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广东省深圳市宝安中学（集团）初中部2025-2026学年九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2026九下·宝安开学考）微信收付款具有“二维码收款”和“向商家付款”两项功能，若使用二维码收款100元记作+100元，那么向商家付款80元记作（　　）
A．+80元 B．-80元 C．+100元 D．-100元
【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：使用二维码收款100元记作+100元，那么向商家付款80元记作-80元
故答案为：B
【分析】根据正负数表示具有相反意义的量即可求出答案.
2．（2026九下·宝安开学考） 9月3日，东风-5C液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式.如图为东风-5C洲际导弹的部分图片及其示意图，下列说法正确的是（　　）
A．主视图与俯视图相同 B．主视图与左视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由图可得：
主视图与俯视图相同
故答案为：A
【分析】根据结合体的三视图即可求出答案.
3．（2026九下·宝安开学考）下列说法中，正确的是（　　）
A．“如果x、y是实数，那么x+y=y+x”是随机事件
B．为了了解人们保护水资源的意识，应当采用普查的调查方式
C．分别写有三个数字-1，-2，4的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张，则卡片上的两数之积为正数的概率为
D．若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲2=2.3，S乙2=1.8，则甲组数据较稳定
【答案】C
【知识点】等式的基本性质；全面调查与抽样调查；事件的分类；概率公式
【解析】【解答】解：A：“如果x、y是实数，那么x+y=y+x”是必然事件，错误，不符合题意；
B：为了了解人们保护水资源的意识，应当采用抽查的调查方式，错误，不符合题意；
C：分别写有三个数字-1，-2，4的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张，
则卡片上的两数之积为正数的概率为，正确，符合题意；
D： 若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲2=2.3，>S乙2=1.8，则乙组数据较稳定，错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据事件的分类，结合等式的性质可判断A；根据调查的方式可判断B，根据概率公式可判断C，根据方差的意义可判断D.
4．（2026九下·宝安开学考）如图，已知AB∥CD，若OD=6，CD=4，AB=8，则BD的长是（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴△ABO∽△CDO
∴
∴，解得：BO=12
∴BD=BO+DO=18
故答案为：D
【分析】根据相似三角形判定定理可得△ABO∽△CDO，则，代值计算可得BO，再根据边之间的关系即可求出答案.
5．（2026九下·宝安开学考）下列计算正确的是（　　）
A．a2 a3=a6 B．（-a2）3=a6
C．-a6÷a3=-a3 D．（a-b）2=a2-b2
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：a2 a3=a5，错误，不符合题意；
B：（-a2）3=-a6，错误，不符合题意；
C：-a6÷a3=-a3，正确，符合题意；
D：（a-b）2=a2-2ab+b2，错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据同底数幂的乘法，除法，幂的乘方，积的乘方，完全平方公式逐项进行判断即可求出答案.
6．（2026九下·宝安开学考）如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”.如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中EG为竖直方向的馈源（反射面），入射波AO经过三次反射后沿O'A'水平射出，且OA∥O'A'，已知入射波AO与法线的夹角∠1=25°，则∠A'O'F的度数为（　　）
A．55° B．50° C．60° D．65°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图
∵∠1=25°
∴∠AOF=2∠1=50°
∵EG⊥OA
∴∠OFN=90°-∠AOF=40°
∴∠O'FM=∠OFN=40°
∵EG⊥O'A'
∴∠A'O'F=90°-∠O'FM=50°
故答案为：B
【分析】根据折射可得∠AOF=2∠1=50°，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案.
7．（2026九下·宝安开学考）在“双碳”战略的引导下，我国新能源汽车产业蓬勃发展.经过对某款新能源电动汽车和某款燃油车的对比发现，平均每公里电动汽车的充电费比燃油车的加油费少0.64元.当充电费和加油费均为100元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的9倍，设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元
由题意可得：
故答案为：D
【分析】设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，根据平均每公里电动汽车的充电费比燃油车的加油费少0.64元.当充电费和加油费均为100元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的9倍建立方程即可求出答案.
8．（2026九下·宝安开学考）如图，菱形ABCD中，∠D=60°，点E在边CD上，BE交AC于点F，若∠BEC=45°，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点B作BH⊥DC于点H
∴∠H=90°
∵四边形ABCD是菱形
∴AD=CD=CB=AB，AD∥BC
∴∠BCH=∠D=60°
设AD=CD=CB=AB=x
∴
∵∠BEC=45°
∴
∴
∵AB∥CE
∴△CEF∽△ABF
∴
故答案为：D
【分析】过点B作BH⊥DC于点H，根据菱形性质可得AD=CD=CB=AB，AD∥BC，则∠BCH=∠D=60°，设AD=CD=CB=AB=x，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据等角对等边可得，根据边之间的关系可得CE，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9．（2026九下·宝安开学考）关于x的方程有两个不相等的实数根，则m可取的最大整数是　 　．
【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵ 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ 判别式 （其中 ，，）。
代入得 ，
解得 ，
∴ 可取的最大整数为1，
故答案为：1
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程 （），判别式 决定根的情况： 时方程有两个不相等的实数根。根据这一性质，列出关于 的不等式，求解不等式得到 的取值范围，再在该范围内找出最大的整数即可。
10．（2026九下·宝安开学考）蝴蝶颜色炫丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美.如图，蝴蝶图案关于y轴对称，点P的对应点为P'，若点P的坐标为（1，-4），则点P'的坐标为　 　 .
【答案】（-1，-4）
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点P的坐标为（1，-4），则点P'的坐标为（-1，-4）
故答案为：（-1，-4）
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求出答案.
11．（2026九下·宝安开学考）已知，则的值为　 　 .
【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵
∴b-a=3ab
∴a-b=-3ab
∴
=
=
故答案为：
【分析】去分母可得a-b=-3ab，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
12．（2026九下·宝安开学考）如图所示，在平面直角坐标系中，直线经过点C与x轴平行，且直线分别与反比例函数和的图象交于点P，Q，若△POQ的面积为8，则k=　 　.
【答案】-10
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵PQ∥x轴
∴
∴
解得：|k|=10
∵k<0
∴k=-10
故答案为：-10
【分析】由题意可得，结合反比例函数k的结合意义建立方程，解方程即可求出答案.
13．（2026九下·宝安开学考）如图，四边形ABCD内接于圆O，AC为圆O直径，BD、AC交于点E，点B是的中点，DG切圆O于D，交CA延长线于G.若AB=4，点O到DC的距离为1，则AC= 　 　 ，AG= 　 　 .
【答案】；
【知识点】勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵B是的中点
∴
∴AB=BC=4，∠ADB=∠CDB
∵AC为圆O直径
∴∠ABC=90°
∴∠BAC=∠ACB=45°
∴
∴
过点O作OH⊥CD与点H，连接OD
则
在Rt△OCH中，
∴
∵AC为圆O直径
∴∠ADC=90°
∴AD=2OH=2
∵DG切圆O与点D
∴∠ODG=∠ODA+∠ADG=90°
∵∠ADC=∠ODA+∠ODC=90°
∴∠ADG=∠ODC
∵OD=OC
∴∠ODG=∠OCD
∴∠ADG=∠OCD
∴△GAD∽△GDC
∴
设AG=x，则GD=
在Rt△ODG中，OD2+DG2=OG2
∴
解得：或x=0(舍去)
故答案为：；
【分析】根据等弧所对的圆周角相等可得AB=BC=4，∠ADB=∠CDB，再根据圆周角定理的推论可得∠ABC=90°，根据等腰直角三角形性质可得，，过点O作OH⊥CD与点H，连接OD，则，根据勾股定理可得CH，根据中位线定理可得AD，再根据切线性质可得∠ODG=∠ODA+∠ADG=90°，根据角之间的关系可得∠ADG=∠ODC，根据等边对等角可得∠ODG=∠OCD，则∠ADG=∠OCD，根据相似三角形判定定理可得△GAD∽△GDC，则，设AG=x，则GD= ，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
14．（2026九下·宝安开学考）解一元一次不等式组，并在数轴上表示.
解：由不等式①得： ▲ ，
由不等式②得： ▲ ，
在数轴上表示为：
所以，原不等式组的解集为 ▲ .
【答案】解：由不等式①得：x≥-1，
由不等式②得：x＜4，
在数轴上表示为：
所以，原不等式组的解集为-1≤x＜4.
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解两个不等式，再将解集在数轴上表示出来，再求出不等式组的解集即可.
四、解答题：本题共6小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（2026九下·宝安开学考）计算：.
【答案】解：原式=
=13-．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】根据负整数指数幂，有理数的乘方，0指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值性质化简，再计算加减即可求出答案.
16．（2026九下·宝安开学考）为了筹备校园科技节，某校学生会对学生感兴趣的科技主题进行了抽样调查，并根据结果安排讲座.
【收集数据】随机抽取部分学生进行问卷调查，问卷内容包括5个主题，A：量子计算；B：AI绘画；C：火星探测；D：脑机接口；E：虚拟社交.
【整理数据】所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图.
【分析数据】请根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）本次调查所抽取的学生 ▲ 人，并直接补全条形统计图；
（2）扇形统计图中主题“E”对应扇形的圆心角的度数为　 　 °；
（3）学校有800名学生参加本次活动，估计选择聆听B，D讲座的学生各有多少名？
（4）【做出决策】在（3）的条件下，确保听取讲座的每名学生都有座位，请你合理安排A，B，D三场报告，补全此次活动日程表.
“校园科技节”主题日活动日程表
地点（座位数）时间 1号汇报厅（250座） 2号多功能厅（150座）
8：00-9：30 　 　 E
10：00-11：30 C 　 　
13：00-14：30 　 　 设备检修暂停使用
【答案】（1）解：50
补全图形如下：
（2）50.4
（3）解：B讲座的人数有：人
D讲座的人数有：人
（4）D；A；D
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：总人数为5÷10%=50人
D主题人数为：50-5-10-15-7=13人数
故答案为：50
（2）扇形统计图中主题“E”对应扇形的圆心角的度数为
故答案为：50.4
【分析】（1）根据A主题的人数与占比求出总人数，再求出D主题的人数，再补全图形即可.
（2）根据360°乘以E主题的占比即可求出答案.
（3）根据800乘以对应占比即可求出答案.
（4）根据题意进行分配即可求出答案.
17．（2026九下·宝安开学考） 2024年巴黎奥运会的官方吉祥物“弗里热”是法国传统的弗里吉亚帽的拟人化形象，颜色有红、蓝、白，与法国国旗颜色吻合.奥林匹克官方旗舰店上架了以“弗里热”为图案的各种商品均深受人们的喜爱.尤其是在全国第40个教师节来临之际，“弗里热”的玩偶和“弗里热”的钢笔作为教师节礼品销量更好，8月售出了玩偶200个和钢笔100支，销售总额为32000元.9月售出了玩偶300个和钢笔200支，销售总额为52000元.
（1）求“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的销售单价；
（2）已知“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的成本分别为90元/个和60元/支.进入2024年十月后，这两款商品持续热销，于是旗舰店再购进了这两款商品共600个，其中玩偶的数量不少于200个.为回馈新老客户，旗舰店决定对玩偶降价10%后再销售，若十月份购进的这两款商品全部售出，则玩偶购进多少个时该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润.
【答案】（1）解：设“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的销售单价分别为x，y元
由题意可得：
解得：
∴“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的销售单价分别为120，80元.
（2）解：设购进玩偶a个，则购进钢笔(600-a)只，设十月份的利润为w
由题意可得：w=(120-120×10%-90)a+(80-60)(600-a)=-2a+12000
∵-2<0
∴当a取最小值时，w取最大值
∵a≥200
∴a=200时，w的最大值为12000-400=11600元
∴“弗里热”玩偶购进200个时该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为11600元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的销售单价分别为x，y元，根据8月售出了玩偶200个和钢笔100支，销售总额为32000元.9月售出了玩偶300个和钢笔200支，销售总额为52000元建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设购进玩偶a个，则购进钢笔(600-a)只，设十月份的利润为w，根据总利润=单件利润×总销售量建立函数关系式，结合一次函数性质即可求出答案.
18．（2026九下·宝安开学考）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，过A作AF⊥AC，交⊙O于点F，连接DF，过B作BG⊥DF交DF的延长线于点G.
（1）求证：BG是⊙O的切线；
（2）若∠DFA=30°，FG=3，求DF的长.
【答案】（1）证明：∵C，A，D，F在⊙O上，AF⊥AC，
∴∠D=∠CAF=90°，
∵AB⊥CD，BG⊥DF，
∴∠BED=∠G=90°，
∴四边形BEDG是矩形，
∴∠ABG=90°，
∴OB⊥BG，
∵OB是⊙O的半径，
∴BG是⊙O的切线
（2）解：如图，∠CAF=90°，连接CF，则CF是⊙O的直径
∴OC=OF
∵CD⊥AB于点E
∴CE=DE
∴OE是△CDF的中位线
∴
∵∠AFD=30°
∴∠ACD=∠AFD=30°
∴∠CAE=90°-∠ACE=60°
∵OA=OC
∴△AOC是等边三角形
∵CE⊥AB
∴E为AO的中点
∴OA=2OE=OB
∴BE=OB+OE=3OE
∵四边形BEDG是矩形
∴
∴
∵FG=3
∴DF=6
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；垂径定理；切线的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据矩形判定定理可得四边形BEDG是矩形，则∠ABG=90°，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）连接CF，则CF是⊙O的直径，即OC=OF，根据垂径定理可得CE=DE，再根据三角形中位线定理可得，根据同弧所对的圆周角相等可得∠ACD=∠AFD=30°，根据角之间的关系可得∠CAE，再根据等边三角形判定定理可得△AOC是等边三角形，则OA=2OE=OB，再根据边之间的关系即可求出答案.
19．（2026九下·宝安开学考）定义：把抛物线y=ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y=bx2+ax+c称为“孪生抛物线”，例如，抛物线y=4x2+3x+5的“孪生抛物线”为y=3x2+4x+5.已知抛物线的“孪生抛物线”为C2，C1与y轴交于点E.
（1）直接写出抛物线C2的表达式　 　；
（2）若点E的坐标为（0，-1），求抛物线C1的解析式；
（3）记C2在a-4≤x≤a-2时的最大值为M，最小值为m，且M-m=2a，请你求出a的值.
【答案】（1）y=ax2+4ax+4a-3
（2）解：当x=0时，y=4a-3
∴E(0，4a-3)
∵E的坐标为（0，-1）
∴4a-3=-1
解得：
∴y=x2+2x-1
（3）解： 当x=a-2时，y=a3-3，当x=a-4时，y=a(a-2)2-3
当a-4≥-2时，即a≥2
∴M=a(a-2)2-3，m=a3-3
∴a(a-2)2-3-a3+3=2a
解得：a=2或a=3
当a-2≤-2时，即a≤0
∴M=a3-3，m=a(a-2)2-3
∴a3-3-a(a-2)2+3=2a
解得：(舍去)
当a-4<-2∴M=a(a-2)2-3，m=-3
∴a(a-2)2-3+3=2a
解得：(舍去)或a=2-
综上所述，a=2或3或2-
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）∵抛物线的“孪生抛物线”为C2，
∴抛物线C2的表达式为y=ax2+4ax+4a-3
故答案为：y=ax2+4ax+4a-3
【分析】（1）根据孪生抛物线的定义即可求出答案.
（2）根据y轴上点的坐标特征可得E(0，4a-3)，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）分情况讨论：当a-4≥-2时，当a-2≤-2时，当a-4<-220．（2026九下·宝安开学考）【了解概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.
（1）【性质初探】
如图1，在对余四边形ABCD中，连接AC，∠D=30°，∠ACD=105°，AB=AC，求∠BAD的度数；
（2）【图形判定】
如图2，在凸四边形ABCD中，DA=DB，DA⊥DB，E为四边形ABCD外一点，DE⊥CD且DE=CD，当2CD2+CB2=CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形？并证明你的结论；
（3）【类比迁移】
如图3，在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠A=30°，存在点C使得四边形ABCD为对余四边形，∠C的两邻边长度之比为3：4且两邻边中较长边的长度为，请你求出此时AC的长.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是对余四边形，由题意可得，∠B+∠D=90°
∵∠D=30°
∴∠B=90°-∠D=60°
∵AB=AC
∴△ABC是等边三角形
∴∠ACB=60°
∵∠ACD=105°
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=165°
在四边形ABCD中，∠BAD=360°-∠B-∠ACD-∠D=105°
（2）解：四边形ABCD是对余四边形，证明如下：
如图2，连接AC、BE，
∵DA⊥DB，DE⊥CD，
∴∠ADB=∠CDE=90°，
∴∠ADB+∠BDC=∠CDE+∠BDC，即∠ADC=∠BDE，
∵DA=DB，DE=CD，
∴△ADC≌△BDE（SAS），
∴AC=BE，
∵DA=DB，DA⊥DB，
∴∠DAB=∠DBA=，
∵DE⊥CD，DE=CD，
∴∠DCE=∠DEC=，CE2=CD2+ED2=2CD2，
∵2CD2+CB2=CA2，
∴CE2+CB2=BE2，
∴△BCE为直角三角形，且∠BCE=90°，
∴∠DCB=∠BCE-∠DCE=45°，
∴∠DCB+∠A=45°+45°=90°，
∴四边形ABCD是对余四边形
（3）解：①当BC边为较长边时，过点D作DN⊥CD交CB的延长线于点N，连接AN
则
∵∠ADB=90°，∠DAB=30°，四边形ABCD为对余四边形
∴∠BCD=90°-∠DAB=60°
∴∠DNC=90°-∠DCB=30°=∠DAB
∵∠ADB=∠NDC=90°
∴△ADB∽△NDC
∴
∵∠ADB-∠NDB=∠NDC-∠NDB，即∠ADN=∠BDC
∴△ADN∽△BDC
∴，∠AND=∠BCD=60°
∴∠ANC=∠AND+∠DNC=90°
∴
∴
∴
在Rt△NDC中，∠DNC=30°，
∴
∴
②当CD为较长边时，过点D作DM⊥CD交CB的延长线于点N，连接AM
同①可得∠AMC=90°，
∴
综上所述，AC=或
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理的逆定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由题意可得，∠B+∠D=90°，则∠B=60°，根据等边三角形判定定理可得△ABC是等边三角形，则∠ACB=60°，根据角之间的关系可得∠BCD，再根据四边形内角和定理即可求出答案.
（2）连接AC、BE，根据角之间的关系可得∠ADC=∠BDE，根据全等三角形判定定理可得△ADC≌△BDE（SAS），则AC=BE，根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠DAB，∠DCE，根据勾股定理的逆定理可得△BCE为直角三角形，且∠BCE=90°，根据角之间的关系可得∠DCB，再根据对余四边形判定定理即可求出答案.
（3）分情况讨论：①当BC边为较长边时，过点D作DN⊥CD交CB的延长线于点N，连接AN，则，根据对余四边形定义可得∠BCD，根据角之间的关系可得∠DNC=∠DAB，根据相似三角形判定定理可得△ADB∽△NDC，则，根据角之间的关系可得∠ADN=∠BDC，根据相似三角形判定定理可得△ADN∽△BDC，则，∠AND=∠BCD=60°，根据正切定义可得，根据含30°角的直角三角形性质可得CN，再根据勾股定理即可求出答案；②当CD为较长边时，过点D作DM⊥CD交CB的延长线于点N，连接AM，同①可得∠AMC=90°，，再根据勾股定理即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市宝安中学（集团）初中部2025-2026学年九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2026九下·宝安开学考）微信收付款具有“二维码收款”和“向商家付款”两项功能，若使用二维码收款100元记作+100元，那么向商家付款80元记作（　　）
A．+80元 B．-80元 C．+100元 D．-100元
2．（2026九下·宝安开学考） 9月3日，东风-5C液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式.如图为东风-5C洲际导弹的部分图片及其示意图，下列说法正确的是（　　）
A．主视图与俯视图相同 B．主视图与左视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同
3．（2026九下·宝安开学考）下列说法中，正确的是（　　）
A．“如果x、y是实数，那么x+y=y+x”是随机事件
B．为了了解人们保护水资源的意识，应当采用普查的调查方式
C．分别写有三个数字-1，-2，4的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张，则卡片上的两数之积为正数的概率为
D．若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲2=2.3，S乙2=1.8，则甲组数据较稳定
4．（2026九下·宝安开学考）如图，已知AB∥CD，若OD=6，CD=4，AB=8，则BD的长是（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
5．（2026九下·宝安开学考）下列计算正确的是（　　）
A．a2 a3=a6 B．（-a2）3=a6
C．-a6÷a3=-a3 D．（a-b）2=a2-b2
6．（2026九下·宝安开学考）如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”.如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中EG为竖直方向的馈源（反射面），入射波AO经过三次反射后沿O'A'水平射出，且OA∥O'A'，已知入射波AO与法线的夹角∠1=25°，则∠A'O'F的度数为（　　）
A．55° B．50° C．60° D．65°
7．（2026九下·宝安开学考）在“双碳”战略的引导下，我国新能源汽车产业蓬勃发展.经过对某款新能源电动汽车和某款燃油车的对比发现，平均每公里电动汽车的充电费比燃油车的加油费少0.64元.当充电费和加油费均为100元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的9倍，设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2026九下·宝安开学考）如图，菱形ABCD中，∠D=60°，点E在边CD上，BE交AC于点F，若∠BEC=45°，则的值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9．（2026九下·宝安开学考）关于x的方程有两个不相等的实数根，则m可取的最大整数是　 　．
10．（2026九下·宝安开学考）蝴蝶颜色炫丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美.如图，蝴蝶图案关于y轴对称，点P的对应点为P'，若点P的坐标为（1，-4），则点P'的坐标为　 　 .
11．（2026九下·宝安开学考）已知，则的值为　 　 .
12．（2026九下·宝安开学考）如图所示，在平面直角坐标系中，直线经过点C与x轴平行，且直线分别与反比例函数和的图象交于点P，Q，若△POQ的面积为8，则k=　 　.
13．（2026九下·宝安开学考）如图，四边形ABCD内接于圆O，AC为圆O直径，BD、AC交于点E，点B是的中点，DG切圆O于D，交CA延长线于G.若AB=4，点O到DC的距离为1，则AC= 　 　 ，AG= 　 　 .
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
14．（2026九下·宝安开学考）解一元一次不等式组，并在数轴上表示.
解：由不等式①得： ▲ ，
由不等式②得： ▲ ，
在数轴上表示为：
所以，原不等式组的解集为 ▲ .
四、解答题：本题共6小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（2026九下·宝安开学考）计算：.
16．（2026九下·宝安开学考）为了筹备校园科技节，某校学生会对学生感兴趣的科技主题进行了抽样调查，并根据结果安排讲座.
【收集数据】随机抽取部分学生进行问卷调查，问卷内容包括5个主题，A：量子计算；B：AI绘画；C：火星探测；D：脑机接口；E：虚拟社交.
【整理数据】所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图.
【分析数据】请根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）本次调查所抽取的学生 ▲ 人，并直接补全条形统计图；
（2）扇形统计图中主题“E”对应扇形的圆心角的度数为　 　 °；
（3）学校有800名学生参加本次活动，估计选择聆听B，D讲座的学生各有多少名？
（4）【做出决策】在（3）的条件下，确保听取讲座的每名学生都有座位，请你合理安排A，B，D三场报告，补全此次活动日程表.
“校园科技节”主题日活动日程表
地点（座位数）时间 1号汇报厅（250座） 2号多功能厅（150座）
8：00-9：30 　 　 E
10：00-11：30 C 　 　
13：00-14：30 　 　 设备检修暂停使用
17．（2026九下·宝安开学考） 2024年巴黎奥运会的官方吉祥物“弗里热”是法国传统的弗里吉亚帽的拟人化形象，颜色有红、蓝、白，与法国国旗颜色吻合.奥林匹克官方旗舰店上架了以“弗里热”为图案的各种商品均深受人们的喜爱.尤其是在全国第40个教师节来临之际，“弗里热”的玩偶和“弗里热”的钢笔作为教师节礼品销量更好，8月售出了玩偶200个和钢笔100支，销售总额为32000元.9月售出了玩偶300个和钢笔200支，销售总额为52000元.
（1）求“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的销售单价；
（2）已知“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的成本分别为90元/个和60元/支.进入2024年十月后，这两款商品持续热销，于是旗舰店再购进了这两款商品共600个，其中玩偶的数量不少于200个.为回馈新老客户，旗舰店决定对玩偶降价10%后再销售，若十月份购进的这两款商品全部售出，则玩偶购进多少个时该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润.
18．（2026九下·宝安开学考）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，过A作AF⊥AC，交⊙O于点F，连接DF，过B作BG⊥DF交DF的延长线于点G.
（1）求证：BG是⊙O的切线；
（2）若∠DFA=30°，FG=3，求DF的长.
19．（2026九下·宝安开学考）定义：把抛物线y=ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y=bx2+ax+c称为“孪生抛物线”，例如，抛物线y=4x2+3x+5的“孪生抛物线”为y=3x2+4x+5.已知抛物线的“孪生抛物线”为C2，C1与y轴交于点E.
（1）直接写出抛物线C2的表达式　 　；
（2）若点E的坐标为（0，-1），求抛物线C1的解析式；
（3）记C2在a-4≤x≤a-2时的最大值为M，最小值为m，且M-m=2a，请你求出a的值.
20．（2026九下·宝安开学考）【了解概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.
（1）【性质初探】
如图1，在对余四边形ABCD中，连接AC，∠D=30°，∠ACD=105°，AB=AC，求∠BAD的度数；
（2）【图形判定】
如图2，在凸四边形ABCD中，DA=DB，DA⊥DB，E为四边形ABCD外一点，DE⊥CD且DE=CD，当2CD2+CB2=CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形？并证明你的结论；
（3）【类比迁移】
如图3，在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠A=30°，存在点C使得四边形ABCD为对余四边形，∠C的两邻边长度之比为3：4且两邻边中较长边的长度为，请你求出此时AC的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：使用二维码收款100元记作+100元，那么向商家付款80元记作-80元
故答案为：B
【分析】根据正负数表示具有相反意义的量即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由图可得：
主视图与俯视图相同
故答案为：A
【分析】根据结合体的三视图即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】等式的基本性质；全面调查与抽样调查；事件的分类；概率公式
【解析】【解答】解：A：“如果x、y是实数，那么x+y=y+x”是必然事件，错误，不符合题意；
B：为了了解人们保护水资源的意识，应当采用抽查的调查方式，错误，不符合题意；
C：分别写有三个数字-1，-2，4的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张，
则卡片上的两数之积为正数的概率为，正确，符合题意；
D： 若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲2=2.3，>S乙2=1.8，则乙组数据较稳定，错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据事件的分类，结合等式的性质可判断A；根据调查的方式可判断B，根据概率公式可判断C，根据方差的意义可判断D.
4．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴△ABO∽△CDO
∴
∴，解得：BO=12
∴BD=BO+DO=18
故答案为：D
【分析】根据相似三角形判定定理可得△ABO∽△CDO，则，代值计算可得BO，再根据边之间的关系即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：a2 a3=a5，错误，不符合题意；
B：（-a2）3=-a6，错误，不符合题意；
C：-a6÷a3=-a3，正确，符合题意；
D：（a-b）2=a2-2ab+b2，错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据同底数幂的乘法，除法，幂的乘方，积的乘方，完全平方公式逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图
∵∠1=25°
∴∠AOF=2∠1=50°
∵EG⊥OA
∴∠OFN=90°-∠AOF=40°
∴∠O'FM=∠OFN=40°
∵EG⊥O'A'
∴∠A'O'F=90°-∠O'FM=50°
故答案为：B
【分析】根据折射可得∠AOF=2∠1=50°，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元
由题意可得：
故答案为：D
【分析】设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，根据平均每公里电动汽车的充电费比燃油车的加油费少0.64元.当充电费和加油费均为100元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的9倍建立方程即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点B作BH⊥DC于点H
∴∠H=90°
∵四边形ABCD是菱形
∴AD=CD=CB=AB，AD∥BC
∴∠BCH=∠D=60°
设AD=CD=CB=AB=x
∴
∵∠BEC=45°
∴
∴
∵AB∥CE
∴△CEF∽△ABF
∴
故答案为：D
【分析】过点B作BH⊥DC于点H，根据菱形性质可得AD=CD=CB=AB，AD∥BC，则∠BCH=∠D=60°，设AD=CD=CB=AB=x，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据等角对等边可得，根据边之间的关系可得CE，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
9．【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵ 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ 判别式 （其中 ，，）。
代入得 ，
解得 ，
∴ 可取的最大整数为1，
故答案为：1
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程 （），判别式 决定根的情况： 时方程有两个不相等的实数根。根据这一性质，列出关于 的不等式，求解不等式得到 的取值范围，再在该范围内找出最大的整数即可。
10．【答案】（-1，-4）
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点P的坐标为（1，-4），则点P'的坐标为（-1，-4）
故答案为：（-1，-4）
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵
∴b-a=3ab
∴a-b=-3ab
∴
=
=
故答案为：
【分析】去分母可得a-b=-3ab，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
12．【答案】-10
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵PQ∥x轴
∴
∴
解得：|k|=10
∵k<0
∴k=-10
故答案为：-10
【分析】由题意可得，结合反比例函数k的结合意义建立方程，解方程即可求出答案.
13．【答案】；
【知识点】勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵B是的中点
∴
∴AB=BC=4，∠ADB=∠CDB
∵AC为圆O直径
∴∠ABC=90°
∴∠BAC=∠ACB=45°
∴
∴
过点O作OH⊥CD与点H，连接OD
则
在Rt△OCH中，
∴
∵AC为圆O直径
∴∠ADC=90°
∴AD=2OH=2
∵DG切圆O与点D
∴∠ODG=∠ODA+∠ADG=90°
∵∠ADC=∠ODA+∠ODC=90°
∴∠ADG=∠ODC
∵OD=OC
∴∠ODG=∠OCD
∴∠ADG=∠OCD
∴△GAD∽△GDC
∴
设AG=x，则GD=
在Rt△ODG中，OD2+DG2=OG2
∴
解得：或x=0(舍去)
故答案为：；
【分析】根据等弧所对的圆周角相等可得AB=BC=4，∠ADB=∠CDB，再根据圆周角定理的推论可得∠ABC=90°，根据等腰直角三角形性质可得，，过点O作OH⊥CD与点H，连接OD，则，根据勾股定理可得CH，根据中位线定理可得AD，再根据切线性质可得∠ODG=∠ODA+∠ADG=90°，根据角之间的关系可得∠ADG=∠ODC，根据等边对等角可得∠ODG=∠OCD，则∠ADG=∠OCD，根据相似三角形判定定理可得△GAD∽△GDC，则，设AG=x，则GD= ，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
14．【答案】解：由不等式①得：x≥-1，
由不等式②得：x＜4，
在数轴上表示为：
所以，原不等式组的解集为-1≤x＜4.
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解两个不等式，再将解集在数轴上表示出来，再求出不等式组的解集即可.
15．【答案】解：原式=
=13-．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】根据负整数指数幂，有理数的乘方，0指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值性质化简，再计算加减即可求出答案.
16．【答案】（1）解：50
补全图形如下：
（2）50.4
（3）解：B讲座的人数有：人
D讲座的人数有：人
（4）D；A；D
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：总人数为5÷10%=50人
D主题人数为：50-5-10-15-7=13人数
故答案为：50
（2）扇形统计图中主题“E”对应扇形的圆心角的度数为
故答案为：50.4
【分析】（1）根据A主题的人数与占比求出总人数，再求出D主题的人数，再补全图形即可.
（2）根据360°乘以E主题的占比即可求出答案.
（3）根据800乘以对应占比即可求出答案.
（4）根据题意进行分配即可求出答案.
17．【答案】（1）解：设“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的销售单价分别为x，y元
由题意可得：
解得：
∴“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的销售单价分别为120，80元.
（2）解：设购进玩偶a个，则购进钢笔(600-a)只，设十月份的利润为w
由题意可得：w=(120-120×10%-90)a+(80-60)(600-a)=-2a+12000
∵-2<0
∴当a取最小值时，w取最大值
∵a≥200
∴a=200时，w的最大值为12000-400=11600元
∴“弗里热”玩偶购进200个时该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为11600元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的销售单价分别为x，y元，根据8月售出了玩偶200个和钢笔100支，销售总额为32000元.9月售出了玩偶300个和钢笔200支，销售总额为52000元建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设购进玩偶a个，则购进钢笔(600-a)只，设十月份的利润为w，根据总利润=单件利润×总销售量建立函数关系式，结合一次函数性质即可求出答案.
18．【答案】（1）证明：∵C，A，D，F在⊙O上，AF⊥AC，
∴∠D=∠CAF=90°，
∵AB⊥CD，BG⊥DF，
∴∠BED=∠G=90°，
∴四边形BEDG是矩形，
∴∠ABG=90°，
∴OB⊥BG，
∵OB是⊙O的半径，
∴BG是⊙O的切线
（2）解：如图，∠CAF=90°，连接CF，则CF是⊙O的直径
∴OC=OF
∵CD⊥AB于点E
∴CE=DE
∴OE是△CDF的中位线
∴
∵∠AFD=30°
∴∠ACD=∠AFD=30°
∴∠CAE=90°-∠ACE=60°
∵OA=OC
∴△AOC是等边三角形
∵CE⊥AB
∴E为AO的中点
∴OA=2OE=OB
∴BE=OB+OE=3OE
∵四边形BEDG是矩形
∴
∴
∵FG=3
∴DF=6
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；垂径定理；切线的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据矩形判定定理可得四边形BEDG是矩形，则∠ABG=90°，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）连接CF，则CF是⊙O的直径，即OC=OF，根据垂径定理可得CE=DE，再根据三角形中位线定理可得，根据同弧所对的圆周角相等可得∠ACD=∠AFD=30°，根据角之间的关系可得∠CAE，再根据等边三角形判定定理可得△AOC是等边三角形，则OA=2OE=OB，再根据边之间的关系即可求出答案.
19．【答案】（1）y=ax2+4ax+4a-3
（2）解：当x=0时，y=4a-3
∴E(0，4a-3)
∵E的坐标为（0，-1）
∴4a-3=-1
解得：
∴y=x2+2x-1
（3）解： 当x=a-2时，y=a3-3，当x=a-4时，y=a(a-2)2-3
当a-4≥-2时，即a≥2
∴M=a(a-2)2-3，m=a3-3
∴a(a-2)2-3-a3+3=2a
解得：a=2或a=3
当a-2≤-2时，即a≤0
∴M=a3-3，m=a(a-2)2-3
∴a3-3-a(a-2)2+3=2a
解得：(舍去)
当a-4<-2∴M=a(a-2)2-3，m=-3
∴a(a-2)2-3+3=2a
解得：(舍去)或a=2-
综上所述，a=2或3或2-
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）∵抛物线的“孪生抛物线”为C2，
∴抛物线C2的表达式为y=ax2+4ax+4a-3
故答案为：y=ax2+4ax+4a-3
【分析】（1）根据孪生抛物线的定义即可求出答案.
（2）根据y轴上点的坐标特征可得E(0，4a-3)，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）分情况讨论：当a-4≥-2时，当a-2≤-2时，当a-4<-220．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是对余四边形，由题意可得，∠B+∠D=90°
∵∠D=30°
∴∠B=90°-∠D=60°
∵AB=AC
∴△ABC是等边三角形
∴∠ACB=60°
∵∠ACD=105°
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=165°
在四边形ABCD中，∠BAD=360°-∠B-∠ACD-∠D=105°
（2）解：四边形ABCD是对余四边形，证明如下：
如图2，连接AC、BE，
∵DA⊥DB，DE⊥CD，
∴∠ADB=∠CDE=90°，
∴∠ADB+∠BDC=∠CDE+∠BDC，即∠ADC=∠BDE，
∵DA=DB，DE=CD，
∴△ADC≌△BDE（SAS），
∴AC=BE，
∵DA=DB，DA⊥DB，
∴∠DAB=∠DBA=，
∵DE⊥CD，DE=CD，
∴∠DCE=∠DEC=，CE2=CD2+ED2=2CD2，
∵2CD2+CB2=CA2，
∴CE2+CB2=BE2，
∴△BCE为直角三角形，且∠BCE=90°，
∴∠DCB=∠BCE-∠DCE=45°，
∴∠DCB+∠A=45°+45°=90°，
∴四边形ABCD是对余四边形
（3）解：①当BC边为较长边时，过点D作DN⊥CD交CB的延长线于点N，连接AN
则
∵∠ADB=90°，∠DAB=30°，四边形ABCD为对余四边形
∴∠BCD=90°-∠DAB=60°
∴∠DNC=90°-∠DCB=30°=∠DAB
∵∠ADB=∠NDC=90°
∴△ADB∽△NDC
∴
∵∠ADB-∠NDB=∠NDC-∠NDB，即∠ADN=∠BDC
∴△ADN∽△BDC
∴，∠AND=∠BCD=60°
∴∠ANC=∠AND+∠DNC=90°
∴
∴
∴
在Rt△NDC中，∠DNC=30°，
∴
∴
②当CD为较长边时，过点D作DM⊥CD交CB的延长线于点N，连接AM
同①可得∠AMC=90°，
∴
综上所述，AC=或
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理的逆定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由题意可得，∠B+∠D=90°，则∠B=60°，根据等边三角形判定定理可得△ABC是等边三角形，则∠ACB=60°，根据角之间的关系可得∠BCD，再根据四边形内角和定理即可求出答案.
（2）连接AC、BE，根据角之间的关系可得∠ADC=∠BDE，根据全等三角形判定定理可得△ADC≌△BDE（SAS），则AC=BE，根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠DAB，∠DCE，根据勾股定理的逆定理可得△BCE为直角三角形，且∠BCE=90°，根据角之间的关系可得∠DCB，再根据对余四边形判定定理即可求出答案.
（3）分情况讨论：①当BC边为较长边时，过点D作DN⊥CD交CB的延长线于点N，连接AN，则，根据对余四边形定义可得∠BCD，根据角之间的关系可得∠DNC=∠DAB，根据相似三角形判定定理可得△ADB∽△NDC，则，根据角之间的关系可得∠ADN=∠BDC，根据相似三角形判定定理可得△ADN∽△BDC，则，∠AND=∠BCD=60°，根据正切定义可得，根据含30°角的直角三角形性质可得CN，再根据勾股定理即可求出答案；②当CD为较长边时，过点D作DM⊥CD交CB的延长线于点N，连接AM，同①可得∠AMC=90°，，再根据勾股定理即可求出答案.
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