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绝密★考试结束前
高一数学练习
考生须知:
1. 本卷共 4 页满分 150 分, 考试时间 120 分钟.
2. 答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3. 所有答案必须写在答题纸上, 写在试卷上无效.
4. 考试结束后, 只需上交答题纸.
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的.
1. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
2. “ ” 是 “函数 为奇函数” 的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 若函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
4. 已知 ,则 的值为
A. -1
B.
C. 或
D.
5. 若 ，则 、 、 的大小关系为
A. B. C. D.
6. 函数 的图象过定点 ,若对任意正数 , 都有 ,则 的最小值为
A. 1 B. 2
C. D. 3
7. 在 中, 和 相交于点 ,设 , 若 ,则 等于
A. B. C. D.
8. 已知 ,则下列命题正确的是
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
二、选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列结论正确的是
A. 为平面内一定点，若 ，则 、 、 三点共线且
B. 非零向量 满足 ,则 与 的夹角为钝角
C. 若 与 共线,且 ,则
D. 若非零向量 满足 ,则
10. 已知函数 ,则下列说法正确的是
A. 若将 图象向左平移 个单位长度，所得图象与原图象重合，则 的最小值为 4
B. 若 ，则 的最小值为 1
C. 若 在 内无零点，则 的取值范围为
D. 若 在 内单调递减,则 的取值范围为
11. 已知定义域为 的函数 ,对任意实数 都有 ,且 , 则以下结论一定正确的有
A. B. 是偶函数
C. 的图象关于点 中心对称 D.
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若 ，则 的值为_____.
13. 已知 满足 ，且 ，则 在 上的投影向量的模的最小值为_____.
14. 已知两条直线 和 与函数 的图象从左至右相交于点 ， 与函数 的图象从左至右相交于点 ， . 记线段 和 在 轴上的投影长度分别为 ，当 变化时， 的最小值为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 13 分)
已知向量 满足 .
(1)若 的夹角为 ，求 ；
(2)若 ，求 的值.
16.(本小题满分 15 分)
已知函数 .
(1)若函数 的最小正周期为 ，求 的值及 的单调递增区间；
(2)设 ，求函数 在区间 上的值域.
17.(本小题满分 15 分)
若函数 的定义域为 ,对于任意 ,都有 ,则称函数 为中心对称函数,其中 为函数 的对称中心.
(1)已知定义 上的函数 的图象关于点 中心对称,且当 时, , 求 的值;
(2)探究函数 是否为中心对称函数. 若是，请求出对称中心并用定义证明； 若否, 请说明理由.
(3)运用第(2)问的结论
求 的值.
18.(本小题满分 17 分)
有一种新型的洗衣液,去污速度特别快,已知每投放 个单位的该洗衣液在一定量水的洗衣机中,它在水中释放的浓度 (克 升) 随着时间 (分钟) 变化的函数关系式近似为 ,其中 放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于 6 (克/升)时， 它才能起到有效去污的作用.
(1)若只投放一次 个单位的洗衣液，当 3 分钟时水中洗衣液的浓度为 2.5 克/升，求 的值；
(2)若只投放一次 6 个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟
(3)若第一次投放 3 个单位的洗衣液，9 分钟后再投放 3 个单位的洗衣液，问能否使接下来的 6 分钟内持续有效去污 说明理由.
19.(本小题满分 17 分)
已知函数 的定义域为区间 ,若对于给定的非零实数 ,存在 使得 , 则称函数 在区间 上具有性质 ,
(1)判断函数 在区间 上是否具有性质 ，并说明理由；
(2)若函数 在区间 上具有性质 ，求 的取值范围；
(3)已知函数 的图像是连续不断的曲线，且 ，求证:函数 在区间 上具有性质 .
高一数学练习 参考答案
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A C D A B D C
二、选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.
题 号 9 10 11
答 案 AD BD BCD
10.对于 : 函数 的图象向左平移 个单位长度,所得的函数的原图象重合,故 为周期的整数倍,所以 ,整理得 ,故 的最小值为 8,故 错误; 对于 : 由于 ,所以 ,即 或 ,所以 或 ,所以 的最小值为 1,故 正确; 对于 : 由已知得 ,整理得 , 当 时, ,当 时, ,故 的取值范围为 ,故 错误. 对于 : 由于 在 内单调递减,由于函数 在 内单调递减,则满足 正确. 故选: .
11.因为定义域为 的函数 ,对任意实数 都有 ,所以令 ,可得 ,解得 或 ,令 , 又 ,若 ,则 ,显然不成立,故 ,故 错误; 对于 令 , 得 ,即 ,又因为函数 的定义域为 ,所以 为偶函数. 故 正确; 对于 由 知, ,所以 , 令 ,得 ,即 ,所以函数 的图象关于 成中心对称，故 正确；对于 : 由 选项得 ，所以 ， ,所以 ,所以 ,故函数 的一个周期为 4 ，因为 ，所以 . 所以 ，故 正确. 故选: .
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
12. 13. 14. 32
12.解法 1: 已知 ,则 ,又 满足 ,则 , 则 ,又 ,即 ,即 , 又 ,即 ,则 在 上投影向量为 ,即 在 上投影向量的模的最小值为 . 故答案为: .
解法 2: 由 ,又 ,故 . 所以 在 上投影向量的模的最小值为 .
13.解: 根据题意,设 各点的横坐标分别为 ,直线 与函数 的图象从左至右相交于点 ; 则有 ; 则有 ,直线 与函数 的图象从左至右相交于点 ;
则有 ; 则有 ,记线段 和 在 轴上的投影长度分别为 ,则 ,则 ,又由 ,则 ,则 .
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 13 分)
解: (1) 由 ,故向量 -2 分
且 的夹角为 ,可得 4 分
则 . 6 分
(2)解:由 ，所以 ， -8 分又 ,故 ,故 13 分
16.(本小题满分 15 分)
解: (1) 若 的最小正周期为 ,则 ,解得 ,
令 ,解得 ,
所以 的单调递增区间是 ; -6 分
( 2 )当 时， ，所以
, 10 分
当 时, . 当 ,即 时, 取得最小值 -1 ; 当 ,即 时, 取得最大值 ,
所以函数 在区间 上的值域是 . 15 分
17.(本小题满分 15 分)
解; (1) 由在 上的函数 的图象关于点 中心对称,得 ,
则 .
当 时, -4 分
(2)若 为中心对称图形，则在定义域内有 恒成立.
根据中心对称定义有 ,
整理得: ,则 ,解得 ,
是中心对称图形,且对称中心是 . 10 分
(3)由(2)知， ； ，
又 ,
故
. 15 分
18.(本小题满分 17 分)
解: (1) ,当 3 分钟时水中洗衣液的浓度为 , 可得 ，即 ，解得 . 4 分
(2)由题意可得 ，则 ，则当 时，由 ，解得 ,即 ,当 时,由 ,解得 ,即 , 综上所述,得 ,即有效去污时间可达 12 分钟. 10 分
(3)假设要使接下来的 6 分钟内持续有效去污，再投放 个单位的洗衣液.
则当 时， ,
当且仅当 时取到等号,因为 ,所以 可取到,
所以 有最小值 ,令 ,易知 ,符合此不等式。
即 9 分钟后再投放 3 个单位的洗衣液能使接下来的 6 分钟内持续有效去污. 17 分
19.(本小题满分 17 分)
解: (1) 函数 在 上具有性质 ,理由如下:
若 ,则 ,因为 ,且 ,
所以函数 在 上具有性质 . 4 分
(2)由题意，因为函数 上具有性质 ，所以 . 由于 . 即存在 ,使得 ,
,得 ,又因为 且 所以 ,即 的取值范围是 . 10 分
(3)证明:设 ，则有 由 ,得 ,
① 当 ， 有一个为 0 时， 或 ，则函数 在区间 上具有性质 .
② 当 ， 均不为 0 时，由于其和为 0，则 ， 必然一正一负，即 ，
由于函数 的图像是连续不断的曲线,由零点存在性定理知,存在 ,使得 ,即
所以函数 在区间 上也具有性质 ,
综上所述,函数 在区间 上具有性质 . -17 分

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