资源简介

2024-2025学年上海市闵行区莘光学校七年级（下）期中数学试卷
考试注意事项：
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题（共6题，每题2分，共12分）.
1．已知命题“若a＞b，则ac＞bc”，下列判断正确的是（　　）
A．该命题及其逆命题都是真命题
B．该命题是真命题，其逆命题是假命题
C．该命题是假命题，其逆命题是真命题
D．该命题及其逆命题都是假命题
2．下列说法错误的是（　　）
A．不等式﹣x＞2的解集为x＜﹣2
B．不等式x＜1的整数解有无数个
C．﹣1是不等式2x+1＞0的一个解
D．不等式x≤4的解一定是不等式x＜5的解
3．已知关于x的方程的解是正数，那么m的取值范围为（　　）
A．m＞﹣6且m≠2 B．m＜6
C．m＞﹣6且m≠﹣4 D．m＜6且m≠﹣2
4．长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．健康骑行越来越受到大众的喜欢，某自行车的示意图如图所示，其中AB∥CD，AE∥BD，若∠CDB＝∠ACD＝70°，则∠EAC的度数为（　　）
A．60° B．50° C．40° D．30°
6．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、BC上的点，且AD＝2BD，BE＝CE，如果S△ABC＝6，那么S四边形DOEB＝（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分）
7．x的与﹣4的差不小于2，用不等式表示为 　 　 ．
8．已知（m+2）x|m|﹣1+3＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为 　 　 ．
9．如果分式的值是非负数，那么x的取值范围是　 　 ．
10．已知关于x的不等式组恰好有三个整数解，则m的取值范围是 　 　 ．
11．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图的程序进行计算，规定从“输入一个值x”到“结果是否＞37”为一次程序操作，已知某同学输入x后经过了两次操作停止，则x的取值范围为 　 　 ．
12．用反证法证明“三角形的三个内角中至多有一个钝角”时，应假设 　 　 ．
13．如图，△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，DE∥AC，交BC于点E，∠B＝20°，∠ADC＝46°，则∠CED的度数为 　 　 ．
14．如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，AB＝7，BD＝11，顶点A、B、C分别与顶点C、D、E分别对应，则DE＝ 　 　 ．
15．将直角三角板如图所示放置，∠ABC＝60°，∠ACB＝90°，∠A＝30°，直线CE∥AB，BE平分∠ABC，在直线CE上确定一点D，满足∠BDC＝45°，则∠EBD＝　 　 ．
16．西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到东部的重要任务．某工程队在管道铺设到某段落的B点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍，不得不调整铺设路线．新的铺设路线在B的南偏东30°方向上，且∠BOC＝50°，若要回到最初的铺设方向上，必须保证∠OCD＝　 　 °．
17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE平分∠CAD，交BC于点E，过点E作EF∥AC，分别交AB、AD于点F、G．则下列结论：①∠BAC＝90°；②∠AEF＝∠BEF；③∠BAE＝∠BEA；④∠B＝2∠AEF，其中正确的有 　 　 ．
18．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝80°，点D为AB边中点，点E为射线AC上一动点，将△ADE沿DE折叠，点A落在点A'处，当A'D与BC平行时，∠AEA'的度数为 　 　 ．
三、简答题（本大题共4题，第19、20、21题，每小题6分，第22题8分，共26分）
19．（6分）解下列不等式：，并求出满足不等式的非负整数解．
20．（6分）解不等式组并将它的解集表示在数轴上，同时求出不等式组所有整数解的和．
21．（6分）如图，按要求画图并回答问题：
（1）过点A画点A到直线BC的垂线段，垂足为D；
（2）过点D画线段DE∥AB，交AC的延长线于点E；
（3）∠E的同位角是 　 　 ，内错角是 　 　 ；
（4）在线段AB，AC，AD中，最短的是 　 　 ，理由为 　 　 ．
22．（8分）如图，已知AB∥CD，射线AH交BC于点F，交CD于点D，从D点引一条射线DE，若∠1＝∠2，求证：∠B+∠CDE＝180°．
证明：∵∠1＝∠2（已知），且∠1＝∠BFD（ 　 　 ），
∴∠BFD＝　 　 （ 　 　 ），
∴BC∥DE（ 　 　 ），
∴∠C+　 　 ＝180°（ 　 　 ），
又∵AB∥CD（已知），
∴∠B＝　 　 （ 　 　 ），
∴∠B+∠CDE＝180°．
四、解答题（本大题共3题，其中23题7分，24题8分，25题7分，共22分）
23．（7分）如图，在三角形ABC中，D、E是AB上的点，F是BC上一点，G、H是AC上的点，FD⊥AB，连接EF、EH、EG．有下列三个条件：①EG⊥AB；②∠1＝∠2；③EH∥BC．
（1）请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论，写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题；
（2）请你选择（1）中的一个真命题进行证明．
24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
（3）若把直线FD绕点F旋转，直线DF和直线BE相交于点M，当DF和三角形ABC的一边平行时，请直接写出∠FME的度数．
25．（7分）根据以下学习素材，完成下列两个任务：
学习素材
素材一 某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式．
素材二 精包装 简包装
每盒2斤，每盒售价25元 每盒3斤，每盒售价35元
问题解决
任务一 在活动中，学生共卖出了700斤草莓，销售总收入为8500元，请问精包装和简包装各销售了多少盒？
任务二 现在需要对75斤草莓进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这75斤草莓整盒分装完．每个精包装盒的成本为1元，每个简包装盒的成本为0.5元．若要将购买包装盒的成本控制在18元以内，请你设计出一种符合要求的分装方案，并说明理由．
五、综合题（本大题共2题，其中26题8分，27题8分，共16分）
26．（8分）问题提出：射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，MN是平面镜，若入射光线AO与水平镜面夹角为∠1，反射光线OB与水平镜面夹角为∠2，则∠1＝∠2．
（1）若∠AOB＝94°，则直接写出∠1的大小．
数学探究：如图2，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．
（2）完成如下问题：
①若∠1＝55°，直接写出∠4的度数；
②求证：AB∥CD；
拓展运用：有两块平面镜OM，ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD，光线AB与CD相交于点E，如图3，图4．若∠MON＝m°，∠AED＝n°，直接写出m，n满足的数量关系．
27．（8分）△ABC中，∠C＝45°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是直线AB上一动点，连接PD，PE，设∠DPE＝α．
（1）如图1，若点P在线段BA上，且α＝30°，则∠PEB+∠PDA＝　 　 °；
（2）当点P在线段BA上运动时，依题意补全图2，用等式表示∠PEB与∠PDA的数量关系（用含α的式子表示），并证明；
（3）当点P在线段BA的延长线上运动时，请直接用等式表示∠PEB与∠PDA的数量关系（用含α的式子表示）．
参考答案
一、选择题（共6题，每题2分，共12分）
1．已知命题“若a＞b，则ac＞bc”，下列判断正确的是（　　）
A．该命题及其逆命题都是真命题
B．该命题是真命题，其逆命题是假命题
C．该命题是假命题，其逆命题是真命题
D．该命题及其逆命题都是假命题
解：若a＞b，c＝0，则ac＝bc，所以原命题错误；
若ac＞bc（c≠0），当c＞0时，不等式两边同时除以c可得：a＞b；
当c＜0时，不等式两边同时除以c可得：a＜b，所以其逆命题是假命题，
故选：D．
2．下列说法错误的是（　　）
A．不等式﹣x＞2的解集为x＜﹣2
B．不等式x＜1的整数解有无数个
C．﹣1是不等式2x+1＞0的一个解
D．不等式x≤4的解一定是不等式x＜5的解
解：A、∵﹣x＞2，∴x＜﹣2，正确，故此选项不符合题意；
B、不等式x＜1的整数解有无数个，正确，故此选项不符合题意；
C、∵2x+1＞0，∴，又，所以﹣1是不等式2x+1＞0的一个解说法错误，故此选项符合题意；
D、不等式x≤4的解一定是不等式x＜5的解，正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
3．已知关于x的方程的解是正数，那么m的取值范围为（　　）
A．m＞﹣6且m≠2 B．m＜6
C．m＞﹣6且m≠﹣4 D．m＜6且m≠﹣2
解：将分式方程转化为整式方程得：2x+m＝3x﹣6，
解得：x＝m+6．
∵方程的解为正数，
∴m+6＞0，解得：m＞﹣6．
∵分式的分母不能为0，
∴x﹣2≠0，
∴x≠2，即m+6≠2．
∴m≠﹣4．
故m＞﹣6且m≠﹣4．
故选：C．
4．长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
解：①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；
②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；
③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；
④长度分别为6、3、3，不能构成三角形；
综上所述，得到三角形的最长边长为5．
故选：B．
5．健康骑行越来越受到大众的喜欢，某自行车的示意图如图所示，其中AB∥CD，AE∥BD，若∠CDB＝∠ACD＝70°，则∠EAC的度数为（　　）
A．60° B．50° C．40° D．30°
解：∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠CAB＝180°，∠CDB+∠ABD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠CDB＝∠ACD＝70°，
∴∠ABD＝110°，∠CAB＝110°，
∵AE∥BD，
∴∠BAE+∠ABD＝180°，
∴∠BAE＝70°，
∴∠EAC＝∠CAB﹣∠BAE＝110°﹣70°＝40°．
所以∠EAC的度数为40°．
故选：C．
6．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、BC上的点，且AD＝2BD，BE＝CE，如果S△ABC＝6，那么S四边形DOEB＝（　　）
A． B． C． D．
解：如图，连接OB，
设S△BOE＝a，S△BOD＝b，
∵AD＝2BD，S△ABC＝6，
∴S△AOD＝2S△BOD＝2b，，
∵BE＝CE，S△ABC＝6，
∴S△COE＝S△BOE＝a，，
∴，
解得，
∴，
故选：B．
二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分）
7．x的与﹣4的差不小于2，用不等式表示为 　　 ．
解：x的与﹣4的差不小于2，则：
x的与﹣4的差表示为，不小于2，即大于等于2，
故答案为：．
8．已知（m+2）x|m|﹣1+3＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为 　2　 ．
解：依题意得：|m|﹣1＝1＝1且m+2≠0，
解得m＝2．
故答案为：2．
9．如果分式的值是非负数，那么x的取值范围是　　 ．
解：由条件可知7﹣5x＞0，
解得：，
故答案为：．
10．已知关于x的不等式组恰好有三个整数解，则m的取值范围是 　﹣3≤m＜﹣2　 ．
解：由x﹣m＞0得，x＞m，
由1﹣2x＞x﹣2得，x＜1，
因为该不等式组恰好有三个整数解，
则这三个整数解为0，﹣1，﹣2，
所以﹣3≤m＜﹣2．
故答案为：﹣3≤m＜﹣2．
11．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图的程序进行计算，规定从“输入一个值x”到“结果是否＞37”为一次程序操作，已知某同学输入x后经过了两次操作停止，则x的取值范围为 　5＜x≤13　 ．
解：依题意得，
解得5＜x≤13，
∴x的取值范围为5＜x≤13．
故答案为：5＜x≤13．
12．用反证法证明“三角形的三个内角中至多有一个钝角”时，应假设 　一个三角形的三个内角中，至少有两个钝角　 ．
解：用反证法证明“三角形中至多有一个钝角”时，应先假设一个三角形的三个内角中，有两个或三个钝角，即一个三角形的三个内角中，至少有两个钝角．
故答案为：一个三角形的三个内角中，至少有两个钝角．
13．如图，△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，DE∥AC，交BC于点E，∠B＝20°，∠ADC＝46°，则∠CED的度数为 　128°　 ．
解：∵∠ADC是△BCD的外角，
∴∠BCD＝∠ADC﹣∠B＝46°﹣20°＝26°，
∵CD是∠ACB的角平分线，
∴∠ACB＝2∠BCD＝2×26°＝52°，
∵DE∥AC，
∴∠CED＝180°﹣∠ACB＝180°﹣52°＝128°．
故答案为：128°．
14．如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，AB＝7，BD＝11，顶点A、B、C分别与顶点C、D、E分别对应，则DE＝ 　4　 ．
解：∵△ABC≌△CDE，顶点A、B、C分别与顶点C、D、E分别对应，
∴AB＝CD＝7，BC＝DE，
∵点B、C、D在同一直线上，BD＝11，
∴BC＝BD﹣CD＝11﹣7＝4，
∴DE＝4，
故答案为：4．
15．将直角三角板如图所示放置，∠ABC＝60°，∠ACB＝90°，∠A＝30°，直线CE∥AB，BE平分∠ABC，在直线CE上确定一点D，满足∠BDC＝45°，则∠EBD＝　15°或105°　 ．
解：D在C的左边，如图1：
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE∠ABC＝30°，
∵CE∥AB，
∴∠ABD＝180°﹣∠BDC＝135°，
∴∠EBD＝135°﹣30°＝105°；
D在C的右边，如图2：
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE∠ABC＝30°，
∵CE∥AB，
∴∠ABD＝∠BDC＝45°，
∴∠EBD＝45°﹣30°＝15°．
故∠EBD＝15°或105°．
故答案为：15°或105°．
16．西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到东部的重要任务．某工程队在管道铺设到某段落的B点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍，不得不调整铺设路线．新的铺设路线在B的南偏东30°方向上，且∠BOC＝50°，若要回到最初的铺设方向上，必须保证∠OCD＝　110　 °．
解：过点O作OF⊥AB交AB延长线于F，过点C作CH⊥AB交AB延长线于H，如图所示：
依题意得：BE⊥AB，∠EBO＝30°，∠BOC＝50°，CD∥AB，
∴BE∥OF∥CH，
∴∠BOF＝∠EBO＝30°，∠HCO＝∠FOC，CH⊥CD，
∴∠HCD＝90°，∠FOC＝∠BOC﹣∠BOF＝50°﹣30°＝20°，
∴∠HCO＝∠FOC＝20°，
∴∠OCD＝∠HCO+∠HCD＝20°+90°＝110°．
故答案为：110．
17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE平分∠CAD，交BC于点E，过点E作EF∥AC，分别交AB、AD于点F、G．则下列结论：①∠BAC＝90°；②∠AEF＝∠BEF；③∠BAE＝∠BEA；④∠B＝2∠AEF，其中正确的有 　①③④　 ．
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠C+∠CAD＝90°，
∵∠BAD＝∠C，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠CAB＝90°，故①正确，
∵∠BAE＝∠BAD+∠DAE，∠DAE＝∠CAE，∠BAD＝∠C，
∴∠BAE＝∠C+∠CAE＝∠BEA，故③正确，
∵EF∥AC，
∴∠AEF＝∠CAE，
∵∠CAD＝2∠CAE，
∴∠CAD＝2∠AEF，
∵∠CAD+∠BAD＝90°，∠BAD+∠B＝90°，
∴∠B＝∠CAD＝2∠AEF，故④正确，
无法判定∠AEF＝∠BEF，故②错误；
故答案为：①③④．
18．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝80°，点D为AB边中点，点E为射线AC上一动点，将△ADE沿DE折叠，点A落在点A'处，当A'D与BC平行时，∠AEA'的度数为 　50°或130°　 ．
解：∵∠A＝30°，∠C＝80°，
∴∠B＝180°﹣30°﹣80°＝70°，
当点A′在AC右侧时，如图所示，
∵A′D∥BC，
∴∠A′DA＝∠B＝70°，
由翻折可知，∠A′DE＝∠ADE＝35°，∠A′ED＝∠AED＝180°﹣30°﹣35°＝115°，．
∴∠AEA'＝360°﹣115°﹣115°＝130°．
当点A′在AB的左边时，如图所示，
∵A′D∥BC，
∴∠A′DB＝∠B＝70°，
∴∠ADA′＝180°﹣70°＝110°，
由翻折可知，∠A′DE＝∠ADE（360°﹣110°）＝125°，
∴∠AED＝180°﹣30°﹣125°＝25°．
∴∠AEA′＝2∠AED＝50°，
综上所述，∠AEA′的度数为：50°或130°．
故答案为：50°或130°．
三、简答题（本大题共4题，第19、20、21题，每小题6分，第22题8分，共26分）
19．（6分）解下列不等式：，并求出满足不等式的非负整数解．
解：∵，
∴2（2x+1）﹣（x﹣1）＜6，
4x+2﹣x+1＜6，
4x﹣x＜6﹣2﹣1，
3x＜3，
则x＜1，
所以不等式组的非负整数解为0．
20．（6分）解不等式组并将它的解集表示在数轴上，同时求出不等式组所有整数解的和．
解：解①得：x≤2，
解②得：x≥﹣1，
把①②的解集表示在同一个数轴上为：
∴不等式组的解集为：﹣1≤x≤2，
∴x的整数解为：﹣1，0，1，2，
∴它们的和为：2．
21．（6分）如图，按要求画图并回答问题：
（1）过点A画点A到直线BC的垂线段，垂足为D；
（2）过点D画线段DE∥AB，交AC的延长线于点E；
（3）∠E的同位角是 　∠ACD ，内错角是 　∠CAB ；
（4）在线段AB，AC，AD中，最短的是 AD ，理由为 　垂线段最短　 ．
解：（1）如图所示，AD即为所求，
（2）如图所示，DE∥AB，
（3）∠E的同位角是∠ACD，内错角是∠CAB，
故答案为：∠ACD，∠CAB．
（4）在线段AB，AC，AD中，最短的是AD，理由为垂线段最短，
故答案为：AD，垂线段最短．
22．（8分）如图，已知AB∥CD，射线AH交BC于点F，交CD于点D，从D点引一条射线DE，若∠1＝∠2，求证：∠B+∠CDE＝180°．
证明：∵∠1＝∠2（已知），且∠1＝∠BFD（ 　对顶角相等　 ），
∴∠BFD＝　∠2　 （ 　等量代换　 ），
∴BC∥DE（ 　同位相等，两直线平行　 ），
∴∠C+　∠CDE ＝180°（ 　两直线平行，同旁内角互补　 ），
又∵AB∥CD（已知），
∴∠B＝　∠C （ 　两直线平行，内错角相等　 ），
∴∠B+∠CDE＝180°．
解：∵∠1＝∠2（已知），且∠1＝∠BFD（对顶角相等），
∴∠BFD＝∠2（等量代换），
∴BC∥DE（同位角相等，两直线平行），
∴∠C+∠CDE＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
又∵AB∥CD（已知），
∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等），
∴∠B+∠CDE＝180°．
四、解答题（本大题共3题，其中23题7分，24题8分，25题7分，共22分）
23．（7分）如图，在三角形ABC中，D、E是AB上的点，F是BC上一点，G、H是AC上的点，FD⊥AB，连接EF、EH、EG．有下列三个条件：①EG⊥AB；②∠1＝∠2；③EH∥BC．
（1）请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论，写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题；
（2）请你选择（1）中的一个真命题进行证明．
解：（1）命题一：已知FD⊥AB，
若EG⊥AB，EH∥BC，则∠1＝∠2；真命题．
命题二：已知FD⊥AB，
若EH∥BC，∠1＝∠2，则EG⊥AB；真命题．
命题三：已知FD⊥AB，
若EG⊥AB，∠1＝∠2，则EH∥BC；真命题．
（2）选择命题一．
证明：∵FD⊥AB，EG⊥AB，
∴∠BDF＝∠BEG＝90°，
∴DF∥EG，
∴∠GEF＝∠DFE．
又∵EH∥BC，
∴∠HEF＝∠BFE，
∴∠HEF﹣∠GEF＝∠BFE﹣∠DFE，
∴∠1＝∠2．
选择命题二：延长EG、BC交于点M，
∵FD⊥AB，
∴∠BDF＝90°，
又∵EH∥BC，
∴∠2＝∠M，
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠M，
∴FD∥EM，
∴∠MEB＝∠BDF，
∴EG⊥AB；
选择命题三：延长EG、BC交于点M，
∵FD⊥AB，EG⊥AB，
∴∠BDF＝∠BEG＝90°，
∴DF∥EG，
∴∠1＝∠M，
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠M，
∴EH∥BC．
24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
（3）若把直线FD绕点F旋转，直线DF和直线BE相交于点M，当DF和三角形ABC的一边平行时，请直接写出∠FME的度数．
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，
∴∠CBD＝130°，
∵BE是∠CBD平分线，
∴∠CBE∠CBD＝65°；
（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，
∴∠CEB＝90°﹣65°＝25°，
∵DF∥BE，
∴∠F＝∠CEB＝25°；
（3）当FD与BC平行时，如图：
则∠FME＝∠CBE，
∴∠FME＝65°，
当FM与AB平行时，如图：
则∠FME＝∠ABE＝115°，
∵F在AC上，
∴FM与AC平行不存在，
综上：∠FME＝65°或115°．
25．（7分）根据以下学习素材，完成下列两个任务：
学习素材
素材一 某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式．
素材二 精包装 简包装
每盒2斤，每盒售价25元 每盒3斤，每盒售价35元
问题解决
任务一 在活动中，学生共卖出了700斤草莓，销售总收入为8500元，请问精包装和简包装各销售了多少盒？
任务二 现在需要对75斤草莓进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这75斤草莓整盒分装完．每个精包装盒的成本为1元，每个简包装盒的成本为0.5元．若要将购买包装盒的成本控制在18元以内，请你设计出一种符合要求的分装方案，并说明理由．
解：任务一：设精包装销售了x盒，简包装销售了y盒，
根据题意得：，
解得：．
答：精包装销售了200盒，简包装销售了100盒；
任务二：分装成3盒精包装，23盒简包装（或分装成6盒精包装，21盒简包装），理由如下：
设可以分装成m盒精包装，则分装成盒简包装，
根据题意得：m+0.518，
解得：m，
又∵m，均为正整数，
∴m可以为3，6，
∴共有2种分装方案，
方案1：分装成3盒精包装，23盒简包装；
方案2：分装成6盒精包装，21盒简包装．
答：分装成3盒精包装，23盒简包装（或分装成6盒精包装，21盒简包装）．
五、综合题（本大题共2题，其中26题8分，27题8分，共16分）
26．（8分）问题提出：射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，MN是平面镜，若入射光线AO与水平镜面夹角为∠1，反射光线OB与水平镜面夹角为∠2，则∠1＝∠2．
（1）若∠AOB＝94°，则直接写出∠1的大小．
数学探究：如图2，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．
（2）完成如下问题：
①若∠1＝55°，直接写出∠4的度数；
②求证：AB∥CD；
拓展运用：有两块平面镜OM，ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD，光线AB与CD相交于点E，如图3，图4．若∠MON＝m°，∠AED＝n°，直接写出m，n满足的数量关系．
【解答】（1）解：∵∠1+∠2+∠AOB＝180°，∠1＝∠2，
∴2∠1+∠AOB＝180°，即2∠1＝180°﹣∠AOB，
∵∠AOB＝94°，
∴∠1（180°﹣94°）＝43°；
（2）①解：∵∠1＝55°，
∴∠2＝∠1＝55°，
∵OM⊥ON，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠4＝∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣55°＝35°；
②证明：同理∠ABC＝180°﹣2∠2，∠DCB＝180°﹣2∠3，
∴∠ABC+∠DCB＝360°﹣2（∠2+∠3），
∵∠2+∠3＝90°，
∴∠ABC+∠DCB＝360°﹣2×90°＝180°，
∴AB∥CD；
拓展运用：解：在图3中，同理：∠ABC＝180°﹣2∠2，∠DCB＝180°﹣2∠3，
∴∠ABC+∠DCB＝360°﹣2（∠2+∠3），
∵∠CEB＝∠AED＝n°，∠MON＝m°，
∴∠ABC+∠DCB＝180°﹣∠CEB＝180°﹣n°，∠2+∠3＝180°﹣∠MON＝180°﹣m°，
∴80°﹣n°＝360°﹣2（180°﹣m°），
整理得：2m+n＝180；
在图4中，∵∠AED+∠EBD+∠EDB＝180°，∠MON+∠4+∠ODC＝180°，
∵∠EDB＝∠ODC，
∴∠AED+∠EBD＝∠MON+∠4，
∵∠EBD＝∠1＝∠2，∠MON＝m°，∠AED＝n°，
∴n°+∠2＝m°+∠4，
∴∠4﹣∠2＝n°﹣m°，
∵∠BCO+∠MON+∠2＝180°，
∴∠BCO+m°+∠2＝180°，
∵∠BCO＝180°﹣∠3＝180°﹣∠4，
∴180°﹣∠4+m°+∠2＝180°，
∴∠4﹣∠2＝m°，
∴n°﹣m°＝m°，
整理得：n＝2m．
综上所述：m，n满足的数量关系是2m+n＝180或n＝2m．
27．（8分）△ABC中，∠C＝45°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是直线AB上一动点，连接PD，PE，设∠DPE＝α．
（1）如图1，若点P在线段BA上，且α＝30°，则∠PEB+∠PDA＝　75　 °；
（2）当点P在线段BA上运动时，依题意补全图2，用等式表示∠PEB与∠PDA的数量关系（用含α的式子表示），并证明；
（3）当点P在线段BA的延长线上运动时，请直接用等式表示∠PEB与∠PDA的数量关系（用含α的式子表示）．
【解答】解；（1）∠PEB+∠PDA＝90°；理由如下；
连接PC，如图1所示
∵∠PEB是△PEC的外角，
∴∠PEB＝∠3+∠4，
∵∠PDA是△PDC的外角，
∴∠PDA＝∠1+∠2，
∴∠PEB+∠PDA＝∠1+∠2+∠3+∠4＝∠ACB+∠DPE＝45°+30°＝75°；
故答案为：75；
（2）补全图形如图2所示；
∠PEB+∠PDA＝45°+α，证明如下：
连接PC，如图3所示：
∵∠PEB是△PEC的外角，
∴∠PEB＝∠3+∠4，
∵∠PDA是△PDC的外角，
∴∠PDA＝∠1+∠2，
∴∠PEB+∠PDA＝∠1+∠2+∠3+∠4＝∠ACB+∠DPE＝45°+α；
∴∠PEB+∠PDA＝45°+α；
（3）分三种情况：
①如图4所示：
连接PC，
由三角形的外角性质得：
∠PEB＝∠ACB+∠PCA+∠CPD+∠DPE，∠PDA＝∠PCA+∠CPD，
∴∠PEB﹣∠PDA＝∠ACB+∠DPE＝45°+α，
即∠PEB﹣∠PDA＝45°+α；
②如图5所示：
连接PC，
由三角形的外角性质得：
∠PEB＝∠ACB+∠PCA+∠CPE，∠PDA＝∠PCA+∠CPE+∠DPE，
∴∠PEB﹣∠PDA＝∠ACB﹣∠DPE＝45°﹣α，
即∠PEB﹣∠PDA＝45°﹣α；
③如图6所示：P、D、E在同一条直线上，连接PC，
由三角形的外角性质得：
∠PEB＝∠ACB+∠PCA+∠CPE，∠PDA＝∠PCA+∠CPE，
∴∠PEB﹣∠PDA＝∠ACB＝45°；
综上所述：如果点P在线段BA的延长线上运动，
∠PEB与∠PDA之间的数量关系是45°+α或45°﹣α或45°．

展开更多......

收起↑