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2025-2026学年上海市青浦区教育学院附中八年级（上）期末数学试卷
考试注意事项：
1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员管理；
2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；
3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）.
1．在，，0，，，32，，，（每两个2之间依次多一个中，无理数有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列各式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．若的整数部分为，小数部分为，则的值是（　　）
A． B． C．3 D．4
5．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（　　）
A．9 B．11 C．13 D．11或13
6．如图，分别以△的边，向外作两个等边△与△，连接、交点，连接．以下四个结论：①；②；③平分；④，其中正确结论的是（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②④
二、填空题（12小题，每小题2分，共24分）
7．27的立方根为　　．
8．化简：　　 ．
9．“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知某种梅花的花粉直径是，这个直径用科学记数法表示为　　．
10．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为　　 ．
11．已知，，那么的值约为　　 ．
12．若关于的方程是一元二次方程，则的值为　　 ．
13．在实数范围内分解因式：　　 ．
14．当时，化简　　 ．
15．如图，在△中，，，，则边上的高为　　 ．
16．如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．若小正方形与大正方形的面积分别是为1、8，则直角三角形两直角边和　　．
17．如图，四边形中，，相交于点，，、分别是、的中点，，，则的值为　　 ．
18．如图，在△中，，，点在边上，且．现将△绕着点旋转得到△，点，，分别与点、、对应，连接．如果点在直线上，那么　　 ．
三、简答题（19-21小题，每题6分，22-23题，每题7分，24-25题，每题8分，共48分）
19．（6分）计算：．
20．（6分）计算：．
21．（6分）解方程：．
22．（7分）关于的方程有两个实数根，．请求下列各式的值：
（1）填空：　　 ；　　 ；
（2）．
23．（7分）某市某小区共有市民3240人，“蓝天”医疗队进驻该小区进行一次全员专项健康检测，若医疗队比计划每分钟多检测6人，那么可以缩短1.5小时完成任务．“蓝天”医疗队现在每分钟检测几人？
24．（8分）不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性和便捷性，更关注婴儿车的安全性．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即，通过计算说明该车是否符合安全标准．
25．（8分）如图，是△的外角的平分线上一点，．
（1）求证：；
（2）若△是等腰三角形，，与交于点，求证：．
四．综合题（1小题，共10分）
26．（10分）如图，在直角三角形纸片中，，，．点是射线上的动点（点不与点重合）．
【数学活动】
将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：连接，然后将△沿直线翻折得到△，点，的对应点分别是点，，直线与边所在直线交于点．
【数学思考】
（1）△沿直线翻折至图1的位置时，试判断与的数量关系，并证明你的结论；
【数学探究】
（2）①将△翻折至图2所示位置时，若直线，求的长；
②△翻折至与△的某条边平行时，的长为　　 ．
参考答案
一、选择题（6小题，每小题3分，共18分）
1．在，，0，，，32，，，（每两个2之间依次多一个中，无理数有个．
A．1 B．2 C．3 D．4
解：是分数，是有限小数，0，，32是整数，是无限循环小数，它们不是无理数，
，，（每两个2之间依次多一个是无限不循环小数，它们是无理数，共3个，
故选：．
2．下列各式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
解：，与的被开方数2不同，不是同类二次根式，故该选项错误，不符合题意；
，被开方数为2，与的被开方数相同，是同类二次根式，故该选项正确，符合题意；
，被开方数为6，与的被开方数2不同，不是同类二次根式，故该选项错误，不符合题意；
，被开方数为5，与的被开方数2不同，不是同类二次根式，故该选项错误，不符合题意；
故选：．
3．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
△，即，
解得，故选：．
4．若的整数部分为，小数部分为，则的值是（　　）
A． B． C．3 D．4
解：，
的整数部分为，小数部分为，
原式．
故选：．
5．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（　　）
A．9 B．11 C．13 D．11或13
解：解方程得，
或4，
则第三边长为2或4．
边长为2，3，6不能构成三角形；
而3，4，6能构成三角形，
所以三角形的周长为，
故选：．
6．如图，分别以△的边，向外作两个等边△与△，连接、交点，连接．以下四个结论：①；②；③平分；④，其中正确结论的是（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②④
解：结论①，
△等边三角形，△等边三角形，
，，，，
△△，
，故结论①正确；
结论②，如图，设，交于点，
△△，
，
，
，
；故结论②正确；
结论③，如图所示，作于，于，
△△，
，，
，
，，
点在的平分线上，
平方，故故结论②正确；
结论④，在上截取，连接，如图所示，
△△，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
，
△是等边三角形，
，
，
，故结论④正确；
综上所述，正确的有①②③④．
故选：．
二、填空题（12小题，每小题2分，共24分）
7．27的立方根为　3　．
解：，
的立方根是3，
故答案为：3．
8．化简： ．
解：由题知，
因为，
所以，
则，
所以原式
．
故答案为：．
9．“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知某种梅花的花粉直径是，这个直径用科学记数法表示为 ．
解：已知某种梅花的花粉直径是，这个直径用科学记数法表示为：
，．
故答案为：．
10．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为且 ．
解：由题意得：且，
解得：且．
故答案为：且．
11．已知，，那么的值约为 ．
解：根据题意可知，，
，
，
．
故答案为：．
12．若关于的方程是一元二次方程，则的值为 ．
解：方程是一元二次方程，
则且，
由，解得，
由，解得，
因此若关于的方程是一元二次方程，则的值为：，
故答案为：．
13．在实数范围内分解因式： ．
解：原式
，
故答案为：．
14．当时，化简 ．
解：根据题意可知，，
又，
，
，
原式．
故答案为：．
15．如图，在△中，，，，则边上的高为 ．
解：过点作于，
，，
设，则．
在△中，
，
．
在△中，
，
．
，
．
，
，，，则边上的高为．
故答案为：．
16．如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．若小正方形与大正方形的面积分别是为1、8，则直角三角形两直角边和　　．
解：设正方形的边长为，
大正方形的面积是8，
，
，
直角三角形的面积是，
又直角三角形的面积是，
，
．
（舍去负值）．
故答案为：．
17．如图，四边形中，，相交于点，，、分别是、的中点，，，则的值为　4　 ．
解：连接、，如图所示：
，是的中点，
，，
，
，
，
，
（等边对等角），
，
，
，
，是的中点，
，
，
，
，
，
．
则的值为4，
故答案为：4．
18．如图，在△中，，，点在边上，且．现将△绕着点旋转得到△，点，，分别与点、、对应，连接．如果点在直线上，那么或 ．
解：在△中，
，，，
，
，
．
，，
，．
在△中，，，，
，
，
．
由旋转性质可知：，
，．
情况1：点在线段的延长线上，
，，
．
在△中，，，，
，
，
．
情况2：点在线段上，
，，
．
在△中，，，，
，
，
．
故答案为：或．
三、简答题（19-21小题，每题6分，22-23题，每题7分，24-25题，每题8分，共48分）
19．（6分）计算：．
解：原式
．
20．（6分）计算：．
解：
．
21．（6分）解方程：．
解：原方程整理得：
，
，
，
，
，，，
△，
，
，．
22．（7分）关于的方程有两个实数根，．请求下列各式的值：
（1）填空：　5　 ；　　 ；
（2）．
解：（1）由条件可得：，
故答案为：5；；
（2），
原式．
23．（7分）某市某小区共有市民3240人，“蓝天”医疗队进驻该小区进行一次全员专项健康检测，若医疗队比计划每分钟多检测6人，那么可以缩短1.5小时完成任务．“蓝天”医疗队现在每分钟检测几人？
解：设“蓝天”医疗队现在每分钟检测人，1.5小时分钟，
根据题意列分式方程得：，
整理得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：“蓝天”医疗队现在每分钟检测18人．
24．（8分）不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性和便捷性，更关注婴儿车的安全性．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即，通过计算说明该车是否符合安全标准．
解：在△中，
，，，
，
．
在△中，
，，
．，
，
△是直角三角形，且，
．
故该车符合安全标准．
25．（8分）如图，是△的外角的平分线上一点，．
（1）求证：；
（2）若△是等腰三角形，，与交于点，求证：．
【解答】证明：（1）过点作于，于．
平分，，，
．
在△和△中，
，
△△．
（全等三角形对应角相等）．
即；
（2），，
，（等边对等角）．
，（已证），
．
，
．
，
．
（等角对等边）．
四．综合题（1小题，共10分）
26．（10分）如图，在直角三角形纸片中，，，．点是射线上的动点（点不与点重合）．
【数学活动】
将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：连接，然后将△沿直线翻折得到△，点，的对应点分别是点，，直线与边所在直线交于点．
【数学思考】
（1）△沿直线翻折至图1的位置时，试判断与的数量关系，并证明你的结论；
【数学探究】
（2）①将△翻折至图2所示位置时，若直线，求的长；
②△翻折至与△的某条边平行时，的长为或 ．
解：（1）；
证明：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕，将△沿直线翻折得到△，点，的对应点分别是点，，
，，，
△△，
；
（2）①设与的交点为，
由折叠的性质得：，，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
在△中，由勾股定理得：，
，
，
，，
由折叠的性质得：，，
，，
，，
，
，
，
；
②当时，如图3，
，，，
，，
，，
，
解得：，
，，
，
、、三点共线，
设，则，，
在△中，由勾股定理得：，
，
解得：，
；
当时，如图4，
设与的交点为，
，
，，
由折叠性质：，
，，
，，
同（1）可得，
，
，
，
，
综上所述，的长为或，
故答案为：或，

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