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湖北随州曾都一中 25级高一实验班 3 月第二次考试
数学试题
范围：必修一+平面向量+复数+8.1--8.3
一、选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1. 复数 满足 （ 为虚数单位），则 的共轭复数的虚部是（ ）
A． B． C．1 D．
2. 已知 ， ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3.已知向量 满足 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D. 1
4. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5.已知 中，若 ，且点 在 上，则 （ ）
A． B． C． D．1
6若 ，且 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7. 已知函数 的定义域为 ，若对于定义域内给定的任意 ， ，都有
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
8. 已知平面向量 ， ， ，且 已知向量 与 所成的角为 ，且 对任意实数 恒成立，
则 的最小值为（ ）
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A． B． C． D．4
二、选择题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分）
9. 用平面截一个几何体，如果所得截面是矩形，那么该几何体可能是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．四棱锥
10. 已知向量 ， ，则（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 的最大值为 D. 若 ，则
11. 在 中， 所对的边分别为 ，已知 ，则（ ）
A．若 ，则 外接圆半径为
B．若 ，则
C．若 为锐角三角形，且 ，则
D． 面积的最大值为
三、填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15分）
12. 已知 ，且 ，则 的值为__________.
13. 在校园科技节的化学展区，小明的团队制作了一个立方体晶胞框架（棱长 的
正方体），用来展示 晶体中 的八面体配位环境： 位于立方体的各面中心
位置，它们构成一个正八面体包围中心的 ，则该正八面体 配位多面体模型的
体积是________ .
14.已知函数 ，若 ， 恒成立，则实数 的取值范围是
________.
四、解答题（本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 设 ， 均为复数，在复平面内，已知 对应的点的坐标为 ，且 对应的点在第一
象限．
(1)若复数 为纯虚数，求实数 的值；
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(2)若 ，且 是关于 的方程 的一个复数根，求 ．
16. 已知函数
（1）求函数 在 上的单调递增区间;
（2）若函数 在 的值域为 求α的取值范围.
17. 在 中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，M 为边 BC 所在直线上一点．
(1)若 ，AM 平分∠BAC， ， ，求 的周长；
(2)若 ，且 ，求 的最大值和最小值．
18. 已知函数 的图象的相邻两条对称轴之间的距离是 ，将函数
的图象向右平移 个单位长度得到的函数为偶函数.
（1）求函数 的解析式;
（2）若 是函数 的一个零点，求 的值；
（3）若方程 在 上有 4个不相等的实数根，求实数 a 的取值范围.
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19. 已知偶函数 的最小值为 .
（1）求实数 ， 的值;
（2）设 ，证明： 在区间 上存在唯一零点 ，且 ；
（3）设 ，记 ，试求 的
最大值.（注： ）.
湖北随州曾都一中 25级高一实验班 3 月第二次考试
数学试题参考答案
CBBD CAAB 9. ACD 10. AD 11. ABD 12. 13. 14.
15.解:（1）由题意得 ，
若复数 为纯虚数，则有 ，且 ，解得 .
（2）方程 的判别式 ，
故有两共轭复数根，设 ，则另一个根为 ，
因为 对应的点在第一象限，所以 ，由韦达定理得 ，解得 ，且 ，
所以有 ，解得 ，所以 ，
则 .
16. 解：（1）由函数
，因为 ，可得 ，
令 ，可得 ；令 ，可得 ，
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所以函数 在 上的单调递增区间为 ， .
（2）由 ，可得 ，
因为函数 的值域为 ，即 ，
当 时，即 时， ；
当 时，即 时， ，
要使得 ，根据正弦函数的性质，则满足 ，
解得 ，所以实数 取值范围为 .
17.解:（1）由题意得
所以 ①
又 ②
由①②解得 ，所以 的周长为 ；
（2）∵ ， ，
当且仅当 ，即 时取“ ”，
又 ，当且仅当 时取“ ”，所以 的最大值 ，最小值 4．
18. 解：（1）解：由题知函数 的最小正周期为 ，所以 ，
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将函数 的图象向右平移 个单位长度得 ，
因为 为偶函数，所以 ， ，
故函数 的解析式为 .
（2）解：由题知 即 ，
因为 ，所以 ，即 ，
则 .
（3）解：由（1）知 ，因为 ，
若方程 在 上有 4个不相等的实数根，
即关于 的方程 在 上有 2个不相等的实数根，
设 ，则满足 ，
解得 ，所以实数 的取值范围为 .
19. 解：（1）由 ，得 ，
所以 对任意 恒成立，故 ，所以 ．
设 ，则 ，又 的最小值为 ，所以 ；
（2）由（1）得 ，所以 ，
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因 在 上单调递减，
当 时， ，又正弦函数 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递增，所以函数 在 上单调递减，
又 ， ，故 ，
所以 在 存在唯一零点 ，且 ，所以 ，
，又 得 ，
故 ，即有 ，所以 ；
（3）由（1）知 ，令 ，若 ，则 ，
因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减．
设 ， ，
由于 ，
则 ，
所以
，
当且仅当 或 时， 有最大值 ，
所以 的最大值为 ．
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