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2026 年 03 月 16 日高二数学限时训练 6.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理
考试范围:6.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理; 考试时间:20 分钟；
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑; 如需改动, 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3. 考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷 (选择题)
一、单选题:本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
用5种不同颜色给下图所示的五个圆环涂色，要求相交的两个圆环不能涂相同的颜色，共有( )种不同的涂色方案.
A. 1140 B. 1520
C. 1400 D. 1280
如图，在由开关组 与 组成的电路中，闭合开关使灯发光的方法有( )种
A. 6 B. 5
C. 18 D. 21
3. 如图,在某城市中 两地之间有整齐的方格形道路网, 是道路网中的
一个交汇处，小明要从道路网的 处出发，途经 处到达 处，则小明可以选择的最短路径条数为( )
A. 6 B. 9
C. 12 D. 18
4. 由1,2,3,4可以组成无重复数字三位数的个数为( )
A. 4 B. 24 C. 64 D. 81
5.3 个班分别从 4 个景点中选择一处游览，不同选法的种数为( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共 2 小题, 共 12 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
6. 下列结论正确的是( )
A. 在分类加法计数原理中, 两类不同方案中的方法可以相同
B. 在分类加法计数原理中, 每类方案中的方法都能直接完成这件事
C. 在分步乘法计数原理中, 每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的
D. 在分步乘法计数原理中, 事情是分步完成的, 其中任何一个单独的步骤都能完成这件事
7. 下列说法中正确的有( )
A. 分类能 “一步到位”, 分步只能 “局部到位”
B. 由数字1，2，3组成的无重复数字的整数中，偶数有12个
C. 分类时，各类之间是互相独立且排斥的，分步时各步之间是互相依存，互相联系的
D. 在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后, 这件事情才算完成
第 II 卷(非选择题)
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
8. 现有甲、乙两类零件共8件，其中甲类6件，乙类2件，若从这8件零件中选取3件，则甲、乙两类均被选到的方法共有_____种(用数字填写答案)
9. 如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色, 相邻的区域不能涂相同的颜色, 则不同的涂色方法有_____种(用数字作答)
10. 甲、乙、丙三位同学去电影院看电影，每人可在《志愿军:存亡之战》、《出人平安》、《爆款好人》 、《危机航线》四部电影中任选一部，则不同的选法有_____种
答案
1.【答案】
解: 从左到右依次涂色(也可以任选一个环作为开始), 第一个圆环有 5 种选择,
第二个圆环以及后面每个圆环均有 4 种选择,所以总数为: ; 故选: .
2.【答案】D
解: 分两类, 每类中分两步:
第一类:第1步:A组开关闭合一个，有2种闭法，
第2步:B组开关闭合1个，有3种闭法；B组开关闭合2个，有3种闭法；B组开关闭合3个，有1种闭法，此时共 种闭法.
第二类:第1步:A组开关闭合2个，共1种闭法，
第2步:B组开关闭合1个，有3种闭法; B组开关闭合2个，有3种闭法; B组开关闭合3个，有1种闭法.
此时共 种闭法.
综上,共 种闭法. 故选 D.
3.【答案】B
解: 从 到 的最短路径为前进 3 格,共有 3 种路径条数,
从 到 的最短路径为前进 3 格,共有 3 种路径条数,
所以小明可以选择的最短路径条数为 种. 故选 B.
4.【答案】B
解: 先从 4 个数中选 1 个排在百位, 有 4 种:
然后从剩下的 3 个数中选 1 个排在十位, 有 3 种:
最后从剩下的 2 个数中选 1 个排在个位,有 2 种:
根据分步乘法计数原理可得组成无重复数字的三位数的个数为 . 故选: .
5.【答案】C
解: : 共3个班, 每班从 4 个风景点中选择一处游览, : 每班都有 4 种选择,
不同的选法共有 种. 故答案为C.
6.【答案】
解: : 根据分类加法计数原理的定义,两类不同方案中的方法不可以相同,且每类方案中的方法都能直接完成这件事, 故 A 错误, B 正确;
C、D: 根据分步乘法计数原理的定义，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的，且只有按顺序依次完成各步骤才能完成这件事, 故 C 正确, D 错误. 故选 BC.
7.【答案】
解: 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别在于分类加法计数原理中每一类中的每一种方法都能独立完成任务, 各类方法之间相互排斥,
分步乘法计数原理中各步之间相互独立, 但是完成整个任务必须各步之间相互配合才能完成,
故选项 A、D 正确, 选项 C 错误.
对于选项 B，分三类讨论，
第一类，组成一位整数，偶数有1个，即2；
第二类，组成两位整数，其中偶数有2个，即12，32；
第三类，组成三位整数，其中偶数有2个，即132，312.
由分类加法计数原理知共有偶数5 个, 故 B 错误. 故选 AD.
8.【答案】36
解: 甲、乙两类均被选到分两种情况:
① 甲类2件，乙类1件，有 种选法;
9 甲类 1 件，乙类 2 件，有 种选法,
所以共有 种选法. 故答案为36.
9.【答案】96
解: 由题意知本题是一个分步计数问题,
第一步:涂区域1，有4种方法；
第二步:涂区域2，有3种方法；
第三步:涂区域4，有2种方法(此前三步已经用去三种颜色)；
第四步:涂区域3，分两类:
第一类，3与1同色，则区域5涂第四种颜色；
第二类, 区域3与1不同色, 则涂第四种颜色,
此时区域5就可以涂区域1或区域2或区域3中的任意一种颜色, 有3种方法.
所以，不同的涂色种数有 种. 故答案为:96.
10.【答案】64
解: 甲、乙、丙三位同学去电影院看电影,
每人可在《志愿军:存亡之战》《出人平安》《爆款好人》《危机航线》四部电影中任选一部， 易知每个人都有 4 种选法，故不同的选法有 种. 故答案为:64 .

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