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第8章《四边形》单元提升测试卷
一、单选题(每题3分.共计30分)
1．下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（ ）
A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形
2．下列说法正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形
B．有一组对边相等的四边形是等腰梯形
C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形
D．有一个角是直角的梯形是直角梯形
3．如图，在平行四边形中，相交于点，图中共有（　　）个平行四边形．
A．7 B．8 C．9 D．10
4．如图，，是的两条对角线，则图中的全等三角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．6对
5．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E是边的中点，点F在对角线上，且，连接．若，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
6．已知下列选项中图形均为菱形，所标数据有误的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是（ ）
A．四边形是矩形
B．四边形的内角和小于四边形的内角和
C．四边形的周长等于四边形的对角线长度之和
D．四边形的面积等于四边形的面积的
8．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点．给出下列四个条件：①；②；③；④．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点是矩形边上一点（）．且，过点作交于点，在上取点使，连结．记四边形面积为，四边形面积为，，若，则（ ）
A．10 B．12 C．20 D．24
二、填空题(每题3分.共计18分)
11．如图，A、B两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测A、B间的距离：先在外选一点C，然后步测出、的中点M、N，并步测出的长约为42米，由此可知A、B间的距离约为 米．
12．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，已知点，则点的坐标是 ．
13．如图，数学课上老师给出了以下四个条件：①两组对边分别相等；②一组对边平行且相等；③一组邻边相等；④一个角是直角．写出一个你认为能得到正方形的组合： ．（填序号）
14．如图，在等腰梯形中，，，，与交于点O，，．则此梯形的面积为 ．
15．如图，以的三边为边分别作等边，等边，等边，其中，则以下结论：①；②；③四边形的面积是的2倍．其中正确的结论是 ．
16．如图，四边形是矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，把矩形沿折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为 ．
三、解答题(每题9分.共计72分)
17．如图，在中，于点，于点．若，求的度数．
18．如图，在中，对角线与相交于点，过点作于，过点作于点．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长度．
19．如图，在中，对角线、相交于点，是等腰三角形，当满足什么条件时？四边形为正方形，并说明理由．
20．如图，已知的两条对角线相交于点，点是上一点，且．求证：四边形是菱形．
21．如图，在梯形中，，延长到点E，使，．
(1)试说明梯形是等腰梯形．
(2)连接，试判断与的数量关系，并说明理由．
22．如图，中，，，，，，求的值．
23．如图，在矩形中，连接，交于点，为线段上一点，连接，，取的中点，平分．
(1)求证：；
(2)若，，求矩形的面积．
24．已知在矩形中，，．点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是，设它们的运动时间为，解答下列问题：
(1)如图1，求证：在运动过程中，总是互相平分；
(2)如图2，若四边形是菱形，求t的值；
(3)如图3，将沿翻折，得到．运动过程中，是否存在某一时刻使四边形是菱形？若存在求出的值；若不存在说明理由．
答案与解析
一、单选题(每题3分.共计30分)
1．下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（ ）
A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形
【答案】B
【分析】本题考查特殊四边形的对角线性质，根据平行四边形、正方形、菱形、矩形的对角线特征来逐一判断选项即可．
【详解】解：A.平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等且垂直，A选项不符合题意；
B.正方形的对角线相等且互相垂直平分，B选项符合题意；
C.菱形的对角线互相垂直平分，但不一定相等，C选项不符合题意．
D.矩形的对角线相等且互相平分，但不一定垂直，D选项不符合题意．
故选：B．
2．下列说法正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形
B．有一组对边相等的四边形是等腰梯形
C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形
D．有一个角是直角的梯形是直角梯形
【答案】D
【分析】本题考查了梯形及等腰梯形、直角梯形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握其性质及判定方法．根据梯形、等腰梯形、直角梯形的判定定理，逐一分析各选项的正误即可．
【详解】解：∵梯形的定义是一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，
∴对各选项分析如下：
A. 有一组邻边相等的梯形不一定是等腰梯形，比如直角梯形中垂直的腰与底边可能相等，故A错误，与题意不符；
B. 有一组对边相等的四边形不一定是等腰梯形，平行四边形也满足一组对边相等，故B错误，与题意不符；
C. 有两个相邻内角相等的梯形不一定是等腰梯形，直角梯形中相邻的两个直角相等，但它不是等腰梯形，故C错误，与题意不符；
D. ∵梯形一组对边平行，若有一个角是直角，则与这个角相邻的同旁内角也为直角，符合直角梯形的定义，故D正确，符合题意；
故选：D．
3．如图，在平行四边形中，相交于点，图中共有（　　）个平行四边形．
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定；
首先根据已知条件找出图中的平行线段，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，来判断图中平行四边形的个数．
【详解】解：四边形是平行四边形，，
∴
∴平行四边形有：、、、、、、、；；共个．
故选：C．
4．如图，，是的两条对角线，则图中的全等三角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．6对
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定，掌握平行四边形对边相等，对角线互相平分的性质是解题的关键．
根据平行四边形对边相等、对角线互相平分的性质，依次找出图中的全等三角形．
【详解】解：在中： ， 全等三角形有：
因此，图中的全等三角形共有对，对应选项C．
故选：C．
5．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E是边的中点，点F在对角线上，且，连接．若，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【分析】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理.
由矩形性质得点为中点，从而可得为的中位线，进而求解．
【详解】解：在矩形中，，
，
，
，
即点F是边的中点，
点是边的中点，
为的中位线，
．
故选：B．
6．已知下列选项中图形均为菱形，所标数据有误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的性质即可得到结论．
【详解】解：如图，
A．菱形的四边相等，故本选项中数据正确，不符合题意；
B．∵菱形的四边相等，
∴，
∴，故本选项数据正确，不符合题意；
C．∵菱形，
∴，
∴，即，故本选项数据正确，不符合题意；
D．∵菱形，
∴，故本选项数据有误，符合题意，
故选：D．
7．如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是（ ）
A．四边形是矩形
B．四边形的内角和小于四边形的内角和
C．四边形的周长等于四边形的对角线长度之和
D．四边形的面积等于四边形的面积的
【答案】C
【分析】本题考查了中点四边形，矩形的判定，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理．根据三角形中位线定理可得四边形是平行四边形，进而逐一判断即可．
【详解】解：．如图，连接，，
在四边形中，
点，，，分别是，，，边上的中点，
，，，，
，，
四边形是平行四边形，故A选项错误；
B．四边形的内角和等于，四边形的内角和等于，故B选项错误；
C．点，，，分别是，，，边上的中点，
，，
，
同理：，
四边形的周长等于四边形的对角线长度之和，故C选项正确；
D．四边形的面积不等于四边形的面积的，故D选项错误．
故选：C．
8．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点．给出下列四个条件：①；②；③；④．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
根据平行四边形的判定方法一一判断即可．
【详解】解：①∵四边形是平行四边形，
，
又，
∴四边形是平行四边形；
故①能判定四边形是平行四边形，不符合题意；
②时，不能证明，
故②不能判定四边形是平行四边形；
③∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
在和中，
，
，
又，
，即，
又，
∴四边形是平行四边形；
故③能判定四边形是平行四边形，不符合题意；
④∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
在和中，
，
，
又，
，即，
又，
∴四边形是平行四边形；
故④能判定四边形是平行四边形，不符合题意；
综上所述，只有②不能判定四边形是平行四边形
故选：B．
9．如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到正方形性质的应用，正确认识图形是解题的关键．
根据题意，结合图形，先得到图1中，结合已知条件，得到，结合图2，得到结果．
【详解】解∶如图，设正方形的面积为，正方形的面积为，图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，
∵图1中，，，，
∴（），
∴，
∵，
∴，
∴，
同理，图2中，，
∴，
即当的对角线交点与的一个顶点重合时，重叠部分的面积是的，
故选∶．
10．如图，点是矩形边上一点（）．且，过点作交于点，在上取点使，连结．记四边形面积为，四边形面积为，，若，则（ ）
A．10 B．12 C．20 D．24
【答案】A
【分析】本题考查矩形的性质，三角形的面积，关键是由三角形的面积公式得到．
判定四边形是正方形，四边形是矩形，设，，得到，可得．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，，
四边形是正方形，四边形是矩形，
设，，则，
，，
，
，
，
．
故选：A．
二、填空题(每题3分.共计18分)
11．如图，A、B两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测A、B间的距离：先在外选一点C，然后步测出、的中点M、N，并步测出的长约为42米，由此可知A、B间的距离约为 米．
【答案】84
【分析】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握和运用三角形中位线定理是解决本题的关键．利用三角形中位线定理即可求得．
【详解】解：∵M、N是、的中点，
∴，
又米，
∴米，
即A、B间的距离约为84米，
故答案为：84．
12．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，已知点，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查矩形的性质和点的坐标，熟练掌握矩形的性质是解题关键．
先由矩形的性质得出线段的长，再结合点的坐标即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
，
，
，
∴点的坐标为，
故答案为：．
13．如图，数学课上老师给出了以下四个条件：①两组对边分别相等；②一组对边平行且相等；③一组邻边相等；④一个角是直角．写出一个你认为能得到正方形的组合： ．（填序号）
【答案】①③④或②③④
【分析】本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解决问题的关键．
根据有一个角是直角的菱形是正方形即可求解．
【详解】解：由①得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加③得一组邻边相等的平行四边形是菱形，再添加④得一个角是直角的菱形是正方形；
由②得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，同样再添加③④即可得到正方形．
故能得到正方形的组合有①③④或②③④．
故答案为：①③④或②③④．
14．如图，在等腰梯形中，，，，与交于点O，，．则此梯形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是等腰梯形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．过点C作，交的延长线于点E，证明四边形是平行四边形，可得，证明，，，结合勾股定理得，即，再进一步解答即可．
【详解】解：过点C作，交的延长线于点E，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由勾股定理得，，即，
∴此梯形的面积为；
故答案为：．
15．如图，以的三边为边分别作等边，等边，等边，其中，则以下结论：①；②；③四边形的面积是的2倍．其中正确的结论是 ．
【答案】①②
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键．连接，证明．同理可证，则；即可判断①正确；证明四边形是平行四边形．则，即可判断②；若四边形的面积是的2倍．则，证明三点共线，即，但没法证明，即可判断③．
【详解】解：连接，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴．
同理可证，，
∴，
故①正确；
连接，
∵，
∴，
又∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∴；
故②正确；
若四边形的面积是的2倍．则，
∵，
∴，
∴，
设的边上的高为，的边上的高为，
∵，
∴，
即点和点到的距离相等，
∴，
∵，
∴三点共线，即，
但没法证明，
故③错误，
故答案为：①②．
16．如图，四边形是矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，把矩形沿折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为 ．
【答案】
【分析】先证明，由勾股定理可求，由面积法可求的长，即可求解．
【详解】解：设与交于点，作于点，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
四边形是矩形，
，
，
由翻折变换的性质可知，，
，
，
在中，设，则，
由勾股定理得，
解得，即，
，
在中，，，
由得，
，
在中，由勾股定理得，
，
点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用，坐标与图形，利用面积法求出的长是本题的关键．
三、解答题(每题9分.共计72分)
17．如图，在中，于点，于点．若，求的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查四边形内角和，平行四边形的性质，掌握以上知识是关键，根据四边形的内角和得到，再根据平行四边形的性质得到，由此即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
在四边形中，，且，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
18．如图，在中，对角线与相交于点，过点作于，过点作于点．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．
（1）根据平行四边形的性质证明即可；
（2）先在中由勾股定理求解，然后由面积法求解，最后在中运用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵在中，，，
∴
∵
∴
∵
∴，
∴，
∴．
19．如图，在中，对角线、相交于点，是等腰三角形，当满足什么条件时？四边形为正方形，并说明理由．
【答案】当中时（答案不唯一），四边形为正方形，见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定、正方形的判定，根据平行四边形的性质可知，根据对角线相等的平行四边形是矩形可证四边形是矩形，根据有一组邻边相等的矩形是正方形可知，当时，四边形是正方形．
【详解】解：当中时，四边形为正方形，
理由如下：
四边形为平行四边形，
，，
是等腰三角形，
，，
四边形为矩形，
又，
矩形为正方形．
20．如图，已知的两条对角线相交于点，点是上一点，且．求证：四边形是菱形．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、三线合一，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．由平行四边形的性质得，根据等腰三角形的判定和性质得出，然后由菱形的判定即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，即，
∴平行四边形是菱形．
21．如图，在梯形中，，延长到点E，使，．
(1)试说明梯形是等腰梯形．
(2)连接，试判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
【分析】本题考查了等腰梯形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：有两腰相等的梯形是等腰梯形．
（1）根据平行线的性质求出，根据推出，证，推出即可．
（2）根据等腰梯形性质得出，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是等腰梯形．
（2）解：，
理由是：连接,
∵四边形是等腰梯形，
∴，
∵，
∴．
22．如图，中，，，，，，求的值．
【答案】7
【分析】本题考查了全等的性质和（）综合（或者），与三角形中位线有关的求解问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，延长交于，可证得，得到，可证得是的中位线，从而得出的值，进一步可得出结果．
【详解】解：如图，延长交于，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∴．
23．如图，在矩形中，连接，交于点，为线段上一点，连接，，取的中点，平分．
(1)求证：；
(2)若，，求矩形的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查了三角形中位线定理，矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由矩形性质可得，，，，再证明是的中位线，所以，，通过角平分线定义可得，所以，最后通过等角对等边即可求证；
（）由中位线定理可得，从而有，然后通过勾股定理求出，最后由面积公式即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴为斜边的中点，
∵为的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵在中，为斜边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴矩形的面积=．
24．已知在矩形中，，．点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是，设它们的运动时间为，解答下列问题：
(1)如图1，求证：在运动过程中，总是互相平分；
(2)如图2，若四边形是菱形，求t的值；
(3)如图3，将沿翻折，得到．运动过程中，是否存在某一时刻使四边形是菱形？若存在求出的值；若不存在说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)存在，
【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形、菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键．
（1）说明四边形是平行四边形即可；
（2）设，在中，利用勾股定理建立方程求解；
（3）连接交于点，当四边形是菱形时，，则，列出方程即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，总是互相平分．
（2）解：若四边形是菱形，则，
∴在中，由勾股定理，得，
∴，
解得，
∴t的值为3．
（3）解：存在．
如图，连接交于点O，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴．
∴，
解得，
∴当秒时，四边形是菱形．
.
.
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