资源简介

数 学 试 卷
考 生 注 意 ：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分 150分，考试时间 120分钟.
2.答题前，考生务必用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的
答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出
答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 已知集合A= -3,-2,-1 ,B= x∣x2-2x-3=0 ，则A∪B= ( )
A. -3,-2,-1,3 B. -3,-2,-1,1 C. -3 D. -1
2. 已知 a> 0,b> 0, ab= 1 + 1 1 1，则 + 的最小值为 ( )
a b loga2 logb2
A. 3 B. 2 C. 2 D. 1
3. 已知复数 z= 10i
3+ ，则 z = ( )4i
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的
飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的
情况：
①平稳落地 (概率为 0.7)：动作精准，必定能站稳；
②踉跄落地 (概率 0.2)：重心略偏，90%能站稳；
③近乎倒地 (概率为 0.1)：姿态失衡，50%能站稳.
则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为 ( )
A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93
5. x
2 y2
已知双曲线C : - = 1(a> 0,b> 0)，F，F 分别为左、右焦点，过F 且倾斜角为 60°的直线 l与
a2 b2
1 2 1
C在第一象限的交点为P，∠PF1F2的平分线与线段PF2交于点Q．若 PQ = 2 QF2 ，则该双曲线的
·1·
离心率是 ( )
A. 3 B. 1+ 3 C. 2+ 3 D. 3+ 3
6. 已知函数 f (x)是定义在 R上的偶函数，y= f (x- 1)关于 (2,0)中心对称，则下列说法正确的是
( )
A. f(x)的一个周期为 6 B. f(-1) = 0
2026
C. f(2) = 0 D. f(i) = 0
i=1
7. 黑龙江省实验中学科技节活动，将 4位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、体育馆三个地点参
加志愿活动，若每个地点至少需要 1名学生，每位志愿者仅去一个地点，则不同的分配方法种数为
( )
A. 81 B. 72 C. 36 D. 12
8. 已知函数 f x =-2x2+ a，g x = x2ex，若对任意的 x2∈ -1,1 ，存在唯一的 x1∈ -1,2 ，使得
f x1 = g x2 ，则实数 a的取值范围是 ( )
A. e,8 B. e+2,8 C. e+2,8 D. e,8
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 下列说法正确的是 ( )
A. 若 x< 1 1，则函数 y= x+ - 的最小值为 3x 1
B. 若 x+ 2y= 3，则 2x+ 4y的最小值为 4 2
C. 函数 y= 2 + 1 的最小值为 3+ 2 2
sin2x cos2x
D. 若 x> 0,y> 0 1，且 x+ 2y= 2，则 xy max= 2
10. 已知正项等比数列 an 的前n项和为Sn，若S3= 6a3+ 1，a2= 2，则 ( )
A. q= 1 B. 数列 an 有最小项2
C. 数列 an 为递减数列 D. an+Sn= 8
x2 y211. 已知双曲线C : - = 1 a>0,b>0 的离心率为 5，其左、右焦点分别为F1，F2，点A在C的右
a2 b2
支上，直线AF2与C交于另一点B，AB的中点为M，O为坐标原点，则下列说法错误的是 ( )
A. 存在点A，使得直线AF2的斜率为 2 B. 存在点A，使得∠F1AF2= 90°
C. 存在点A，使得 OA < AF2 D. 存在点A，使得点M的横坐标为 2a
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
·2·
2
12. x双曲线 - y2= 1的一个焦点在抛物线 y2= 2px(p > 0)的准线上，则抛物线的标准方程为
3
．
13. 在 △ABC 中，角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c，若 sinA = sinBcosC 且 c = 2 3 ,A = π ，则
6
c+a
+ = ．sinC sinA
14. 1连续抛掷一枚质地均匀的硬币 (正面向上和反面向上的概率均为 )，当向上的结果出现“正面-
2
反面”或“反面-正面”时，游戏结束.若抛掷 50次，向上的结果没有出现“正面-反面”或“反面-正
面”，游戏也结束.游戏结束时，记抛掷总次数为 X，若 E X .
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是 a，b，c， 2csinAcosB= asinC.
(1)求角B的大小；
(2)若 b= 2，c= 2，求 a.
16. 为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取 2000名得到如下
列联表：
效果明显 效果不明显 合计
甲方案 1000 200 1200
乙方案 600 200 800
合计 1600 400 2000
(1)根据小概率值 α= 0.001的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联；
(2)在 800名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取 8人，再从这 8名患者
中随机抽取 4人，设X表示 4名患者中效果不明显的人数，求X的分布列和数学期望．
2 n=
ad-bc 2
附：χ , n= a+ b+ c+ d．
a+b c+d a+c b+d
α 0.1 0.01 0.001
xα 2.706 6.635 10.828
·3·
17. 如图，A1B1、AB分别是圆柱O1O的上底面，下底面的直径，且A1B1 AB，C，D分别是圆O上在
AB同侧的两点，且∠AOC=∠COD=∠DOB= π ，E是线段OC上一点 (不含端点).
3
(1)求证：O1E 平面B1BD；
(2)已知圆柱O1O的高为 6，表面积为 54π，OE= 2，求平面O1B1E与平面BB1E夹角的余弦值.
18. 已知函数 f(x) = ex+ sinx- ax,a∈R.
(1)若 a= 2，求 f(x)的单调区间；
(2) x∈ [0, +∞)，f(x)≥ cosx成立，求实数 a的取值范围；
(3)若 a= 1,x∈ [-2π, +∞)时，y=m与 y= f(x)的图象有三个交点，横坐标分别为 xp，xq，xr(xp<
xq< xr)，求证：2xq< xp+ xr.
2 y2
19. x 3已知双曲线E: - = 1(a> 0,b> 0)的左顶点A -2,0 ，一条渐近线方程为 y= x.
a2 b2 2
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)设双曲线E的右顶点为B，P为直线 x=-1上的动点，连接PA，PB交双曲线于M，N两点 (异
于A，B)，记直线MN与 x轴的交点为Q．
①求证：Q为定点；

②直线MN交直线 x=-1于点D，记QD= λQM，QD= μQN .求证：λ+ μ为定值．
·4·
数 学 试 卷
考 生 注 意 ：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分 150分，考试时间 120分钟.
2.答题前，考生务必用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的
答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出
答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 已知集合A= -3,-2,-1 ,B= x∣x2-2x-3=0 ，则A∪B= ( )
A. -3,-2,-1,3 B. -3,-2,-1,1 C. -3 D. -1
【答案】A
【详解】B= x∣x2-2x-3=0 = -1,3 ，则A∪B= -3,-2,-1,3 ，
故选：A
2. 已知 a> 0,b> 0, ab= 1 + 1 1 1，则 + 的最小值为 ( )
a b loga2 logb2
A. 3 B. 2 C. 2 D. 1
【答案】D
1 1 1 1
【详解】因为 a> 0,b> 0， ab= + ，所以 ab= + ≥ 2 1 ，∴ ab≥ 2，当且仅当 a= b=
a b a b ab
2时取等号，
∴ 1 + 1 = log2a+ log b= loglog 2 log 2 2 2 ab ≥ log22= 1.a b
故选：D.
3. 已知复数 z= 10i+ ，则 z = ( )3 4i
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
10i 3-4i
【详解】∵ z= 10i = + =
40+30i = 8 + 6i ，
3 4i 3+4i 3-4i 25 5 5
∴ z = 8
2
+ 6
2
= 2.5 5
故选：A.
4. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的
飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的
情况：
①平稳落地 (概率为 0.7)：动作精准，必定能站稳；
·1·
②踉跄落地 (概率 0.2)：重心略偏，90%能站稳；
③近乎倒地 (概率为 0.1)：姿态失衡，50%能站稳.
则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为 ( )
A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93
【答案】D
【详解】P= 0.7+ 0.2× 0.9+ 0.1× 0.5= 0.93.
5. C : x
2
- y
2
已知双曲线 = 1(a> 0,b> 0)，F1，F2分别为左、右焦点，过F1且倾斜角为 60°的直线 l与
a2 b2
C在第一象限的交点为P，∠PF1F2的平分线与线段PF2交于点Q．若 PQ = 2 QF2 ，则该双曲线的
离心率是 ( )
A. 3 B. 1+ 3 C. 2+ 3 D. 3+ 3
【答案】C
PF PQ
【详解】因为直线 l的∠PF π 11F2= ，由角平分线性质定理可知 = = 2，3 F1F2 QF2
所以 PF1 = 2 F1F2 = 4c，由双曲线的定义可知 PF1 - PF2 = 2a，所以 PF2 = PF1 - 2a= 4c- 2a，
在△PF1F2中由余弦定理可得 PF 2 22 = PF1 + F 21F2 - 2 PF1 F1F2 cos∠PF1F2，
即 (4c- 2a)2= (2c)2+ (4c)2- 2× 2c× 4c× cos60°，整理得 c2- 4ac+ a2= 0，
两边同除以 a2可得 e2- 4e+ 1= 0，解得 e= 2+ 3或 e= 2- 3 (舍去)．
故选：C
6. 已知函数 f (x)是定义在 R上的偶函数，y= f (x- 1)关于 (2,0)中心对称，则下列说法正确的是
( )
A. f(x)的一个周期为 6 B. f(-1) = 0
2026
C. f(2) = 0 D. f(i) = 0
i=1
·2·
【答案】B
【详解】选项A，∵ y= f(x- 1)的图像向左平移 1个单位得到 y= f(x)，
又 y= f(x- 1)关于 (2,0)中心对称，
∴ y= f(x)关于 (1,0)中心对称，∴ f(1+ x) =-f(1- x)，
将 f(1+ x) =-f(1- x)式子中的 x用 x+ 1代替，得到 f(2+ x) =-f(-x)，
∵ f(x)是定义在R上的偶函数，∴ f(-x) = f(x)，
∴ f(2+ x) =-f(x)，将此式子中的 x用 x+ 2代替，得到 f(4+ x) =-f(2+ x) = f(x)，
则 f(x)是一个以 4为周期的周期函数，故选项A错误；
选项B，∵ y= f(x)关于 (1,0)中心对称，f(x)的定义域为R，∴ f(1) = 0，
∵ f(x)是定义在R上的偶函数，∴ f(-1) = f(1) = 0，故选项B正确；
选项C，∵ f(2+ x) =-f(x)，∴ f(2) =-f(0)，但是 f 0 根据题中已知条件无法得到，故选项C错误；
选项D，∵ f(x)是一个以 4为周期的周期函数，
∴ f(3) = f(-1) ，f(4) = f(0)，
∵ f(2+ x) =-f(x)，∴ f(2) =-f(0)，∴ f(2) + f(0) = 0，
∴ f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = f(1) + f(2) + f(-1) + f(0)，
∵ f(-1) = f(1) = 0，∴ f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = f(2) + f(0) = 0，
2026
∴∑ f(i) = 506× f(1)+ f(2)+ f(3)+ f(4) + f(1) + f(2) = f(1) + f(2) = f(2)，
i=1
2026
仅根据已知条件无法确定其值，故不能得出 f(i) = 0，故选项D错误.
i=1
7. 黑龙江省实验中学科技节活动，将 4位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、体育馆三个地点参
加志愿活动，若每个地点至少需要 1名学生，每位志愿者仅去一个地点，则不同的分配方法种数为
( )
A. 81 B. 72 C. 36 D. 12
【答案】C
【详解】先从四人中选出两人当成一组，共C24种分法，
再将三组人进行分配，共A33种，
故共有C2A34 3= 36种分配方法.
8. 已知函数 f x =-2x2+ a，g x = x2ex，若对任意的 x2∈ -1,1 ，存在唯一的 x1∈ -1,2 ，使得
f x1 = g x2 ，则实数 a的取值范围是 ( )
A. e,8 B. e+2,8 C. e+2,8 D. e,8
【答案】B
【详解】由 g x = x2ex可得 g x = 2xex+ x2ex= x x+2 ex，
当-1< x< 0时，g x < 0；当 0< x< 1时，g x > 0；
所以 g x = x2ex在 -1,0 单调递减，在 0,1 单调递增，
所以 g(x) -1 1min= g 0 = 0，g -1 = e = ，g 1 = e，e
所以 g x = x2ex在 -1,1 上的值域为 0,e ，记A= 0,e ，
f x =-2x2+ a，的对称轴为 x= 0，f 0 =-2× 02+ a= a，f 2 = a- 8，
所以函数 f x 的值域为 a-8,a ，
·3·
又 f -1 = a- 2，且 f x =-2x2+ a，在 1,2 上单调递减，
要使方程 f x = y有唯一解，则 y的取值集合为 a-8,a-2 ∪ a ，
所以 f x ∈ a-8,a-2 ∪ a ，记B= a-8,a-2 ∪ a ，
若对任意的 x2∈ -1,1 ，存在唯一的 x1∈ -1,2 ，使得 f x1 = g x2 ，
a-8≤0
则A B，所以 - > ，解得 e+ 2< a≤ 8，a 2 e
所以实数 a的取值范围是 e+2,8 ．
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 下列说法正确的是 ( )
A. 1若 x< 1，则函数 y= x+ - 的最小值为 3x 1
B. 若 x+ 2y= 3，则 2x+ 4y的最小值为 4 2
C. 函数 y= 2 + 1 的最小值为 3+ 2 2
sin2x cos2x
D. 若 x> 0,y> 0，且 x+ 2y= 2 1，则 xy max= 2
【答案】BCD
【详解】对于A，∵ x< 1，∴ x- 1< 0，
∴ y= x+ 1 = x- 1+ 1 + 1=- 1-x+ 1 + 1≤-2 1-x × 1x-1 x-1 1-x 1-x + 1=-1，
当且仅当 1- x= 1- ，即 x= 0时，取得最大值-1，故A错误；1 x
对于B，2x+ 4y≥ 2 2x 4y= 2 2x+2y= 4 2，
3
当且仅当 x= ，y= 3 时，2x+ 4y取到最小值为 4 2，故B正确；
2 4
对于C，y= 2 + 1 = 2 + 1 sin2x+cos2x sin2x cos2x sin2x cos2x
= 3+ 2cos
2x + sin
2x 2≥ 3+ 2 2cos x × sin
2x = 3+ 2 2
sin2x cos2x sin2x cos2x
当且仅当 tan2x= 2时，取等号，故C正确；
对于D，当 x> 0,y> 0，且 x+ 2y= 2时，2= x+ 2y≥ 2 x×2y= 2 2 xy 1，∴ xy≤ ，
2
当且仅当 x= 2y= 1 1，xy取最大值 ，故D正确.
2
故选：BCD
10. 已知正项等比数列 an 的前n项和为Sn，若S3= 6a3+ 1，a2= 2，则 ( )
A. q= 1 B. 数列 an 有最小项2
C. 数列 an 为递减数列 D. an+Sn= 8
【答案】ACD
【详解】设正项等比数列 an 公比为 q q>0 ，
a q=2对于A，由题意得 1 ，a1+a1q+a1q2=6a1q2+1
·4·
a1=4 a1=-5结合 q> 0，解得 = 1 或 =- 2 (舍去)，故A正确；q 2 q 5
1 n-1
对于B和C，an= 4× = 23-n，故数列 an 为递减数列，无最小项，故B错误，C正确；2
n
4× 1- 1
对于D，S = 2 = 8- 2-n+3n ，则 a 3-n 3-nn+Sn= 2 + 8- 2 = 8，故D正确，
1- 12
故选：ACD．
2 y2
11. x已知双曲线C : - = 1 a>0,b>0 的离心率为 5，其左、右焦点分别为F
2 2 1
，F2，点A在C的右
a b
支上，直线AF2与C交于另一点B，AB的中点为M，O为坐标原点，则下列说法错误的是 ( )
A. 存在点A，使得直线AF2的斜率为 2 B. 存在点A，使得∠F1AF2= 90°
C. 存在点A，使得 OA < AF2 D. 存在点A，使得点M的横坐标为 2a
【答案】ABD
【详解】设点A(x0,y0)，B(x1,y1)，F1(-c,0)，F2(c,0)，
2 2 2 2 b
由题知离心率 e= c = a +b = 1+ b = 5，解得 = 2，
a2 a2 a2 a
故有 b= 2a,c= 5a，双曲线C的渐近线为 y=±2x，
对于A选项，如果存在点A，使得直线AF2的斜率为 2，
直线AF2与渐近线平行，不会与双曲线有两个交点，故A错误；
对于B选项：F1A= x0+c,y0 ，F2A= x0-c,y0 ，若∠F1AF2= 90°，即F1A⊥F2A，
可得FA FA= x2- c2+ y2= 0，即：x21 2 0 0 0- 5a2+ y20= 0(①)，
而A(x0,y0)位于双曲线右支上，其中 x0≥ a，
x2 2 2 2
故有： 0 - y0 = x y1，即： 0 - 0 = 1(②)，
a2 b2 a2 4a2
3 5 ±
4 5
联立①②两个等式可得：x0= a,y 4 50=± a，又F2 5a,0 ，此时 k 5AF = =±2，由选5 5 2 3 5
5 - 5
项A可知不合题意，故B选项错误；
对于C选项：由 OA < AF2 ，即： x2 2 20+y0< x0-c +y20，化简得：x0< c = 5a ，由点A在C的2 2
右支上可知：x0≥ a，故存在点A，使得 OA < AF2 ，故C选项正确；
对于D选项：设M (2a,yM)，kAB= =
yM yk MMF2 2a- ，k = ，c OM 2a
2 y 2
而 k k b MOM AB= = 4，带入化简得：k k = = 4，而 c= 5a，
a2
AB OM
4a2-2ac
故 y 2M = 16a2- 8ac= 16a2- 8 5a2< 0，可知不存在这样的点M使等式成立，
故不存在点A，使得点M的横坐标为 2a，故D选项错误.
k k = b
2
下面为证明： OM AB ，
a2
x +x y +y y +y
AB的中点为M，根据中点坐标公式可知M ( 0 1 , 0 1 )，故 k = 0 1 ，
2 2 OM x0+x1
= y0-y
2 2
k 1AB - ，故 kOM =
y0+y1 y0-y1 = y -yk 0 1 ，
x x AB x 2 20 1 0+x1 x0-x1 x0-x1
·5·
2 2
而A(x0,y0)
x y
，B(x1,y1)两点均位于双曲线上，故： 0 - 0 = 1 (③)
a2 b2
x2 y2 x2-x2 y2 21 - 1 = -y1(④)，用③减④得： 0 1 - 0 1 = 0，
a2 b2 a2 b2
y20-y2 21 = b k k b
2
化简得 ，故
2- 2 2 OM AB
= ，证毕.
x0 x1 a a2
故选：ABD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
2
12. x双曲线 - y2= 1的一个焦点在抛物线 y2= 2px(p > 0)的准线上，则抛物线的标准方程为
3
．
【答案】y2= 8x
x2
【详解】由双曲线 - y2= 1，可得 a= 3 ,b= 1，则 c= a2+b2= 2，
3
p
又由抛物线 y2= 2px(p> 0)的准线的方程为 x=- ，
2
x2
因为双曲线 - y2= 1的一个焦点在抛物线 y2= 2px的准线上，
3
p
所以- =-2，解得 p= 4，所以抛物线的标准方程为 y2= 8x.
2
故答案为：y2= 8x.
13. 在 △ABC 中，角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c，若 sinA = sinBcosC 且 c = 2 3 ,A = π ，则
6
c+a = ．
sinC+sinA
【答案】4
【详解】∵三角形内角和A+B+C= π，
∴ sinA= sin B+C ，
∵ sinA= sinBcosC，
∴ sin B+C = sinBcosC+ cosBsinC= sinBcosC，故 cosBsinC= 0，
∵C是三角形内角，sinC≠ 0，故 cosB= 0，则B= π ，
2
∵A= π ,B= π ，
6 2
∴C= π-A-B= π- π - π = π ，
6 2 3
a c
根据正弦定理得 = = 2R，
sinA sinC
∴ a= 2RsinA,c= 2RsinC，
c+a 2R sinC+sinA∴ + =
c 2 3
sinC sinA sinC+ = 2R= = = 4．sinA sinC 3
2
故答案为：4．
14. ( 1连续抛掷一枚质地均匀的硬币 正面向上和反面向上的概率均为 )，当向上的结果出现“正面-
2
反面”或“反面-正面”时，游戏结束.若抛掷 50次，向上的结果没有出现“正面-反面”或“反面-正
·6·
面”，游戏也结束.游戏结束时，记抛掷总次数为 X，若 E X .
【答案】3
【详解】抛掷总次数X∈{2,3,4, ,50}
i-1 i-1 i-1
P(X= i) = 1 × 1 + 1 × 1 =2 2 2 2
1
2 ，其中 i= 2,3,4, ,49，
1 49 49 48P(X= 50) = + 1 = 1 .2 2 2
1 1 2 1 3 1 48 1 48
所以E(X) = 2× + 3× + 4× + +49× + 50×2 2 2 2 2
1 1 2 1 3 48 49E(X) = 2× + 3× + +48× 1 + 49× 1 + 50× 1
49
2 2 2 2 2 2
1 2 3 48E(X) = 1+ 1 + 1 + + 1 + 51× 1
49 1 49
相减得 - 50×
2 2 2 2 2 2
1 2 1 50
2 3 48 49 - 49
= 1+ 1 + 1 + + 1 + 1 = 1+ 2 2 = 3 - 1 .2 2 2 2 - 1 2 2 1 2
48
所以E(X) = 3- 1 < 3，所以正整数M的最小值为 3．2
故答案为：3.
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是 a，b，c， 2csinAcosB= asinC.
(1)求角B的大小；
(2)若 b= 2，c= 2，求 a.
【答案】(1)B= π (2)a= 2
4
【解析】
【小问 1详解】
已知 2csinAcosB= asinC边角互换得 2sinC sinA cosB= sinA sinC，
因为 sinA,sinC> 0，
则 2cosB= 1，即 cosB= 2 .
2
又因为B是△ABC的内角，所以 0可得B= π .
4
小问 2详解】
余弦定理：b2= a2+ c2- 2accosB，将 b= 2，c= 2，B= π 代入得
4
( 2 )2= a2+ 22- 2 a 2 cos π
4
整理得 a2- 2 2a+ 2= 0
解得 a= 2。
16. 为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取 2000名得到如下
列联表：
效果明显 效果不明显 合计
·7·
甲方案 1000 200 1200
乙方案 600 200 800
合计 1600 400 2000
(1)根据小概率值 α= 0.001的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联；
(2)在 800名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取 8人，再从这 8名患者
中随机抽取 4人，设X表示 4名患者中效果不明显的人数，求X的分布列和数学期望．
n ad-bc 2
附：χ2= , n= a+ b+ c+ d．
a+b c+d a+c b+d
α 0.1 0.01 0.001
xα 2.706 6.635 10.828
【答案】(1)治疗效果与选择甲、乙方案有关联． (2)分布列见解析，1
【解析】
【小问 1详解】
零假设 H0：治疗效果与选择甲、乙方案无关联，
2 2000 1000×200-200×600
2
= χ = 125× × × ≈ 20.833> 10.828= x1200 800 1600 400 6 0.001，
根据小概率值 α= 0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，故治疗效果与选择甲、乙方案有关联．
【小问 2详解】
600
根据分层随机抽样方法可知，从效果明显的患者中抽取 8× = 6名，从效果不明显的患者中抽取
800
8× 200 = 2名，
800
X的取值分别为 0，1，2，
4 3 1 2 2
则P X=
C 3 C C C C0 = 6 = ,P X=1 = 6 2 = 4 ,P X=2 = 6 2 = 3 ，
C4 14 C48 8 7 C48 14
所以X的分布列为
X 0 1 2
3 4 3
P
14 7 14
E 3 X = 0× + 1× 4 + 2× 3 = 1．
14 7 14
17. 如图，A1B1、AB分别是圆柱O1O的上底面，下底面的直径，且A1B1 AB，C，D分别是圆O上在
AB π同侧的两点，且∠AOC=∠COD=∠DOB= ，E是线段OC上一点 (不含端点).
3
·8·
(1)求证：O1E 平面B1BD；
(2)已知圆柱O1O的高为 6，表面积为 54π，OE= 2，求平面O1B1E与平面BB1E夹角的余弦值.
【答案】(1) (2) 8 741证明见解析
247
【解析】
【小问 1详解】
证法一：因为C，D分别是圆O上在AB同侧的两点，
且∠AOC=∠COD=∠DOB= π ,
3
π
所以△DOB是等边三角形，∠BDO= =∠COD，所以BD OC，
3
又OC 平面B1BD，BD 平面B1BD，所以OC 平面B1BD，
因为A1B1，AB分别是圆柱O1O的上底面，下底面的直径，且A1B1 AB，
所以O1B1 OB，O1B1=OB，
所以四边形OBB1O1是平行四边形，所以O1O B1B，
又O1O 平面B1BD，B1B 平面B1BD，所以O1O 平面B1BD，
因为OC 平面B1BD，O1O 平面B1BD，OC∩O1O=O，OC，O1O 平面OO1C，
所以平面OO1C 平面B1BD，又O1E 平面OO1C，所以O1E 平面B1BD，
证法二：如图，在线段BD上取一点F，使得BF=OE，
π
因为C，D分别是圆O上在AB同侧的两点，且∠AOC=∠COD=∠DOB= ，
3
所以△DOB是等边三角形，∠BDO= π =∠COD，所以BD OC，
3
又BF=OE，所以四边形BFEO是平行四边形，EF OB，EF=OB，
因为A1B1，AB分别是圆柱O1O的上底面，下底面的直径，且A1B1 AB，
所以O1B1 OB，O1B1=OB，
所以EF O1B1，EF=O1B1，四边形EFB1O1是平行四边形，所以O1E B1F.
又O1E 平面B1BD，B1F 平面B1BD，所以O1E 平面B1BD；
【小问 2详解】
解：在圆O中过点O作OG⊥OB，又OO1⊥平面GOB，OB，OG 平面GOB，
所以OO1⊥OB，OO1⊥OG，以O为原点，OG，OB，OO1所在直线分别为 x轴，
y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
·9·
设圆柱O1O的底面半径为 r，
因为圆柱O1O的高为 6，表面积为 54π，
所以 2πr2+ 2πr× 6= 54π，即 r2+ 6r- 27= 0，
解得 r=-9(舍)或 r= 3，
因为 r= 3，O1O= 6，OE= 2，
所以B 0,3,0 ，O 0,0,6 ，B 0,3,6 ，E 3,-1,0 ，
1 1
O1B1= 0,3,0 ，EB1= - 3,4,6 ，BB1= 0,0,6 ，
设平面O1B1E

的法向量为m= x1,y1,z1 ，
m

O B =0 3y
则 1 1 ，即 1=0 m - + + = ， EB1=0 3x1 4y1 6z1 0
令 z1= 1，得 x1= 2 3，y1= 0，

即m= 2 3,0,1 为平面O1B1E的一个法向量，
设平面BB 1E的法向量为n= x2,y2,z2 ，

n E B 1=0 - 3x2+4y2+6z则 ，即 2=0 n BB =0 6z2= ，01
令 x2= 4，得 y2= 3，z2= 0，

即n= 4, 3,0 为平面BB1E的一个法向量，
设平面O1B1E与平面BB1E的夹角为 θ，
m n 8 3 8 741
则 cosθ= = = ， m n 13× 19 247
8 741
即平面O1B1E与平面BB1E夹角的余弦值为 ．247
18. 已知函数 f(x) = ex+ sinx- ax,a∈R.
(1)若 a= 2，求 f(x)的单调区间；
(2) x∈ [0, +∞)，f(x)≥ cosx成立，求实数 a的取值范围；
(3)若 a= 1,x∈ [-2π, +∞)时，y=m与 y= f(x)的图象有三个交点，横坐标分别为 xp，xq，xr(xp<
xq< xr)，求证：2xq< xp+ xr.
【答案】(1)递减区间为 (-∞,0)，递增区间为 [0, +∞)
(2) (-∞,2]
(3)证明见解析
【解析】
·10·
【小问 1详解】
解：当 a= 2时，可得 f(x) = ex+ sinx- 2x，可得 f (x) = ex+ cosx- 2，
令 g(x) = ex+ cosx- 2，可得 g (x) = ex- sinx，
当 x< 0时，ex< 1,cosx≤ 1，可得 g(x) = ex+ cosx- 2< 0，
即 f (x)< 0，f x 单调递减；
当 x≥ 0时，ex≥ 1, -sinx≥-1，所以 g (x) = ex- sinx> 0，g x 单调递增，
则 g x ≥ g 0 = e0+ cos0- 2= 0，即 f (x)≥ 0，f x 单调递增，
所以函数 f x 的单调递减区间为 (-∞,0)，单调递增区间为 [0, +∞).
【小问 2详解】
解：令 h x = f(x) - cosx= ex+ sinx- ax- cosx,x∈ [0, +∞)，
可得 h x = ex+ cosx- a+ sinx，令m x = h x = ex+ cosx- a+ sinx，
则m x = ex- sinx+ cosx= ex+ 2cos x+ π ，4
π π π π
当 0≤ x≤ 时，1≤ ex≤ e 4，0≤ x+ ≤ ，0≤ cos x+ π ≤ 2 ，故m x > 0，4 4 2 4 2
π π 1
当 x> π 时，ex≥ e 4 > 2 4 > 2 2 = 2，- 2≤ 2cos x+ π ≤ 2，故m x > 0，4 4
所以当 x∈ [0, +∞)时，可得m x > 0，m x 单调递增，即 h x 单调递增，h 0 = 2- a，
当 a≤ 2时，h 0 ≥ 0，则 h x ≥ h 0 ≥ 0，h x 在 x∈ [0, +∞)上单调递增，
所以 h x ≥ h 0 = 0，所以 f(x)≥ cosx成立，满足题意；
当 a> 2时，存在 x0∈ (0, +∞)，使得 h x0 = 0，
当 x∈ [0,x )时，h 0 x < 0，h x 单调递减；
当 x∈ (x0, +∞)时，h x > 0，h x 单调递增，
当 x∈ 0,x0 时，h x < h 0 = 0，不满足题意，
综上可得，实数 a的取值范围为 (-∞,2].
【小问 3详解】
解：当 a= 1时，f(x) = ex+ sinx- x，可得 f (x) = ex+ cosx- 1，
设 f1 x = f x = ex+ cosx- 1，可得 f x1 x = e - sinx，
设 f x = f 2 1 x = ex- sinx，可得 f 2 x = ex- cosx，
设 f3 x = f 2 x = ex- cosx，可得 f 3 x = ex+ sinx，
当 x∈ [-2π, -π)时，ex> 0,sinx> 0，可得 f 3 x = ex+ sinx> 0，
则 f3 x 在 x∈ [-2π, -π)上单调递增，
因为 f3 -2π = e-2π- 1 0,f -π =e-π3 +1 0，
所以存在唯一 x0∈ (-2π, -π)，使得 f3 x0 = 0，
可得 f2 x 在 (-2π,x0)上单调递减，在 (x0, -π)上单调递增，
- 3π
f2 -2π = e-2π> 0,f 3π2 - = e 2 - 1 0,f2 -π =e-π 0，2
λ∈ -2π,- 3π ,μ∈ - 3π所以存在唯一的 ,-π ，使得 eλ= sinλ,eμ= sinμ，2 2
且 f1 x 在 (-2π,λ)上单调递增，在 (λ,μ)上单调递减，在 (μ, -π)上单调递增，
- 3π
由 f1 -2π = e-2π> 0，f -π = e-π1 - 2< 0，f1 - 3π = e 2 - 1< 0，2
π
又由 f1 λ = eλ+ cosλ- 1= sinλ+ cosλ- 1= 2sin λ+ - 14
·11·
f (μ) = eμ1 + cosμ- 1= sinμ+ cosμ- 1= 2sin μ+ π - 1，4
因为 λ∈ -2π,- 3π ，μ∈2 -
3π ,-π ，可得 λ+ π ∈ - 7π ,- 5π μ+ π， ∈ - 5π ,- 3π ，2 4 4 4 4 4 4
可得 2sin λ+ π > 1， 2sin μ+ π < 1，所以 f1 λ > 0,f1 μ < 0，4 4
则存在唯一 x1∈ -2π,- 3π ，使得 f x = 0，2
且 f x 在 (-2π,x1)上单调递增，在 (x1, -π)上单调递减，
当 x∈ (-π,0)时，ex> 0,sinx< 0，f 1(x)> 0，则 f x 在 (-π,0)上单调递增，
π - π
则 f 0 = 1> 0,f - = e 2 - 1< 0 π，则存在唯一 x2∈ - ,0 ，使得 f x = 0，2 2 2
当-π< x< x2时，f x < 0，当 x2< x< 0时，f x > 0，
当 x> 0时，ex> 1,sinx≤ 1，可得 f 1(x)> 0，
f x 在 0,+∞ 上单调递增，f 0 = 1> 0，f x > 0，
综上可得，函数 f x 在 (-2π,x1)上单调递增，在 (x1,x2)上单调递减，在 (x2, +∞)上单调递增，
要使得 y=m与 y= f(x)的图像有三个交点，
x 3π 3π π π则 p∈ -2π,- ,xq∈ - ,- ,x ∈ - ,+∞ ，2 2 2 r 2
f -2π = e-2π+ 2π,f -π = e-π+ π< f -2π 3π ，则 xq∈ - ,-π ，2
又因为 f 0 = 1< f -2π ，则 xr∈ (0, +∞)，则 xp+ xr>-2π> 2xq，
所以 2xq< xp+ xr，得证.
2 y2
19. 已知双曲线E: x - = 1(a> 0,b> 0)的左顶点A -2,0 3 ，一条渐近线方程为 y= x.
a2 b2 2
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)设双曲线E的右顶点为B，P为直线 x=-1上的动点，连接PA，PB交双曲线于M，N两点 (异
于A，B)，记直线MN与 x轴的交点为Q．
①求证：Q为定点；

②直线MN交直线 x=-1于点D，记QD= λQM，QD= μQN .求证：λ+ μ为定值．
x2 y2
【答案】(1) - = 1； (2)①证明见解析；②证明见解析.
4 3
【解析】
【小问 1详解】
a=2 2 2
由题设 b = 3 a= 2，b= 3
x y
，则双曲线方程为 - = 1．
a 2 4 3
·12·
【小问 2详解】
①设P -1,t ，且A -2,0 ，B 2,0
∴AP的直线方程为 y= t x+2 t ，BP的直线方程为 y=- x-2 ．
3
2
x - y
2
设M x1,y1 ，N x2,
=1
y2 ，联立直线AP与双曲线方程有 4 3 ，y=t x+2
2
化简得 3-4t2 x2- 16t2x- 16t2- 12= 0 -2 x = -16t -12，由韦达定理知 1 ，
3-4t2
2 2
有 x1= 8t +6 ，代入直线有 y = 12t M 8t +6 12t．则 , .
3-4t2 1 3-4t2 3-4t2 3-4t2
4 16 16
联立直线BP与双曲线方程，化简有 3- t2 + t2x- t2- 12= 0，9 9 9
- 16 t29 -122 x = x = 8t
2+54 8t2N +54 , -36t由韦达定理知 2 ，有 2 ，代入直线有 .3- 4 t2 4t2-27 4t2-27 4t2-27 9
8t2+6 12t 8t2+54 -36t
设Q m,0 ，QM = -m, ，QN = -m, ，3-4t2 3-4t2 4t2-27 4t2-27

QM QN 8t
2+6 -36t 2
由 得 -m - 12t 8t +54 -m = 0，3-4t2 4t2-27 3-4t2 4t2-27
化简得 8t2+18 m+4 = 0，可得m=-4，则Q -4,0 ．
②设直线MN方程为 x=my- 4，则有D -1, 3 .m
x=my-4 y +y = 24m1 2 2
联立方程组 x2 y2 ，化简得 3m2-4 y2- 24my+ 36= 0，则 3m -436 ，4 - 3 =1 y1 y2= m2-4

由QD= λQM 3知 = λy 31，由QD= λQN 知 = μy2，m m
λ+ μ= 3 1 + 1 = 3 y1+y2 3 24mm y1 y2 m y1 = = 2．y2 m 36
·13·

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