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浙江省杭州市余杭区2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题
1．（2025八上·余杭月考）下列图案(部分)是几所大学的校徽，是轴对称图形的为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解： 选项A的校徽图案包含不规则元素（如倾斜文字或图形）无法形成对称轴，则选项A不是轴对称图形；
选项B的校徽为圆形或对称排列的元素，存在竖直方向的对称轴，是轴对称图形；
选项C的校徽设计较为简洁，但不存在对称轴，不是轴对称图形。
选项D的校徽包含非对称元素（鹰嘴图案），不存在对称轴，不是轴对称图形.
故答案为：B.
【分析】 结合轴对称定义，通过观察图案结构判断对称轴的存在性， 逐一分析各选项是否存在这样的对称轴 .
2．（2025八上·余杭月考）不等式x-3>0的解集在数轴上表示正确的是 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解： x-3>0
解得 x>3，
在数轴上表示如下：
故答案为：C.
【分析】 解不等式 x 3 > 0 ，确定解集为 x > 3 ，接着分析数轴表示规则：解集为 x > 3 时，数轴上应在3的位置用空心圆圈，并向右延伸箭头.
3．（2025八上·余杭月考）下列k的四个值中，能说明命题“对于任意偶数k，都是4的倍数”是假命题的为(　　)
A．k=6 B．k=7 C．k=8 D．k=16
【答案】A
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解： 选项A： k = 6 ，6是偶数（满足条件），但 6 ÷ 4 = 1.5 ，余数为2，故6不是4的倍数，符合反例要求；
选项B： k = 7 ，7是奇数，不满足命题中“偶数”的条件，因此无法作为反例；
选项C： k = 8 ，8是偶数且 8 ÷ 4 = 2 ，是4的倍数，与命题结论一致，无法推翻命题；
选项D： k = 16 ，16是偶数且 16 ÷ 4 = 4 ，是4的倍数，无法作为反例；
故答案为：A.
【分析】根据反例定义， 验证选项中是否存在偶数且不是4的倍数的 k 值 即可.
4．（2025八上·余杭月考）在平面直角坐标系中，将点向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解： 将点A(1，-2)向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点A'，则点A'的坐标是(1+2，-2-3)，即A'(3，-5).
故答案为：C.
【分析】根据点的坐标平移规律“横坐标左移减，右移加；纵坐标上移加，下移减”可求解得出答案.
5．（2025八上·余杭月考）已知a≥3b，根据不等式的性质，下列不等式中，错误的是(　　)
A．a+1≥3b+1 B．- a≥-3b C． D． a-2≥3b-2
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解： 原式 a ≥ 3 b ，两边同时加1，得 a + 1 ≥ 3 b + 1 ，根据不等式性质，不等式两边加（减）同一数不改变方向，故A正确，排除；
原式 a ≥ 3 b ，两边乘以-1，应变为 a ≤ 3 b ，但选项B为 a ≥ 3 b ，与正确结果相反，故B错误，符合题意；
原式两边乘以>0，不等号方向不变，得a ≥ b ，与选项C一致，故C正确，排除；
原式两边减2，得 a 2 ≥ 3 b 2 ，与选项D一致，故D正确，排除.
故答案为：B.
【分析】 根据不等式的基本性质，逐一分析各选项是否正确，重点注意不等号方向的变化 .
6．（2025八上·余杭月考）△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC边于点D，∠BDC=75°，则∠A的度数是（　　）
A．35° B．40° C．70° D．110°
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设∠A的度数是x，则∠C=∠B=
∵BD平分∠ABC交AC边于点D
∴∠DBC=
∴++75=180°
∴x=40°
∴∠A的度数是40°
故选B．
【分析】根据等腰三角形两底角相等，内角和180°，设出未知量，列出方程求出结果．
7．（2025八上·余杭月考）下列各曲线中，不能表示y是x的函数的为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象；函数的表示方法
【解析】【解答】解：如图，，直线与图像有3个交点，故A选项不是函数；
如图，，直线与图像有且仅有1个交点，故B选项是函数；
如图，，直线与图像有且仅有1个交点，故C选项是函数；
如图，，直线与图像有且仅有1个交点，故D选项是函数.
故答案为：A.
【分析】 通过垂直线检验法，若某图像存在一条垂直于x轴的直线与之相交于多个点，则该图像不能表示y是x的函数，逐一分析各选项的图像特征，判断是否存在这种情况.
8．（2025八上·余杭月考）在一次数学实践活动课上，老师指导学生进行折纸活动，下面是4名同学的折纸示意图(C的对应点是C')，其中折叠后的AD 连线是△ABC中BC边上的中线的为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的中线
【解析】【解答】解： 选项A：折叠后D点未位于BC中点（靠近C），则AD不是中线；
选项B：折叠后BD>C'D=CD，即D不是BC的中点，则AD不是中线；
选项C：折叠后D点靠近B，则C不符合中线定义；
选项D：折叠后C与B重合，即D点为BC中点，则AD为中线，选项D正确；
故答案为：D.
【分析】根据中点的概念，逐一 判断折叠后AD是否能使D成为BC的中点.
9．（2025八上·余杭月考）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则∠ABC和∠DEF 的关系为(　　)
A．∠ABC=∠DEF B．∠DEF=2∠ABC
C．∠ABC+90°=∠DEF D．∠ABC+∠DEF =180°
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SAS；邻补角；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：
据题意知，DG=AC=3，GE=BC=1，∠DGE=∠ACB=90°，
∴△DGE≌△ACB（ASA），
∴∠GED=∠ABC，
∴∠GED+∠DEF=180°，
∴∠ABC+∠DEF=180°，
故答案为：D.
【分析】通过证明△DGE≌△ACB（ASA）得对应角∠GED=∠ABC，根据邻补角定义知∠GED+∠DEF=180°，从而得∠ABC+∠DEF=180°.
10．（2025八上·余杭月考）如图，点G是BC的中点，点H在AF上，动点P沿图1 的边线匀速运动，运动路径为：G→C→D→E→F→H， 相应的△ABP 的面积y(cm2)关于运动时间x(s)的函数图象如图2，则下列选项中正确的是 (　　)
A．CD=2FE
B．若 yp=2yN， 则2EF=DE
C．AH=HF
D．若 xQ=7.5， 则函数过点 (12， 16)
【答案】B
【知识点】一次函数中的动态几何问题；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：设P的速度为vcm/s，
根据图1、图2知，当x=0时，P在G位置，y=AB×BG=12，
∴当x=2时，P在C位置，
∵ 点G是BC的中点，
∴BC=2BG=2CG=4v，
∴y=AB×BC=24，
∴AB×v=12，
当x=4时，P在D位置，CD=2v；
当x=7时，P在E位置，DE=3v，
∴y=AB×AF=AB×（4v+3v）=42；
∴EF=AB-CD=-2v=，
∵v不确定，
∴ A选项 CD=2FE 不一定正确；
∵HF=EF+HF-EF=AF-EF=5v-=，
AH=AF-FH=7v-=，
∵v不确定，
∴ C：AH=HF 不一定正确；
当 yP=2yN，即yP=42，yN=21，此时，P在H处，
∴y=AB×AH==42，
∴v=，
∴2EF=2×==3v=DE，
故B选项正确；
当xQ=7.5时，此时EF=v，HF=5v-v=v，
∴AH=AF-HF=v，
∴当P在H点时，yN=AB×AH==15；
即函数过点N（12，15），故D选项不正确.
故答案为：B.
【分析】 根据动点运动与函数图象的关系，结合图1的路径G→C→D→E→F→H及图2的面积变化，分析各段对应的时间和面积数量关系，进而判断选项中哪一项正确.
11．（2025八上·余杭月考）已知点A的坐标为(-1，2)，则点A 关于y轴对称点的坐标是　 　。
【答案】（1，2）
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 关于y轴对称的点，其横坐标取相反数，纵坐标保持不变 ，
∴ 点A (-1，2) 关于y轴对称点的坐标是 （1，2）.
故答案为： （1，2）.
【分析】 根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，可直接求解对称点的坐标 .
12．（2025八上·余杭月考）已知△ABC的两边长分别为3和4，则第三边c的取值范围　 　。
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵3，4，c是三角形三边，
∴4 3 < c < 4 + 3
即 1 < c < 7
故答案为：1 < c < 7
【分析】 根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 ， 确定第三边c的取值范围 .
13．（2025八上·余杭月考）某次知识竞赛共有30道选择题，答对一题得10分，若答错或不答一道题，则扣3分，要使总得分不少于70分则应该至少答对　 　道题．
【答案】13
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设答对道题，则答错或不答道题，
由题意可知，，
解得：，
为正整数，
最小为13，
即要使总得分不少于70分则应该至少答对13道题，
故答案为：13．
【分析】设答对道题，根据题意列一元一次不等式求出x的取值范围，得到最小整数解即可解答．
14．（2025八上·余杭月考） 在如图所示的△ABC中，若AB边上的点 D 使得AD=CD=BD， 则∠ACB=　 　。
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵ AD=CD=BD，
∴ ∠A = ∠DCA ， ∠B = ∠DCB ，
又∠ A + ∠ B + ∠ A C B = 180 °，
∴ ∠ D C A + ∠ D C B+ ∠ A C B = 180 °，
即2 ∠ A C B = 180 °，
∴∠ A C B = 90 °.
故答案为：90°.
【分析】根据“等边对等角”知 ∠A = ∠DCA ， ∠B = ∠DCB ，再根据三角形内角和定理及角度计算知 ∠ACB的度数 .
15．（2025八上·余杭月考）不等式组 的解为x≥b，a≠b，则不等式组 的解是　 　。
【答案】
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵ 不等式组 的解为x≥b，
∴a∴ 不等式组 的解是 x故答案为：x【分析】 根据第一个不等式组的解集可确定 a 与 b 的大小 ，从而 求解出第二个不等式组的解集.
16．（2025八上·余杭月考） 如图， 点A， B， C， D 顺次在直线l上， AC=a， BD=b， 以AC为边向下作等边三角形ACF，以BD为底边向上作等腰直角三角形BDE，若当AB的长度变化时，△CDF与△ABE 的面积差S始终保持不变，则a，b需满足的关系式为　 　。
【答案】b＝
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；等腰直角三角形；三角形的高
【解析】【解答】解：如图，过点E作EN⊥l，过点F作FM⊥l，
∵三角形ABC是等边三角形， AC=a ，
∴FM=，
∵三角形BDE是 等腰直角三角形 ， BD=b ，
∴EN=，
∵S△CDF =， S△ABE=，
又∵CD=AD-a，AB=AD-b，
∴S=-
=-
=
∵ 当AB的长度变化时，△CDF与△ABE 的面积差S始终保持不变，
∴，
∴b=
故答案为：b=.
【分析】根据等边三角形及等腰直角三角形性质分别计算出其高，再结合三角形面积及题意确定a、b的关系.
17．（2025八上·余杭月考）解下列不等式（组）
（1）；
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：令
解①得
解②得
∴ 不等式组的解是：
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）根据移项、合并同类项的步骤进行求解；
（2）分别求出两个不等式的解集，取其公共部分可得不等式组的解集.
18．（2025八上·余杭月考）如图， 已知△ABC三个顶点坐标分别是A (-4， 1) 、B(-3， 3) 、C(-1， 2) 。
（1） 画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1， 并直接写出A1、B1、C1的坐标。
（2）在平面直角坐标系中，有以AC为公共边的△ACD，满足△ACD≌△ACB，请直接写出满足条件的点 D 坐标。
【答案】（1）解：如图所示，为所求作。
A1（－4，－1），B1（－3，－3），C1（－1，－2）
（2）D（－2，0）
【知识点】线段垂直平分线的性质；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；等腰直角三角形；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（2）解：
是等腰直角三角形，
∵AC为斜边且为公共边，
此时 满足题意.
故答案为：（-2，0）
【分析】（1） 利用点关于x轴对称的坐标变换规律，将原三角形各顶点坐标变换后得到对称点的坐标，连接各对称点即得图形△A1B1C1.
（2）根据全等三角形的性质及垂直平分线性质确定D的坐标.
19．（2025八上·余杭月考）已知： 如图， 在△ABC和△DEF中， B， E， C， F在同一条直线上。下面四个条件：
①AB=DE， ②AC=DF， ③BE=CF， ④∠ABC=∠DEF
（1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF (写出一种情况即可)。
（2）在(1)的条件下，求证：△ABC≌△DEF。
【答案】（1）解：选择的三个条件是①②③
（2）证明：当选①②③时，
，
，即。
又，
∴△ABC≌△DEF（SSS）。
（答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：（1）选择的三个条件是①②③，
理由如下：
∵ BE=CF ，
∴BE+EC=CF+EC，
即BC=EF，
又 AB=DE， AC=DF，
∴ △ABC≌△DEF（SSS）.
故答案为：①②③.
【分析】（1）根据三角形全等的判定方法，从四个条件中选择三个使得△ABC≌△DEF即可.
（2）根据所选条件， 应用SSS判定定理完成证明 ，注意条件③需要进行变换.
20．（2025八上·余杭月考）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A(a，b)，B(c，d)，若点T(x， y)满足 那么称点T是点A 和B 的衍生点。
例如： M(-2， 5)， N(8， - 2)， 则点T(2， 1)是点M和N的衍生点。
已知点T(x， y)是点D(3， 0)， E(m， m+2)的衍生点。
（1）请直接写出点T的坐标(用含m的式子表示)。
（2）若直线ET交x轴于点H， 当∠DHT=90°时， 求点E的坐标。
【答案】（1）解：的坐标为.
（2）解：如图，
∵，
∴点与点的横坐标相同，
∴，
解得 ，
则，
∴点坐标为.
【知识点】解一元一次方程；点的坐标与象限的关系；用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】（1）根据 衍生点 定义知：x=， y==，
∴的坐标为，
故答案为：.
【分析】（1）根据 衍生点 定义用m表示T的坐标即可.
（2）根据题意得E、T两点的横坐标相同，列式计算出m的值，从而确定E的坐标.
21．（2025八上·余杭月考）已知三个实数a， b， c满足a-2b-c=0， a+2b-c<0。
（1）证明： b<0。
（2）若a-4b+c=3，且b>-3，求a+c的取值范围。
【答案】（1）证明 ：∵，
∴，
∵，
∴，
即4b<0，
∴.
（2）解：∵，b＞－3
∴－3＜，
∴－12＜4，
∴-9＜4b+3<3，
∵a－4b＋c＝3
∴a＋c＝3＋4b
∴－9＜a＋c＜3.
【知识点】不等式的解及解集；不等式的性质
【解析】【分析】(1)根据“ a-2b-c=0， a+2b-c<0 ”得关于b的不等式，求解不等式即可得b的取值.
(2)根据题意，结合（1）的结论推导出b的取值，再代入 a-4b+c=3 即可得 a+c的取值范围 .
22．（2025八上·余杭月考）如图，在△ABC中，点D 在AB边上，且CD=CB， E为BD的中点，F为AC的中点，连接 EF交CD于点 M，连接AM。
（1）求证： 2EF=AC。
（2）若∠BAC=45°，求线段AM、DM、BC之间的数量关系。
【答案】（1）证明：∵CD＝CB，E为BD的中点，
∴CE⊥BD，
即∠AEC＝90°.
∵F为AC的中点，
∴EF＝AC，
即2EF＝AC.
（2）解：∵∠BAC＝45°，CE⊥BD，
∴△AEC是等腰直角三角形。
∵F为AC的中点，
∴EF垂直平分AC，
∴AM＝CM。
∵CD＝CM+DM＝AM+DM，CD＝CB，
∴BC＝AM+DM.
【知识点】线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；等腰三角形的性质-三线合一；线段垂直平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据“等腰三角形三线合一”及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证明 2EF=AC .
（2）根据垂直平分线的概念及性质知AM=CM，从而知AM+DM=CM+DM＝CD＝BC.
23．（2025八上·余杭月考）春节期间，某批发商欲将一批水果由A市运往B市，汽车货运公司和铁路货运公司均开办此项运输业务，设运输过程中的损耗为200元/时，两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示。(总费用=途中损耗总费用+运费+装卸费用)
运输工具 途中平均速度 (千米/时) 运费 (元/千米) 装卸费用(元)
火车 100 15 2000
汽车 80 20 900
（1）若A市与B市之间的距离为600千米，则只用火车运输的总费用是　 　元；只用汽车运输的总费用是　 　元。
（2）若A市与B市之间的距离为x千米，请直接写出火车运输的总费用y1(元)、汽车运输的总费用y2(元)分别与x(千米)之间的函数表达式。
（3）若要使选择火车运输方式合算，则x的取值范围是多少？
【答案】（1）12200；14400
（2）；
（3）解：令17x+2000＜22.5x+900，
∴x＞200，
答： 若要使选择火车运输方式合算，则x的取值范围是x＞200.
【知识点】一元一次不等式的应用；列一次函数关系式；实数运算的实际应用
【解析】【解答】解：（1）∵火车运费为15元/千米，汽车运费20元/千米，A市与B市之间的距离为600千米 ，
∴从 A市与B市 只用火车运输的总费用是 15×600+200×+2000=12200元，
从 A市与B市 只用汽车运输的总费用是20×600+200+900=14400元.
故答案为：12200；14400.
（2）火车运输的总费用y1 = 途中损耗总费用+运费+装卸费用 =15x+200×+2000=17x+2000.
汽车运输的总费用y2 = 途中损耗总费用+运费+装卸费用=20x+200+900=22.5x+900.
故答案为：；.
【分析】（1）根据“ 总费用=途中损耗总费用+运费+装卸费用 ”计算即可.
（2）根据“ 总费用=途中损耗总费用+运费+装卸费用 ”列出函数表达式并化简即可.
（3）根据题意列出不等式求解即可.
24．（2025八上·余杭月考）如图，在等边三角形ABC中， AB=6，点D在AC边上， CD=2， E为AB边上一动点，连接DE。将线段DE绕点E顺时针旋转60°得到线段 EF。
（1）当EF∥AC时，求AE的长。
（2）当点 F在 BC边上时，求证： △ADE≌△BEF。
（3）直接写出 BF 的最小值。
【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝6，∠A＝60°
∵CD＝2，
∴AD＝4
∵，
∴，
∵，
∴＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴.
（2）证明：由题意得 ＝60°，
∵，，
∴，
∵，，
∴.
（3）
【知识点】二次函数的最值；等边三角形的性质；等边三角形的判定；三角形全等的判定-AAS；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：（3）如图，过点E作EM⊥AC交AC于点M，过点F作FN⊥AB交AB于点N，连结BF，
设AE=
∵∠A=60°，＝60°
∴∠DEA+∠ADE=∠DEA+∠FEB=120°，∠AEM=30°
∴∠ADE=∠FEB，AM=
∴ME=，则DM=4－
又∵
∴
∴EN=DM=4－，FN=ME=
∴BN=6－－（4－）=2－
∴=4=3≥3
∴BF的最小值为.
故答案为：.
【分析】（1）根据等边三角形性质及平行线性质得△ADE是等边三角形，从而计算AE=AD的长.
（2）根据题意及外角性质，证明（AAS）.
（3）构建确定三角形，利用全等三角形性质及勾股定理得出BF的长，结合二次函数的最值得BF的最小值.
1 / 1浙江省杭州市余杭区2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题
1．（2025八上·余杭月考）下列图案(部分)是几所大学的校徽，是轴对称图形的为(　　)
A． B．
C． D．
2．（2025八上·余杭月考）不等式x-3>0的解集在数轴上表示正确的是 (　　)
A． B．
C． D．
3．（2025八上·余杭月考）下列k的四个值中，能说明命题“对于任意偶数k，都是4的倍数”是假命题的为(　　)
A．k=6 B．k=7 C．k=8 D．k=16
4．（2025八上·余杭月考）在平面直角坐标系中，将点向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八上·余杭月考）已知a≥3b，根据不等式的性质，下列不等式中，错误的是(　　)
A．a+1≥3b+1 B．- a≥-3b C． D． a-2≥3b-2
6．（2025八上·余杭月考）△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC边于点D，∠BDC=75°，则∠A的度数是（　　）
A．35° B．40° C．70° D．110°
7．（2025八上·余杭月考）下列各曲线中，不能表示y是x的函数的为(　　)
A． B．
C． D．
8．（2025八上·余杭月考）在一次数学实践活动课上，老师指导学生进行折纸活动，下面是4名同学的折纸示意图(C的对应点是C')，其中折叠后的AD 连线是△ABC中BC边上的中线的为(　　)
A． B．
C． D．
9．（2025八上·余杭月考）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则∠ABC和∠DEF 的关系为(　　)
A．∠ABC=∠DEF B．∠DEF=2∠ABC
C．∠ABC+90°=∠DEF D．∠ABC+∠DEF =180°
10．（2025八上·余杭月考）如图，点G是BC的中点，点H在AF上，动点P沿图1 的边线匀速运动，运动路径为：G→C→D→E→F→H， 相应的△ABP 的面积y(cm2)关于运动时间x(s)的函数图象如图2，则下列选项中正确的是 (　　)
A．CD=2FE
B．若 yp=2yN， 则2EF=DE
C．AH=HF
D．若 xQ=7.5， 则函数过点 (12， 16)
11．（2025八上·余杭月考）已知点A的坐标为(-1，2)，则点A 关于y轴对称点的坐标是　 　。
12．（2025八上·余杭月考）已知△ABC的两边长分别为3和4，则第三边c的取值范围　 　。
13．（2025八上·余杭月考）某次知识竞赛共有30道选择题，答对一题得10分，若答错或不答一道题，则扣3分，要使总得分不少于70分则应该至少答对　 　道题．
14．（2025八上·余杭月考） 在如图所示的△ABC中，若AB边上的点 D 使得AD=CD=BD， 则∠ACB=　 　。
15．（2025八上·余杭月考）不等式组 的解为x≥b，a≠b，则不等式组 的解是　 　。
16．（2025八上·余杭月考） 如图， 点A， B， C， D 顺次在直线l上， AC=a， BD=b， 以AC为边向下作等边三角形ACF，以BD为底边向上作等腰直角三角形BDE，若当AB的长度变化时，△CDF与△ABE 的面积差S始终保持不变，则a，b需满足的关系式为　 　。
17．（2025八上·余杭月考）解下列不等式（组）
（1）；
（2）
18．（2025八上·余杭月考）如图， 已知△ABC三个顶点坐标分别是A (-4， 1) 、B(-3， 3) 、C(-1， 2) 。
（1） 画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1， 并直接写出A1、B1、C1的坐标。
（2）在平面直角坐标系中，有以AC为公共边的△ACD，满足△ACD≌△ACB，请直接写出满足条件的点 D 坐标。
19．（2025八上·余杭月考）已知： 如图， 在△ABC和△DEF中， B， E， C， F在同一条直线上。下面四个条件：
①AB=DE， ②AC=DF， ③BE=CF， ④∠ABC=∠DEF
（1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF (写出一种情况即可)。
（2）在(1)的条件下，求证：△ABC≌△DEF。
20．（2025八上·余杭月考）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A(a，b)，B(c，d)，若点T(x， y)满足 那么称点T是点A 和B 的衍生点。
例如： M(-2， 5)， N(8， - 2)， 则点T(2， 1)是点M和N的衍生点。
已知点T(x， y)是点D(3， 0)， E(m， m+2)的衍生点。
（1）请直接写出点T的坐标(用含m的式子表示)。
（2）若直线ET交x轴于点H， 当∠DHT=90°时， 求点E的坐标。
21．（2025八上·余杭月考）已知三个实数a， b， c满足a-2b-c=0， a+2b-c<0。
（1）证明： b<0。
（2）若a-4b+c=3，且b>-3，求a+c的取值范围。
22．（2025八上·余杭月考）如图，在△ABC中，点D 在AB边上，且CD=CB， E为BD的中点，F为AC的中点，连接 EF交CD于点 M，连接AM。
（1）求证： 2EF=AC。
（2）若∠BAC=45°，求线段AM、DM、BC之间的数量关系。
23．（2025八上·余杭月考）春节期间，某批发商欲将一批水果由A市运往B市，汽车货运公司和铁路货运公司均开办此项运输业务，设运输过程中的损耗为200元/时，两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示。(总费用=途中损耗总费用+运费+装卸费用)
运输工具 途中平均速度 (千米/时) 运费 (元/千米) 装卸费用(元)
火车 100 15 2000
汽车 80 20 900
（1）若A市与B市之间的距离为600千米，则只用火车运输的总费用是　 　元；只用汽车运输的总费用是　 　元。
（2）若A市与B市之间的距离为x千米，请直接写出火车运输的总费用y1(元)、汽车运输的总费用y2(元)分别与x(千米)之间的函数表达式。
（3）若要使选择火车运输方式合算，则x的取值范围是多少？
24．（2025八上·余杭月考）如图，在等边三角形ABC中， AB=6，点D在AC边上， CD=2， E为AB边上一动点，连接DE。将线段DE绕点E顺时针旋转60°得到线段 EF。
（1）当EF∥AC时，求AE的长。
（2）当点 F在 BC边上时，求证： △ADE≌△BEF。
（3）直接写出 BF 的最小值。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解： 选项A的校徽图案包含不规则元素（如倾斜文字或图形）无法形成对称轴，则选项A不是轴对称图形；
选项B的校徽为圆形或对称排列的元素，存在竖直方向的对称轴，是轴对称图形；
选项C的校徽设计较为简洁，但不存在对称轴，不是轴对称图形。
选项D的校徽包含非对称元素（鹰嘴图案），不存在对称轴，不是轴对称图形.
故答案为：B.
【分析】 结合轴对称定义，通过观察图案结构判断对称轴的存在性， 逐一分析各选项是否存在这样的对称轴 .
2．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解： x-3>0
解得 x>3，
在数轴上表示如下：
故答案为：C.
【分析】 解不等式 x 3 > 0 ，确定解集为 x > 3 ，接着分析数轴表示规则：解集为 x > 3 时，数轴上应在3的位置用空心圆圈，并向右延伸箭头.
3．【答案】A
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解： 选项A： k = 6 ，6是偶数（满足条件），但 6 ÷ 4 = 1.5 ，余数为2，故6不是4的倍数，符合反例要求；
选项B： k = 7 ，7是奇数，不满足命题中“偶数”的条件，因此无法作为反例；
选项C： k = 8 ，8是偶数且 8 ÷ 4 = 2 ，是4的倍数，与命题结论一致，无法推翻命题；
选项D： k = 16 ，16是偶数且 16 ÷ 4 = 4 ，是4的倍数，无法作为反例；
故答案为：A.
【分析】根据反例定义， 验证选项中是否存在偶数且不是4的倍数的 k 值 即可.
4．【答案】C
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解： 将点A(1，-2)向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点A'，则点A'的坐标是(1+2，-2-3)，即A'(3，-5).
故答案为：C.
【分析】根据点的坐标平移规律“横坐标左移减，右移加；纵坐标上移加，下移减”可求解得出答案.
5．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解： 原式 a ≥ 3 b ，两边同时加1，得 a + 1 ≥ 3 b + 1 ，根据不等式性质，不等式两边加（减）同一数不改变方向，故A正确，排除；
原式 a ≥ 3 b ，两边乘以-1，应变为 a ≤ 3 b ，但选项B为 a ≥ 3 b ，与正确结果相反，故B错误，符合题意；
原式两边乘以>0，不等号方向不变，得a ≥ b ，与选项C一致，故C正确，排除；
原式两边减2，得 a 2 ≥ 3 b 2 ，与选项D一致，故D正确，排除.
故答案为：B.
【分析】 根据不等式的基本性质，逐一分析各选项是否正确，重点注意不等号方向的变化 .
6．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设∠A的度数是x，则∠C=∠B=
∵BD平分∠ABC交AC边于点D
∴∠DBC=
∴++75=180°
∴x=40°
∴∠A的度数是40°
故选B．
【分析】根据等腰三角形两底角相等，内角和180°，设出未知量，列出方程求出结果．
7．【答案】A
【知识点】函数的图象；函数的表示方法
【解析】【解答】解：如图，，直线与图像有3个交点，故A选项不是函数；
如图，，直线与图像有且仅有1个交点，故B选项是函数；
如图，，直线与图像有且仅有1个交点，故C选项是函数；
如图，，直线与图像有且仅有1个交点，故D选项是函数.
故答案为：A.
【分析】 通过垂直线检验法，若某图像存在一条垂直于x轴的直线与之相交于多个点，则该图像不能表示y是x的函数，逐一分析各选项的图像特征，判断是否存在这种情况.
8．【答案】D
【知识点】三角形的中线
【解析】【解答】解： 选项A：折叠后D点未位于BC中点（靠近C），则AD不是中线；
选项B：折叠后BD>C'D=CD，即D不是BC的中点，则AD不是中线；
选项C：折叠后D点靠近B，则C不符合中线定义；
选项D：折叠后C与B重合，即D点为BC中点，则AD为中线，选项D正确；
故答案为：D.
【分析】根据中点的概念，逐一 判断折叠后AD是否能使D成为BC的中点.
9．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SAS；邻补角；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：
据题意知，DG=AC=3，GE=BC=1，∠DGE=∠ACB=90°，
∴△DGE≌△ACB（ASA），
∴∠GED=∠ABC，
∴∠GED+∠DEF=180°，
∴∠ABC+∠DEF=180°，
故答案为：D.
【分析】通过证明△DGE≌△ACB（ASA）得对应角∠GED=∠ABC，根据邻补角定义知∠GED+∠DEF=180°，从而得∠ABC+∠DEF=180°.
10．【答案】B
【知识点】一次函数中的动态几何问题；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：设P的速度为vcm/s，
根据图1、图2知，当x=0时，P在G位置，y=AB×BG=12，
∴当x=2时，P在C位置，
∵ 点G是BC的中点，
∴BC=2BG=2CG=4v，
∴y=AB×BC=24，
∴AB×v=12，
当x=4时，P在D位置，CD=2v；
当x=7时，P在E位置，DE=3v，
∴y=AB×AF=AB×（4v+3v）=42；
∴EF=AB-CD=-2v=，
∵v不确定，
∴ A选项 CD=2FE 不一定正确；
∵HF=EF+HF-EF=AF-EF=5v-=，
AH=AF-FH=7v-=，
∵v不确定，
∴ C：AH=HF 不一定正确；
当 yP=2yN，即yP=42，yN=21，此时，P在H处，
∴y=AB×AH==42，
∴v=，
∴2EF=2×==3v=DE，
故B选项正确；
当xQ=7.5时，此时EF=v，HF=5v-v=v，
∴AH=AF-HF=v，
∴当P在H点时，yN=AB×AH==15；
即函数过点N（12，15），故D选项不正确.
故答案为：B.
【分析】 根据动点运动与函数图象的关系，结合图1的路径G→C→D→E→F→H及图2的面积变化，分析各段对应的时间和面积数量关系，进而判断选项中哪一项正确.
11．【答案】（1，2）
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 关于y轴对称的点，其横坐标取相反数，纵坐标保持不变 ，
∴ 点A (-1，2) 关于y轴对称点的坐标是 （1，2）.
故答案为： （1，2）.
【分析】 根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，可直接求解对称点的坐标 .
12．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵3，4，c是三角形三边，
∴4 3 < c < 4 + 3
即 1 < c < 7
故答案为：1 < c < 7
【分析】 根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 ， 确定第三边c的取值范围 .
13．【答案】13
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设答对道题，则答错或不答道题，
由题意可知，，
解得：，
为正整数，
最小为13，
即要使总得分不少于70分则应该至少答对13道题，
故答案为：13．
【分析】设答对道题，根据题意列一元一次不等式求出x的取值范围，得到最小整数解即可解答．
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵ AD=CD=BD，
∴ ∠A = ∠DCA ， ∠B = ∠DCB ，
又∠ A + ∠ B + ∠ A C B = 180 °，
∴ ∠ D C A + ∠ D C B+ ∠ A C B = 180 °，
即2 ∠ A C B = 180 °，
∴∠ A C B = 90 °.
故答案为：90°.
【分析】根据“等边对等角”知 ∠A = ∠DCA ， ∠B = ∠DCB ，再根据三角形内角和定理及角度计算知 ∠ACB的度数 .
15．【答案】
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵ 不等式组 的解为x≥b，
∴a∴ 不等式组 的解是 x故答案为：x【分析】 根据第一个不等式组的解集可确定 a 与 b 的大小 ，从而 求解出第二个不等式组的解集.
16．【答案】b＝
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；等腰直角三角形；三角形的高
【解析】【解答】解：如图，过点E作EN⊥l，过点F作FM⊥l，
∵三角形ABC是等边三角形， AC=a ，
∴FM=，
∵三角形BDE是 等腰直角三角形 ， BD=b ，
∴EN=，
∵S△CDF =， S△ABE=，
又∵CD=AD-a，AB=AD-b，
∴S=-
=-
=
∵ 当AB的长度变化时，△CDF与△ABE 的面积差S始终保持不变，
∴，
∴b=
故答案为：b=.
【分析】根据等边三角形及等腰直角三角形性质分别计算出其高，再结合三角形面积及题意确定a、b的关系.
17．【答案】（1）解：
（2）解：令
解①得
解②得
∴ 不等式组的解是：
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）根据移项、合并同类项的步骤进行求解；
（2）分别求出两个不等式的解集，取其公共部分可得不等式组的解集.
18．【答案】（1）解：如图所示，为所求作。
A1（－4，－1），B1（－3，－3），C1（－1，－2）
（2）D（－2，0）
【知识点】线段垂直平分线的性质；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；等腰直角三角形；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（2）解：
是等腰直角三角形，
∵AC为斜边且为公共边，
此时 满足题意.
故答案为：（-2，0）
【分析】（1） 利用点关于x轴对称的坐标变换规律，将原三角形各顶点坐标变换后得到对称点的坐标，连接各对称点即得图形△A1B1C1.
（2）根据全等三角形的性质及垂直平分线性质确定D的坐标.
19．【答案】（1）解：选择的三个条件是①②③
（2）证明：当选①②③时，
，
，即。
又，
∴△ABC≌△DEF（SSS）。
（答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：（1）选择的三个条件是①②③，
理由如下：
∵ BE=CF ，
∴BE+EC=CF+EC，
即BC=EF，
又 AB=DE， AC=DF，
∴ △ABC≌△DEF（SSS）.
故答案为：①②③.
【分析】（1）根据三角形全等的判定方法，从四个条件中选择三个使得△ABC≌△DEF即可.
（2）根据所选条件， 应用SSS判定定理完成证明 ，注意条件③需要进行变换.
20．【答案】（1）解：的坐标为.
（2）解：如图，
∵，
∴点与点的横坐标相同，
∴，
解得 ，
则，
∴点坐标为.
【知识点】解一元一次方程；点的坐标与象限的关系；用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】（1）根据 衍生点 定义知：x=， y==，
∴的坐标为，
故答案为：.
【分析】（1）根据 衍生点 定义用m表示T的坐标即可.
（2）根据题意得E、T两点的横坐标相同，列式计算出m的值，从而确定E的坐标.
21．【答案】（1）证明 ：∵，
∴，
∵，
∴，
即4b<0，
∴.
（2）解：∵，b＞－3
∴－3＜，
∴－12＜4，
∴-9＜4b+3<3，
∵a－4b＋c＝3
∴a＋c＝3＋4b
∴－9＜a＋c＜3.
【知识点】不等式的解及解集；不等式的性质
【解析】【分析】(1)根据“ a-2b-c=0， a+2b-c<0 ”得关于b的不等式，求解不等式即可得b的取值.
(2)根据题意，结合（1）的结论推导出b的取值，再代入 a-4b+c=3 即可得 a+c的取值范围 .
22．【答案】（1）证明：∵CD＝CB，E为BD的中点，
∴CE⊥BD，
即∠AEC＝90°.
∵F为AC的中点，
∴EF＝AC，
即2EF＝AC.
（2）解：∵∠BAC＝45°，CE⊥BD，
∴△AEC是等腰直角三角形。
∵F为AC的中点，
∴EF垂直平分AC，
∴AM＝CM。
∵CD＝CM+DM＝AM+DM，CD＝CB，
∴BC＝AM+DM.
【知识点】线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；等腰三角形的性质-三线合一；线段垂直平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据“等腰三角形三线合一”及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证明 2EF=AC .
（2）根据垂直平分线的概念及性质知AM=CM，从而知AM+DM=CM+DM＝CD＝BC.
23．【答案】（1）12200；14400
（2）；
（3）解：令17x+2000＜22.5x+900，
∴x＞200，
答： 若要使选择火车运输方式合算，则x的取值范围是x＞200.
【知识点】一元一次不等式的应用；列一次函数关系式；实数运算的实际应用
【解析】【解答】解：（1）∵火车运费为15元/千米，汽车运费20元/千米，A市与B市之间的距离为600千米 ，
∴从 A市与B市 只用火车运输的总费用是 15×600+200×+2000=12200元，
从 A市与B市 只用汽车运输的总费用是20×600+200+900=14400元.
故答案为：12200；14400.
（2）火车运输的总费用y1 = 途中损耗总费用+运费+装卸费用 =15x+200×+2000=17x+2000.
汽车运输的总费用y2 = 途中损耗总费用+运费+装卸费用=20x+200+900=22.5x+900.
故答案为：；.
【分析】（1）根据“ 总费用=途中损耗总费用+运费+装卸费用 ”计算即可.
（2）根据“ 总费用=途中损耗总费用+运费+装卸费用 ”列出函数表达式并化简即可.
（3）根据题意列出不等式求解即可.
24．【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝6，∠A＝60°
∵CD＝2，
∴AD＝4
∵，
∴，
∵，
∴＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴.
（2）证明：由题意得 ＝60°，
∵，，
∴，
∵，，
∴.
（3）
【知识点】二次函数的最值；等边三角形的性质；等边三角形的判定；三角形全等的判定-AAS；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：（3）如图，过点E作EM⊥AC交AC于点M，过点F作FN⊥AB交AB于点N，连结BF，
设AE=
∵∠A=60°，＝60°
∴∠DEA+∠ADE=∠DEA+∠FEB=120°，∠AEM=30°
∴∠ADE=∠FEB，AM=
∴ME=，则DM=4－
又∵
∴
∴EN=DM=4－，FN=ME=
∴BN=6－－（4－）=2－
∴=4=3≥3
∴BF的最小值为.
故答案为：.
【分析】（1）根据等边三角形性质及平行线性质得△ADE是等边三角形，从而计算AE=AD的长.
（2）根据题意及外角性质，证明（AAS）.
（3）构建确定三角形，利用全等三角形性质及勾股定理得出BF的长，结合二次函数的最值得BF的最小值.
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