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2025-2026学年人教版八年级数学下分层精练精析
21.3.1 矩形
知识点1、矩形的边、角性质
1．下列性质中，矩形不一定具有的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法不正确的是（ ）
A．矩形是平行四边形
B．平行四边形具有的性质矩形都有
C．有一个角是直角的四边形是矩形
D．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
3．如图，依据尺规作图的痕迹，计算（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在矩形中，，，以点为圆心、的长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为（ ）
A．4 B．5 C． D．
5．如图，在矩形中，，．是边上一点，将沿所在直线折叠，使得点恰好落在边上点处，则的长是（ ）
A．4 B．5 C． D．
知识点2 矩形的对角线相等
1．如图，矩形中，对角线、交于O，若，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．5
2．如图，在矩形中，对角线和相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，、是矩形的两条对角线，E是的延长线上一点，连接，若，，则的度数是__________°．
4．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，于点E，于点F．求证：．
5．如图，在矩形中，点E是的中点，延长相交于点F，连接．
(1)求证：；
(2)当平分，且时，求的长．
知识点3直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
1．如图，在中，，是边上一点，且的垂直平分线经过点，是的中点．若，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．如图，在中，，是的中点，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若．则的长为（ ）
A． B． C．1 D．
4．如图，在矩形中，M为上一点，且，点P，Q分别为，的中点，连接．若，则四边形的周长为（ ）
A．24 B．12 C．17 D．22
5．如图，等腰三角形中，，，D为边的中点，连接并延长至点P，作交于点Q，若，则________．
6．如图，在矩形中，，为的中点，连接，为的中点，连接，，若为直角，则的长为___．
7．如图，在中，连接，．
(1)尺规作图：在边上找一点E，使（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，连接，若，求证：．
8．如图，在中，，点D，E，F分别是边，，的中点．若，求的长．
9．如图，在四边形中，，对角线与相交于点O，M是边中点，N是边上一点，且．
(1)求证：N是边的中点；
(2)当，，时，求的长．
知识点4 矩形的判定
有一个角是直角的平行四边形是矩形
1．如图，在中，M是边的中点，且，，若的周长为30，则的长为（ ）
A．15 B．10 C． D．5
2．如图，已知，与、分别交于点A、C，过点A、C作两组内错角的平分线，分别交于点B、D，则四边形是_____________．
3．如图，在中，，于点D，过点A作且，连接，，与交于点E．
(1)求证：．
(2)求证：四边形是矩形．
4．如图，在中，，D为中点，四边形是平行四边形．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)过点E作于点H，若，求的长．
有三个直角的四边形是矩形
5．要判断一个四边形门框是否为矩形．在下面拟定的四个方案中，正确的方案是（ ）
A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量对角线是否互相垂直 D．测量其中三个角是否是直角
6．如图，点在的边上，，．求证：为矩形．
7．如图，四边形是平行四边形，，，，分别为四个角的平分线，四边形是矩形吗？为什么？
8．如图，在中，对角线，E为的中点，分别延长和交于点F；连接、．求证：四边形是矩形．
对角线相等的平行四边形是矩形
9．如图，已知，延长到，使，连接，，，若．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，求的长．
10．如图，在平行四边形中，，，延长至点，使．连接，交于点，连接，，．求证：四边形是矩形．
11．如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，连接，且，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求矩形的面积
1．下列条件：①；②；③；④．其中能够判定为矩形的有（ ）．
A．个 B．个 C．个 D．个
2．兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在中，，，，点，分别在边，上，连接，点，分别是，的中点，连接，若，则的最小值是（ ）
A．1.8 B．2 C． D．2.5
4．如图，在中，，于点D，于点E，连接，F，G分别为，的中点．若，则的长为_______．
5．如图，把矩形沿折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若．
(1)求证：
(2)求的长．
6．如图，在矩形中，点在上，点在上，且，连接，过B作于点G，过D作于点H，求证：．
7．（1）问题发现：如图1，若和中，，，．求证：．
（2）解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段、、之间的数量关系并说明理由．
8．如图，在中，是边上的高线，．
(1)若，，求的长．
(2)若是边上的中线，，求证：．
9．如图，在矩形中，延长至点，使得，连接交于点．求证：点是的中点．
10．如图，在长方形中，．
(1)如图①，将长方形沿翻折，使点与点重合，点落在点处，求的长；
(2)如图②，将沿翻折，若交于点，求的面积；
1．综合与实践：
综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)操作判断：
如图1，先用对折的方式确定矩形的边的中点，再沿折叠，点落在点处，把纸片展平，延长，与交点为．请写出线段与线段的数量关系______；
(2)迁移思考：
如图2，把按照（1）中的操作进行折叠和作图，请判断，这两条线段之间的数量关系，并仅就图2证明你的判断．
(3)拓展探索：
如图1，若，按照（1）中的操作进行折叠和作图，请直接写出当时的值．
2．综合与实践
(1)问题发现
如图，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接，请写出的度数及线段，之间的数量关系，并说明理由．
(2)类比探究
如图，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中边上的高，连接．
填空：的度数为______；
线段，，之间的数量关系为______．
(3)拓展延伸
在（2）的条件下，若，，则四边形的面积为______．
3．综合与实践：在数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
操作步骤：小明利用一张矩形纸操作如下：
步骤①：把矩形对折，得折痕；（如图1）
步骤②：把A折向，得；（如图2）
步骤③：沿线段折叠，得到另一条折痕，展开后可得到．（如图3）
(1)基础探究：根据以上操作，图3中与的数量关系是：______________．（直接写出结论）
(2)深入探究：在（1）的条件下，判断的形状，并说明理由．
(3)拓展探究：在（2）的条件下，如图4，过点E作于点H，交于点Q．求证：．
2025-2026学年人教版八年级数学下分层精练精析
21.3.1 矩形(解析版)
知识点1、矩形的边、角性质
1．下列性质中，矩形不一定具有的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据矩形的性质，对各选项逐一判断即可．
【详解】解：∵矩形是特殊的平行四边形．
∴矩形一定满足对边平行且相等，四个内角都是直角．
∴，，．
矩形的邻边不一定相等，只有特殊的矩形（正方形）才满足邻边相等，因此选项A不一定成立．
2．下列说法不正确的是（ ）
A．矩形是平行四边形
B．平行四边形具有的性质矩形都有
C．有一个角是直角的四边形是矩形
D．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
【答案】C
【分析】本题主要考查了矩形的定义、矩形与平行四边形的关联及性质，熟练掌握相应知识是解题的关键．
结合相关概念逐一分析选项判断即可．
【详解】解：A、矩形是特殊的平行四边形，故选项不符合题意；
B、矩形是特殊的平行四边形，则平行四边形具有的性质矩形都具有，故选项不符合题意；
C、有一个角是直角的四边形不一定是矩形，比如直角梯形，故选项符合题意；
D、矩形的定义为有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，故选项不符合题意．
故选：C．
3．如图，依据尺规作图的痕迹，计算（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了尺规作图—角平分线和线段垂直平分线，矩形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质．
根据痕迹得出平分，垂直平分，然后得出角之间的关系和直角，然后确定四边形为矩形，根据平行线的性质得出相等的角，最后利用角平分线的性质和直角三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：各交点如图所示，
根据作图痕迹可得，平分，垂直平分，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
4．如图，在矩形中，，，以点为圆心、的长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，角平分线的定义，基本作图，熟练掌握以上知识点是关键．连接，可证，得到，再根据勾股定理得到，由线段和差得到，在中，利用勾股定理建立方程求出即可得到的长．
【详解】解：如图，连接，
由作图步骤可知，是的平分线，
，
在和中，
，
，
，
在中，，，
，
，
设，则，
由勾股定理得，，
解得，即．
5．如图，在矩形中，，．是边上一点，将沿所在直线折叠，使得点恰好落在边上点处，则的长是（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理的应用．关键是利用折叠的性质得到对应边相等，再结合勾股定理逐步计算线段长度．首先根据折叠的性质得出，；然后在中，利用勾股定理求出的长度，进而得到的长度；最后设，表示出的长度，在中运用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，，，
∴，，；
∵将沿折叠，点落在边上的点处，
∴，；
在中，由勾股定理得：
，
∴；
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，即；
故选：B．
知识点2 矩形的对角线相等
1．如图，矩形中，对角线、交于O，若，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．5
【答案】D
【分析】根据矩形的性质和勾股定理得出，进而利用矩形的性质解答即可．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
，，
，
．
2．如图，在矩形中，对角线和相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的对角线相等．
根据矩形的性质求解即可．
【详解】解：四边形是矩形，
，故C符合题意，
而A、B、D根据矩形的性质均不能证明，故不符合题意
故选：C．
3．如图，、是矩形的两条对角线，E是的延长线上一点，连接，若，，则的度数是__________°．
【答案】/度
【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的顶角和底角的关系是解题的关键．
根据矩形的性质得，，由平行线性质得出，再结合已知条件得，进而得出，由此即可解题．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
∴．
故答案为：．
4．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，于点E，于点F．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据矩形性质推出，进而证明，利用全等三角形性质即可证明．
【详解】证明：四边形是矩形，
．
于点E，于点F．
．
，
，
．
5．如图，在矩形中，点E是的中点，延长相交于点F，连接．
(1)求证：；
(2)当平分，且时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）根据矩形的性质得出相等的边和角，证明，得出相等的边，证明四边形是平行四边形，即可得出结论；
（2）根据角平分线的性质证明是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴．
∴．
∵点E是的中点，
∴．
在和中，
∴．
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∴．
∵，
∴；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴．
∵平分，
∴．
∴是等腰直角三角形．
∴．
∵点E是的中点，
∴．
知识点3直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
1．如图，在中，，是边上一点，且的垂直平分线经过点，是的中点．若，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】由的垂直平分线经过点得，由，是的中点得．
【详解】解：的垂直平分线经过点，
，
，是的中点，
．
2．如图，在中，，是的中点，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对于本题，重点掌握直角三角形斜边中线逆定理：如果一个三角形一边上的中线等于该边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
先由直角三角形斜边中线逆定理得到，再根据等边三角形的判定得到为等边三角形，然后结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：是的中点，
，
是直角三角形，且，为等边三角形，
，
．
，
∴，
．
3．如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若．则的长为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】由矩形的性质和平分，容易证得，则．运用勾股定理求出，最后用直角三角形的性质求出．
【详解】解：∵四边形是矩形，，
∴，，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
在直角中，，
∴，
∵为的中点，
∴．
4．如图，在矩形中，M为上一点，且，点P，Q分别为，的中点，连接．若，则四边形的周长为（ ）
A．24 B．12 C．17 D．22
【答案】D
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，
∵点P，Q分别为，的中点，
∴，，
∵，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴四边形的周长为．
5．如图，等腰三角形中，，，D为边的中点，连接并延长至点P，作交于点Q，若，则________．
【答案】
【分析】先由等腰直角三角形的边长，结合勾股定理求出，再根据斜边中线性质得，同时计算出的长度，过点作，利用等角对等边证得为等腰直角三角形，设，用含x的式子表示出，分别在中，由勾股定理表示出，结合，最后再次利用勾股定理列方程，化简求解即可．
【详解】解：等腰三角形中，，
，
，
又为边的中点，
，
，
，
如图，过点作，
，
，
设，则，
在中，，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
即，
化简整理得：
，
解得：，（舍去）
，
．
【点睛】本题核心是利用等腰直角三角形的性质转化线段关系，通过作垂线构造特殊直角三角形，将未知线段设为未知数，再多次运用勾股定理建立方程求解；关键在于通过垂直条件和角度特征，把几何线段关系转化为代数方程，实现几何问题的代数解法，同时注意结合图形实际意义舍去无意义的解．
6．如图，在矩形中，，为的中点，连接，为的中点，连接，，若为直角，则的长为___．
【答案】
【分析】本题主要考查矩形的性质，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，三角形中位线性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
连接，过点作于点，并延长，交于点，根据矩形的性质得出，，，得到，，然后求出，进而得到，然后代入求解即可．
【详解】解：如图：连接，过点作于点，并延长，交于点，
∵四边形是矩形，，
∴，，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
7．如图，在中，连接，．
(1)尺规作图：在边上找一点E，使（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，连接，若，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）方法一（垂直平分线法）作线段的垂直平分线，与的交点即为其中点．这是最直接的方法，利用了“垂直平分线上的点到线段两端距离相等”的性质．方法二（构造等腰三角形法）通过构造等腰三角形得到等角关系，利用直角三角形斜边中线性质，确定为中点，从而满足．方法三（延长构造法）延长至，使，连接交于．利用平行四边形和全等三角形的性质，可以证明是的中点．
（2）解法一：由是中点及直角三角形斜边中线性质，得．结合，判定为等边三角形，得．由及，算出．利用平角，计算，证得结论．解法二：由平行四边形性质及，得，推出．用证明．由全等三角形对应角相等，得，从而证得结论．
【详解】（1）解：解法一，如图①，点E即为所求作
方法一：分别以点和点为圆心，用大于的长度为半径，在线段的两侧画弧，两弧分别相交于两点；连接这两个交点，得到的直线这条垂直平分线与线段的交点，就是的中点；连接，则点即为所求；
∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴，即，为直角三角形．
∵是的中点（由垂直平分线作图得到），
在中，斜边中线．
∴．
解法二，如图②，点E即为所求作．
方法二：以为圆心，任意长为半径画弧，交、于两点；再以为圆心，相同长度为半径画弧，交于一点；然后以该交点为圆心，截取两弧之间的距离，画弧交前弧于一点，连接与该交点并延长，交于，即为所求；
，
，
是平行四边形，
，，
又，
，
即，即，
在中
，
，
，
，
即E是中点，
在中，E是中点
解法三，如图③，点E即为所求作．
方法三：延长线段，以为圆心，长为半径画弧，交延长线于点，此时，连接，交于点，这个点即为所求．
∵是平行四边形，
∴且，．
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵平行四边形的性质，对角线互相平分，
∴是的中点，即．
∵为直角三角形中，
∴是斜边的中线，
所以．
∴，
（2）证明：解法一，如图④，
∵在中，E是的中点，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，即．
解法二，如图④，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，即．
8．如图，在中，，点D，E，F分别是边，，的中点．若，求的长．
【答案】10
【分析】根据三角形中位线定理得到，根据直角三角形的性质得到．
【详解】解：∵点D，E分别是边，的中点，，
∴．
∵在中，，点F是边的中点，
∴．
9．如图，在四边形中，，对角线与相交于点O，M是边中点，N是边上一点，且．
(1)求证：N是边的中点；
(2)当，，时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)的长是．
【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的性质等知识．
（1）连接．由直角三角形斜边上中线的性质可得，由等腰三角形的性质即可证明结果；
（2）由及可得，再由得，在中由含30度角直角三角形的性质结合勾股定理即可求得的长．
【详解】（1）证明：如图，连接．
，点M、点N分别是边、的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴N是边的中点；
（2）解：，，
，
，
，
，
，，
，
在中，，
∴，
∴，
∴，
答：的长是．
知识点4 矩形的判定
有一个角是直角的平行四边形是矩形
1．如图，在中，M是边的中点，且，，若的周长为30，则的长为（ ）
A．15 B．10 C． D．5
【答案】D
【分析】先证明，根据平行四边形的性质，得，再证明，得到矩形，解答即可．
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形性质，三角形全等的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵在中，M是边的中点，
∴，，
∴，，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵的周长为30，
∴，
解得，
故选：D．
2．如图，已知，与、分别交于点A、C，过点A、C作两组内错角的平分线，分别交于点B、D，则四边形是_____________．
【答案】矩形
【分析】先根据角平分线的定义证明，，再根据平行线的性质证明，即可根据矩形的判定得出结论．
【详解】解：平分，
，
同理，，
，
，
同理，
，
，
，
，
四边形是矩形．
3．如图，在中，，于点D，过点A作且，连接，，与交于点E．
(1)求证：．
(2)求证：四边形是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得，再根据，由平行线的性质得，即可证明，由全等三角形的性质即可得出结论；
（2）证出四边形是平行四边形，再由得，则可得出结论．
【详解】（1）证明：∵在中，，于点D，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
4．如图，在中，，D为中点，四边形是平行四边形．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)过点E作于点H，若，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）通过等腰三角形三线合一，可得，，结合四边形是平行四边形，，，从而得证；
（2）不妨设，那么，先求得，接着通过外角求得，得到为等腰直角三角形，结合矩形的性质以及勾股定理，可求得，最后通过可求得答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，D为的中点，
∴，．
∴，，
∴四边形是平行四边形．
又∵
∴平行四边形是矩形．
（2）解：不妨设，那么，
∴，
∵四边形是矩形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
有三个直角的四边形是矩形
5．要判断一个四边形门框是否为矩形．在下面拟定的四个方案中，正确的方案是（ ）
A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量对角线是否互相垂直 D．测量其中三个角是否是直角
【答案】D
【分析】本题主要考查了矩形的判定，解题的关键是熟记矩形的判定定理，并会灵活运用．
根据矩形的判定定理判断即可．
【详解】解：选项A：对角线互相平分得到该四边形是平行四边形，不一定是矩形，故A错误，不符合题意；
选项B：两组对边分别相等得到该四边形是平行四边形，不一定是矩形，故B错误，不符合题意；
选项C：对角线是否互相垂直不能判定四边形为矩形，故C错误，不符合题意；
选项D：根据四边形内角和定理，三个角是直角，则另一个角也是直角，即四个角均为直角，可判定四边形为矩形，故D正确，符合题意；
故选D．
6．如图，点在的边上，，．求证：为矩形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及矩形的判定，解题的关键是利用已知条件证明，进而得到．
利用平行四边形对边相等及邻角互补的性质，结合与，通过证明，得到，再由推出，从而判定平行四边形为矩形．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
．
在和中，
，
，
又，
，
为矩形．
7．如图，四边形是平行四边形，，，，分别为四个角的平分线，四边形是矩形吗？为什么？
【答案】四边形是矩形，理由见解析
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义可得，由三角形内角和定理并结合对顶角相等可得，同理求出，即可得证．
【详解】解：四边形是矩形．理由如下：
四边形是平行四边形，
，，
，，
，是，的平分线，
∴，，
，
∴，
．
，是，的平分线，
∴，，
，
∴，
同理可得，
四边形是矩形．
8．如图，在中，对角线，E为的中点，分别延长和交于点F；连接、．求证：四边形是矩形．
【答案】见解析
【分析】要证明四边形是矩形，需先证明其为平行四边形，再证明有一个内角为直角．利用平行四边形的对边平行且相等性质，结合三角形全等得到对边相等且平行以证平行四边形；再依据及平行线的性质得到直角，从而完成矩形的证明．
【详解】证明：∵ 四边形是平行四边形，
∴，（平行四边形对边平行且相等）．
又∵ 点在的延长线上，
∴，
∴，（两直线平行，内错角相等）．
∵ E为的中点，
∴．
在和中，
∴，
∴．
又∵，
∴ 四边形是平行四边形．
∵，
∴．
又∵（平行四边形性质），
∴（两直线平行，内错角相等）．
∵ 四边形是平行四边形，且，
∴ 四边形是矩形．
对角线相等的平行四边形是矩形
9．如图，已知，延长到，使，连接，，，若．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（）由四边形是平行四边形，则，，又得四边形是平行四边形及，结合可得，由此可得平行四边形是矩形；
（）连接，由（）得，，，所以，则，又四边形是矩形，故有，，然后通过勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：如图，连接，
由（）得，，，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
10．如图，在平行四边形中，，，延长至点，使．连接，交于点，连接，，．求证：四边形是矩形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查矩形的判定、平行四边形的性质及判定、等腰三角形的判定等，先证明四边形是平行四边形，利用，，求得，即可证明结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，．
∵，
∴．
∴四边形是平行四边形．
∴，．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴四边形是矩形．
11．如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，连接，且，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求矩形的面积
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题主要考查了矩形的性质和判定、等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
（1）首先根据为和的中点，得出四边形是平行四边形，在中，结合，得到，可证出结论．
（2）根据矩形性质求出，求出，根据直角三角形的性质求出即可．
【详解】（1）证明：∵是、的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∵，
∴，
又 ∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
，
∵四边形是矩形，
，
，
，
．
1．下列条件：①；②；③；④．其中能够判定为矩形的有（ ）．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的性质与矩形的判定定理，结合矩形的判定条件逐一分析每个条件是否能判定平行四边形为矩形即可．
【详解】解：①∵四边形是平行四边形，
∴，无法判定其为矩形；
②∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴为矩形；
③∵，四边形是平行四边形，
∴为矩形；
④∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴为矩形；
综上，能够判定为矩形的有个．
故选：C．
2．兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形”即可求解．
【详解】解：A、对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意；
B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故该选项不符合题意；
C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意；
D、图形中无法判断角是直角，不一定是矩形，故该选项符合题意；
3．如图，在中，，，，点，分别在边，上，连接，点，分别是，的中点，连接，若，则的最小值是（ ）
A．1.8 B．2 C． D．2.5
【答案】B
【分析】本题主要考查勾股定理，直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，两点间线段最短等，掌握点三点共线时，最小是解题的关键．
连接，进而得到，再由点三点共线时，最小进行求解即可．
【详解】解: 连接，
在中, , , ，
，
点为的中点，
，
分别是、边上的点, 且，
，
点在以点为圆心，半径为的圆弧上运动，
且当点三点共线时，最小，
，
故选：B．
4．如图，在中，，于点D，于点E，连接，F，G分别为，的中点．若，则的长为_______．
【答案】
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得到，根据三线合一得到，，然后利用勾股定理计算的长即可．
【详解】解：连接，，
∵，，，F为的中点，
∴，，即，
∵G为的中点，
∴，，
∴．
5．如图，把矩形沿折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若．
(1)求证：
(2)求的长．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）利用折叠的性质得到，再由矩形的性质求得，通过等量代换证得；
（2）利用矩形的性质和已知条件得到各边长的值，再由折叠的性质得到，通过设未知数，利用勾股定理列出方程并求解未知数，进而求得的值，最后由（1）的结论即可得到结果．
【详解】（1）证明：∵矩形沿折叠，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：在矩形中，，
∴，，
又∵矩形沿折叠，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，解得，
∴，
由（1）知，，
∴．
6．如图，在矩形中，点在上，点在上，且，连接，过B作于点G，过D作于点H，求证：．
【答案】见详解
【分析】证明，即可证出．
【详解】证明：在矩形中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
7．（1）问题发现：如图1，若和中，，，．求证：．
（2）解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段、、之间的数量关系并说明理由．
【答案】（1）见解析（2）；，理由见解析
【分析】（1）根据“”证明，得出；
（2）证明，得出，进一步得到，再证明，即可得到．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴；
（2）；，理由如下；
∵和均为等腰直角三角形，
∴，，
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
【点睛】此为“手拉手模型”，注意根据“”找出图形中一对全等三角形．
8．如图，在中，是边上的高线，．
(1)若，，求的长．
(2)若是边上的中线，，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质．
（1）根据已知条件分别求得，进而根据勾股定理求得，即可；
（2）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，根据已知可得，即可得出，进而根据等腰三角形的性质，即可得证．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∵是边上的高线，
∴，
在中，；
（2）证明：∵是边上的高线，
∴，
∵是边上的中线，
∴，
又∵．
∴，
∵，
∴．
9．如图，在矩形中，延长至点，使得，连接交于点．求证：点是的中点．
【答案】见解析
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，根据矩形的性质得出，结合已知条件得出，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证．
【详解】证明：四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
，
，即点是的中点．
10．如图，在长方形中，．
(1)如图①，将长方形沿翻折，使点与点重合，点落在点处，求的长；
(2)如图②，将沿翻折，若交于点，求的面积；
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练运用这些性质和定理是解答本题的关键．
（1）利用折叠的性质得到，结合矩形的性质，在直角三角形中通过勾股定理建立方程求解的长度；
（2）先根据折叠和矩形的性质证明三角形全等，得到，再在直角三角形中利用勾股定理求出的长度，最后结合三角形面积公式计算的面积．
【详解】（1）解：根据折叠的性质，得，
四边形是长方形，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
；
（2）解：四边形是长方形，
，
由折叠的性质得，
又，
，
在和中，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
，
，
．
1．综合与实践：
综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)操作判断：
如图1，先用对折的方式确定矩形的边的中点，再沿折叠，点落在点处，把纸片展平，延长，与交点为．请写出线段与线段的数量关系______；
(2)迁移思考：
如图2，把按照（1）中的操作进行折叠和作图，请判断，这两条线段之间的数量关系，并仅就图2证明你的判断．
(3)拓展探索：
如图1，若，按照（1）中的操作进行折叠和作图，请直接写出当时的值．
【答案】(1)；
(2)，证明见解析；
(3)．
【分析】（1）连接，证，然后得出结论即可；
（2）连接，证是等腰三角形，然后得出结论即可；
（3）设的长为，则，，利用勾股定理求出，然后求出的值即可．
本题主要考查四边形的综合题，涉及勾股定理，全等三角形的判定与性质，矩形和平行四边形的性质，等腰三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：（1）连接，
四边形是矩形，
，
点是的中点，
，
由折叠知，，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：，证明如下：
连接，
四边形是平行四边形，
，
点是的中点，
，
由折叠知，，，，
，，
，
，
，
；
（3）解：四边形是矩形，，
，
，
令，则，
由（1）知，
，
解得，
即的长为．
2．综合与实践
(1)问题发现
如图，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接，请写出的度数及线段，之间的数量关系，并说明理由．
(2)类比探究
如图，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中边上的高，连接．
填空：的度数为______；
线段，，之间的数量关系为______．
(3)拓展延伸
在（2）的条件下，若，，则四边形的面积为______．
【答案】(1)，，理由见解析
(2)①；②
(3)
【分析】（1）先得出，进而判断出，即可得出结论；
（2）①同（1）的方法，即可得出结论；②由得出，再判断出，即可得出结论．
（3）根据（2）的结论求得，再根据四边形的面积的面积的面积，通过计算即可求解．
【详解】（1）解： ∵和均为等边三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：同（1）的方法得，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
②，
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由（2）得： ，
∵均为等腰直角三角形，为中边上的高，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积的面积+的面积
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形全等的判定与性质、三角形面积等知识；熟练掌握等边三角形和等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
3．综合与实践：在数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
操作步骤：小明利用一张矩形纸操作如下：
步骤①：把矩形对折，得折痕；（如图1）
步骤②：把A折向，得；（如图2）
步骤③：沿线段折叠，得到另一条折痕，展开后可得到．（如图3）
(1)基础探究：根据以上操作，图3中与的数量关系是：______________．（直接写出结论）
(2)深入探究：在（1）的条件下，判断的形状，并说明理由．
(3)拓展探究：在（2）的条件下，如图4，过点E作于点H，交于点Q．求证：．
【答案】(1)
(2)是等边三角形．理由见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据矩形的性质，折叠的性质得到点是中点，点是的中点，，再证明，即可求解；
（2）根据折叠得到，，根据平行线的性质得到，结合（1）的结论得到，由此即可求解；
（3）根据三线合一得到，，，，根据含的直角三角形得到，再证明，得到，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵把矩形对折，得折痕，
∴，
∴点是中点，点是的中点，，
如图所示，
把A折向，得，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：是等边三角形，理由如下，
如图所示，根据折叠得到，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（3）证明：∵是等边三角形，，
∴，，，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查矩形的折叠，直角三角形斜边中线等于斜边一半，等边三角形的判定和性质，三线合一，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识的综合运用，数形结合分析思想是关键．
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