角与弧的关系、圆周角定理等知识，逐一分析各选项的正确性，注意定理的适用条件.
9．（2025九上·余杭月考） 已知二次函数y=a(x-x1)(x-x2)(a<0)， 且x1小于x2.若点P（m，n）在该函数图象上，则下列判断正确的是（　　）
A．当n<0时， m＜x1 B．当n<0时， m>x2
C．当n>0时， m>0 D．当n>0时，
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：根据题意，二次函数图象如下，
据图知，当P在x轴下方时，即n<0时，m＜x1或 m>x2 ，A、B选项不正确；
当当P在x轴上方时，即n>0时， ，C选项不正确，D选项正确。
故答案为：D.
【分析】 通过二次函数图象与方程解的分布分析，结合开口方向及参数符号，判断解的位置关系.关键在于理解开口向下时， y = n 的解在 x1 和 x2 之间（ n > 0 ）或两侧（ n < 0 ）.
10．（2025九上·余杭月考）如图，在平面直角坐标系中，以点G (0，1)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B 两点，与y轴交于 C，D 两点，E为⊙G上一动点，CF⊥AE于点 F，则点E在⊙G上运动过程中，线段FG 的长的最小值为 (　　)
A． B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接AC，AG，过G作GM⊥AC于M，
∵ CF⊥AE ，
∴∠AFC=90°，
∴F点位于以AC为直径的圆M上，
∴当F在MG的延长线上时，FG最小，此时，MF=，
据题知，OG=1，AG=CG=2，
∴OC=OG+CG=3，
∴由勾股定理知：OA==，
AC==，
∴∠ACO=30°，MF=，
∴MG==1，
∴FG=MF-MG=-1.
故答案为：C.
【分析】根据 CF⊥AE于点 F 确定F点运动轨迹为圆，从而知当轨迹圆心与GF共线时FG最小.再根据根据定理得OA、AC的长，从而知MG、MF的长，结合线段和差计算出FG的长.
11．（2025九上·余杭月考）在同样条件下对某种水稻种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表.
试验种子数m(粒) 1000 2000 3000 4000 5000
发芽频数n 953 1896 2856 3804 4750
发芽频率.nm 0.953 0.948 0.952 0.951 0.950
根据频率的稳定性，估计该稻种的发芽概率约为　 　.(精确到0.01)
【答案】0.95
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解： 表格中试验种子数从1000到5000逐步增加，对应的发芽频率依次为0.953、0.948、0.952、0.951、0.950 ，
∴从数据趋势看，频率在0.95附近波动，且随着试验种子数增加，逐渐趋近于0.95，
即该稻种的发芽概率约为 0.95.
故答案为：0.95.
【分析】 通过统计试验数据的发芽频率，利用频率的稳定性估计概率（试验次数的增加，频率会趋近于概率）.
12．（2025九上·余杭月考）若抛物线 经过原点，则m的值为　 　.
【答案】3
【知识点】二次函数的定义；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线经过原点(0，0)，
∴将x=0，y=0代入方程得：0 = m · 02 + 2 · 0 + m ( m 3 )
化简得：0 = 0 + 0 + m ( m 3 )
即：m ( m 3 ) = 0
解得：m = 0 或 m = 3
又是抛物线，
∴m≠0，
∴m=3.
故答案为：3.
【分析】根据题意将原点坐标代入方程即可求解m的值，结合抛物线表达式的二次项系数不为零知m的值.
13．（2025九上·余杭月考） 如图， 已知△ABC∽△ACD， 若AB=9， AD=4， 则AC的长为　 　.
【答案】6
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵ △ABC∽△ACD，
∴，
∵ AB=9， AD=4，
∴AC2=AB×AD=36，
∴AC=6，
故答案为：6.
【分析】根据相似三角形性质 (对应边成比例)建立方程求解AC的长度.
14．（2025九上·余杭月考） 如图， 在正六边形ABCDEF 中， 以点A为圆心， AC长为半径画弧CE， 连结AC、AE. 若AB=2，则图中阴影部分的面积是　 　.
【答案】2π
【知识点】正多边形的性质；扇形的面积；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，过B作BM垂直AC，
在正六边形ABCDEF 中 ，∠ABC=120°，AB=BC，
∴∠BAM=30°，AC=2AM，
∴BM=AB=1，
由勾股定理知：AM==，
∴AC=2，
同理知∠EAF=30°，
∴∠CAE=60°，
∴ 阴影部分的面积 ==2π.
故答案为：2π.
【分析】根据正六边形性质知∠BAF=∠ABC=120°，∠EAF=∠BAC=30°，从而知∠EAC=60°，AC=2，再根据扇形面积公式计算即可.
15．（2025九上·余杭月考）用“描点法”画二次函数. 的图象时，列表如下：
x … 1 2 3 4 5 …
y … 5 6 5 2 -3 　
根据表格信息可知，当x=-1时，函数值y=　 　.
【答案】－3
【知识点】二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解： 由表格可知，当x=1和x=3时，y均为5，因此对称轴为 x == 2，
根据二次函数的对称性知，当x=-1和x=5时，函数值相等，
又当x=5时，y=-3，
∴当x=-1时，函数值y=-3.
故答案为：-3.
【分析】观察表中数据确定二次函数的对称轴，再根据其对称性知x=-1时的函数值与 x=5时的函数值相等.
16．（2025九上·余杭月考） 如图， △ABC内接于⊙O， AB=AC， CD∥AB 交⊙O于点D， 连结AD. 若∠CAD=33°，则∠ABC的度数为　 　.
【答案】71°
【知识点】圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵ △ABC内接于⊙O， CD∥AB 交⊙O于点D，
∴四边形ABCD是圆的内接四边形，∠BAC=∠ACD，
∴∠B+∠D=180°，
∴∠D=180°-∠B，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠BAC=180°-2∠B，
∵∠CAD+∠ACD+∠D=180°，
∴33°+180°-2∠B+180°-∠B=180°，
∴∠B=71°.
故答案为：71°.
【分析】根据圆的内角四边形性质知∠B+∠D=180°，根据“等边对等角”“两直线平行，内错角相等”知∠BAC=∠ACD=180°-2∠B，结合三角形内角和定理及题意即可得出 ∠ABC的度数 .
17．（2025九上·余杭月考）已知a∶b∶c=1∶2∶3.
（1）求代数式 的值.
（2） 若a+2b-c=10， 求a， b， c的值.
【答案】（1）解：由题意，设a＝k，b＝2k，c＝3k，
则＝＝＝
（2）解：由题意，设a＝k，b＝2k，c＝3k，
则 a＋2b－c＝k＋4k－3k＝2k＝10，
∴k＝5．
∴a＝5，b＝10，c＝15
【知识点】求代数式值的实际应用
【解析】【分析】（1）根据比例设参数法将 a、b、c表示为同一参数的倍数后代入计算即可.
（2）利用参数法将 a、b、c表示为同一参数的倍数后代入方程求解参数值 ，从而得a、b、c的值.
18．（2025九上·余杭月考）如图， AB， CD 相交于点O， △AOD∽△BOC.
（1） 若∠A=35°， ∠AOD=80°， 求∠C 的度数.
（2） 若OA：OB=3：4， AD=6， 求BC的长.
【答案】（1）解：∵∠A＝35°，∠AOD＝80°，
∴∠D＝180°－35°－80°＝65°．
∵△AOD∽△BOC，
∴∠C＝∠D＝65°
（2）解：∵△AOD∽△BOC，OA∶OB＝3∶4，AD＝6，
∴＝＝＝．
∴BC＝8
【知识点】相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理计算∠D的度数，再根据 △AOD∽△BOC 得∠C的度数.
（2）根据△AOD∽△BOC得其对应边成比例＝，从而计算BC的长.
19．（2025九上·余杭月考）一个不透明的箱子里装有3个只有颜色不同的球，其中1个黑球，2个白球.从箱子里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球.求下列事件发生的概率：
（1）事件A：摸一次，恰好摸出1个黑球.
（2）事件B：摸两次，摸出2个球的颜色相同.
【答案】（1）解：∵ 3个只有颜色不同的球中，有 1个黑球，2个白球 ，
∴P（A）＝
（2）解：如下表：
据表知：共有9种等可能结果，其中 2个球的颜色相同的结果有5种，
∴P（B）＝
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）根据球的个数计算简单事件的概率；
（2）通过列表法计算等可能事件的概率.
20．（2025九上·余杭月考）如图， AD是⊙O的直径， 弦BC⊥AD 于点P， 连结AB， BD.
（1） 求证： ∠A=∠DBC.
（2） 若BC=16， PD=4， 求⊙O的半径.
【答案】（1）证明：∵AD是⊙O的直径，BC⊥AD，
∴＝．
∴∠A＝∠DBC
（2）解：连结OB，设⊙O的半径为r，
∵AD是⊙O的直径，BC⊥AD，
∴∠OPB＝90°，BP＝CP．
∴OP2＋BP2＝OB2．
∵BC＝16，PD＝4，
∴OP＝r－4，BP＝8．
∴（r－4）2＋82＝r2．
解得r＝10
【知识点】垂径定理；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据垂径定理（垂直于弦的直径，平分弦，平分弦所对的弧）及圆周角定理推论（同弧或等弧所对的圆周角相等）证明结论.
（2）根据垂径定理（垂直于弦的直径，平分弦，平分弦所对的弧）及勾股定理列式计算求半径.
21．（2025九上·余杭月考）如图，一位篮球运动员投篮，球从点A 处投出，沿抛物线 运动，球运动至点B处达到最高点，此时，水平距离OC为3.5米.
（1） 求a的值.
（2）已知篮筐中心高度DE为3.05米，投篮出手点A与篮筐中心的水平距离OE为m米.若该运动员本次投篮能直接命中篮筐中心，求m的值.
【答案】（1）解：由题意可知，对称轴为直线x＝3.5，
∴－＝－＝3.5．
解得a＝－0.08．
即a的值为－0.08
（2）解：∵y＝－0.08x2＋0.56x＋2.57＝3.05，
∴化简得 x2－7x＋6＝0．
解得 x1＝1（不合题意，舍去），x2＝6．
答：m的值为6
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴x=-列式计算即可.
（2）根据题意列式得一元二次方程，求解即可.
22．（2025九上·余杭月考）如图， 点A， B， C在⊙O上， 连结AB， BC， 求作 的中点D.
下面是甲同学的作法：
以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 为半径画弧交于点 P，射线BP交⊙O于点 D，点D 即为所求.
（1）请根据甲同学的作法，在图1中画出点D，并判断该作法是否正确，说明理由.
（2）请尝试用其他方法，在图2中画出点D.(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
【答案】（1）解：甲同学的作法正确，理由如下：
由作图过程可知 BP平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴，
即点D是的中点
（2）解：如图所示，点D即为所求．
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；尺规作图-作角的平分线；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”知.
（2）根据垂径定理“垂直于弦的直径，平分弦，平分弦所对的弧” 完成作图 .
23．（2025九上·余杭月考）在平面直角坐标系中，设二次函数 (m是常数).
（1）若函数图象经过点 (0，4)，求该函数图象的顶点坐标.
（2） 若点A(-1， y1) ， B(-m+3， y2) 在该函数图象上， 且y1
（3） 若函数图象经过点 (一1， p)， (1， q)， 求证：pq≤48.
【答案】（1）解：∵函数图象经过点（0，4），
∴－m＋5＝4．
∴m＝1．
∴y＝x2＋2x＋4＝（x＋1）2＋3．
∴该函数图象的顶点坐标为（－1，3）．
（2）解：∵y＝x2＋2mx－m＋5，
∴对称轴为直线x＝－m．
∵点A（－1，y1），B（－m＋3，y2）在该函数图象上，且y1＜y2，
∴－m－3＜－1＜－m＋3．
解得－2＜m＜4．
即m的取值范围为－2＜m＜4
（3）证明：∵函数图象经过点（－1，p），（1，q），
∴p＝1－2m－m＋5＝－3m＋6，
q＝1＋2m－m＋5＝m＋6．
∴pq＝（－3m＋6）（m＋6）＝－3（m＋2）2＋48≤48．
即pq≤48
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；利用一般式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】 （1）根据题意推导出二次函数表达式，再转变成顶点式，从而确定顶点坐标.
（2）根据题意及二次函数的增减性得到参数m需满足的条件，解关于m的不等式组即得m的取值范围.
（3）将 (一1， p)， (1， q) 代入二次函数表达式得、q的值， 再通过pq乘积得关于参数m的二次函数，通过配方得其最值，从而证明 pq≤48.
24．（2025九上·余杭月考）如图， 锐角三角形ABC 内接于⊙O， AD平分∠BAC， 交BC于点E， 交⊙O于点 D，连结BO 并延长交AD 于点 F，连结BD.
（1） 若∠DBC=35°， 请直接写出∠BAC， ∠OBC的大小.
（2） 若BF平分∠ABC，
①求证： BD=DF.
②若BD=6， AD=10， 求EF的长.
【答案】（1）∠BAC＝70°，∠OBC＝20°
（2）解：①∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD．
∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠CBD．
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF．
∴∠FBD＝∠CBD＋∠CBF＝∠BAD＋∠ABF＝∠BFD．
∴BD＝DF．
②∵∠BAD＝∠CBD，∠BDA＝∠EDB，
∴△BDA∽△EDB．
∴＝．
∵BD＝6，AD＝10，
∴36＝10DE．
∴DE＝3.6．
又∵BD＝DF＝6，
∴EF＝DF－DE＝6－3.6＝2.4．
即EF的长为2.4
【知识点】等腰三角形的判定；圆周角定理；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】（1）如图，连接OC，
∵ AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=，
又∠CAD=∠DBC=35°，
∴∠BAC=2∠CAD=70°.
∴∠BOC=140°，
又OB=OC，
∴∠OBC=(180°-140°)÷2=20°，
故答案为：70°；20°.
【分析】（1）根据角平分线概念知∠BAD=∠CAD=，再根据圆周角定理及推论得∠CAD=∠DBC=35°，∠BAC=2∠CAD=70°，最后根据“等边对等角”得 ∠OBC的大小 .
（2）根据“等角对等边”得证BD＝DF，根据“两角对应相等的两三角形相似”得△BDA∽△EDB，从而根据相似三角形性质得到DE的长，再根据线段和差关系得EF的长.
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