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2025-2026学年上海市闵行区九年级（上）期末数学试卷（一模）
考试注意事项：
1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员
管理；
2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；
3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.
1．下列各组图形中不一定是相似形的是（　　）
A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形
C．两个正方形 D．两个直角三角形
2．下列函数中，二次函数是（　　）
A． B． C． D．
3．下列说法中，一定正确的是（　　）
A．如果是非零向量，且，那么
B．如果是单位向量，那么
C．向量与是相等向量
D．如果是非零向量，那么
4．如图，已知△，直线与边、分别相交于点、，直线与边、分别相交于点、，，那么下列比例式一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．已知抛物线（其中、、是常数，且的对称轴是直线，且与轴有两个交点，下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，已知抛物线与轴交于、两点．将抛物线向右平移得到抛物线，交轴于点、；再将抛物线向右平移得到抛物线，交轴于点、若直线与这3条抛物线交于点、、、、、，则这6个点的横坐标之和是（　　）
A．6 B．18 C．30 D．54
二、填空题（共48分，每小题4分）
7．如果，那么的值是　　 ．
8．计算：　　 ．
9．如果两个相似三角形的面积之比为，那么它们的周长之比是　　 ．
10．已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是　　 （不要求写定义域）．
11．在△中，，，的余弦值是，那么的长是　　 ．
12．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面送到离地面4米高的地方，那么物体所经过的路程是　　 米（结果保留根号）．
13．在△中，点、分别是、的黄金分割点，且，，，那么的长是　　 （结果保留根号）．
14．在△中，，，，结合尺规作图痕迹所提供的信息可求出的长是　　 ．
15．如图①中小狗手影是一种常见的游戏，它利用的原理是：光是沿直线传播的．如图②我们把光源看成一个点，手面看成平行于墙面的一条线段．在一次游戏中，手距离墙壁3米，光源与手的距离为1米．在手的位置不变的情况下，如果光源与手的距离增加1米，那么小狗手影的高度变为原来的　　 （填“几分之几” ．
16．如图，在△中，点、分别是、的中点，联结、交于点，交于点，那么　　 ．
17．如图，在△中，，，，点是边上的一点，联结，如果，那么　　 ．
18．如图，矩形中，联结，点是的中点，过点作交于点，将△沿直线翻折，点落在平面内点处，如果点恰在上，那么的值是　　 ．
三、解答题（本大题共7题，共78分）如无特别说明，本大题作答须写出证明或计算的主要步骤。
19．（10分）计算：．
20．（10分）如图，已知平行四边形中，点是边的中点，与对角线交于点，设，．
（1）填空：向量　　 ，向量　　 ．
（注：本题结果用含向量、的式子表示）
（2）作出向量分别在、方向上的分向量．
（注：画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
21．（10分）人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示．
表一：地面所受压强与接触面积之间的关系
地面所受压强
接触面积
表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系
地面材质 玻璃 木地板 大理石
能承受的最大压强
（1）求地面所受压强关于接触面积的函数表达式（不写定义域）；
（2）求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？
22．（12分）如图，线段、相交于点，点是线段的中点，联结、、，分别延长、交于点．已知，且．
（1）求证：；
（2）如果平分，求证：．
23．（10分）探究活动：巧拼地砖外边．
装修工人有一大一小两根条形边角料（大条形边角料中，小条形边角料中，，如图1拼接到直角地砖的外边上，发现点与点不能重合．为了尽可能节约用料，又能使两根条形边角料能拼成一个直角，工人师傅使用一把直尺、一支笔和一台切割机，经过图图9的操作解决了问题，完成了拼接．
图1 图2 图3 图4 图5
【操作说明】将一大一小两根条形边角料拼在直角地砖的外边． 【操作说明】画出的延长线，交于点． 【操作说明】联结． 【操作说明】沿着射线方向，平移小条形边角料，使点与点重合，得到四边形 【操作说明】画出的延长线，交小条形边角料的边
图6 图7 图8 图9
【操作说明】联结． 【操作说明】沿着、切割． 【操作说明】拼接切割后的两根条形边角料．
（1）请根据图图6的操作说明，在图①中画出操作过程相应的图形，并按操作过程标注相应的字母；
（2）如果大条形边角为的宽度为，小条形边角为的宽度为，大条形边角料裁剪后的锐角是，那么　　 ；
（3）请根据上述探究，设计一个新裁剪方案，在图②中画出剪裁方法，并简单说明理由．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线、是常数）经过点，对称轴为直线，顶点为．
（1）求抛物线的函数表达式及点的坐标．
（2）点为抛物线上的动点，过点作直线．
①当点在对称轴右侧时，抛物线在直线右侧部分（包含交点）的最高点的纵坐标为，求的值；
②当点不在坐标轴上时，直线交抛物线于点，过点作轴垂线，垂足为点，在线段的延长线上截取，联结，当抛物线的顶点在△内部时，直接写出的取值范围．
25．（14分）如图，已知在△中，点是边上的一点．
（1）当时．
①如图1，是边上的高，求证：；
②如图2，，点在边上，且，顺次联结、、．如果，，求的值．
（2）如图3，如果点是边的中点，，点在线段延长线上，且，联结，取中点，分别延长、交于点，求的值．
参考答案
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）
1．下列各组图形中不一定是相似形的是（　　）
A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形
C．两个正方形 D．两个直角三角形
解：、两个等腰直角三角形一定相似，不符合题意；
、两个等边三角形一定相似，不符合题意；
、两个正方形一定相似，不符合题意；
、两个直角三角不一定相似，符合题意，
故选：．
2．下列函数中，二次函数是（　　）
A． B． C． D．
解：．，为一次函数，不符合题意；
．，是反比例函数，不符合题意；
．，是二次函数，符合题意；
．，为一次函数，不符合题意；
故选：．
3．下列说法中，一定正确的是（　　）
A．如果是非零向量，且，那么
B．如果是单位向量，那么
C．向量与是相等向量
D．如果是非零向量，那么
解：、如果，是非零向量，且，那么，正确，本选项符合题意；
、如果是单位向量，那么，错误，应该是，本选项不符合题意；
、向量与向量是相等向量，错误，本选项不符合题意；
、如果，是非零向量，那么，错误，应该是，本选项不符合题意．
故选：．
4．如图，已知△，直线与边、分别相交于点、，直线与边、分别相交于点、，，那么下列比例式一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
解：，
△△，△△，，，
，，
故、、错误，不符合题意；正确，符合题意；
故选：．
5．已知抛物线（其中、、是常数，且的对称轴是直线，且与轴有两个交点，下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
解：由题知，
因为抛物线的对称轴为直线，
所以，
则，
所以选项符合题意；
因为，
所以，
所以选项不符合题意．
因为无法确定抛物线与轴的交点位置及抛物线顶点的位置，
所以选项不符合题意．
故选：．
6．如图，已知抛物线与轴交于、两点．将抛物线向右平移得到抛物线，交轴于点、；再将抛物线向右平移得到抛物线，交轴于点、若直线与这3条抛物线交于点、、、、、，则这6个点的横坐标之和是（　　）
A．6 B．18 C．30 D．54
解：对于抛物线，
令，得或，
，
即抛物线向右平移6个单位得到抛物线，以此类推，
则，，
由抛物线对称性可得、关于直线对称，
、关于直线对称，
、关于直线对称，
，，，
，
故选：．
二、填空题（共48分，每小题4分）
7．如果，那么的值是 ．
解：设，，
则原式．
故答案为：．
8．计算： ．
解：．
故答案为：．
9．如果两个相似三角形的面积之比为，那么它们的周长之比是 ．
解：两个相似三角形的面积之比为，
它们的相似比为，
它们的周长之比为，
故答案为：．
10．已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是 （不要求写定义域）．
解：长方形的长是，宽是长的一半，
宽为，
．
故答案为：．
11．在△中，，，的余弦值是，那么的长是　16　 ．
解：，
，
的长是16．
故答案为：16．
12．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面送到离地面4米高的地方，那么物体所经过的路程是 米（结果保留根号）．
解：斜坡的坡度为，
，
米，
米，
（米，
答：物体所经过的路程为米，
故答案为：．
13．在△中，点、分别是、的黄金分割点，且，，，那么的长是 （结果保留根号）．
解：如图，点、分别是、的黄金分割点，且，，
，，
，
又，
△△，
，
，
故答案为：．
14．在△中，，，，结合尺规作图痕迹所提供的信息可求出的长是　6　 ．
解：由作图痕迹可知：平分，，
，
，
故答案为：6．
15．如图①中小狗手影是一种常见的游戏，它利用的原理是：光是沿直线传播的．如图②我们把光源看成一个点，手面看成平行于墙面的一条线段．在一次游戏中，手距离墙壁3米，光源与手的距离为1米．在手的位置不变的情况下，如果光源与手的距离增加1米，那么小狗手影的高度变为原来的 （填“几分之几” ．
解：点为光源，为小狗手影，为小明的手，
，
作交于点，延长交于点，则，
，
，，
△△，
，
米，米，
，
设，
，
在光源不动的情况下，光源与手的距离增加1米，
米，
△△，
，
，
，
，
答：小狗手影的高度变为原来的，
故答案为：．
16．如图，在△中，点、分别是、的中点，联结、交于点，交于点，那么 ．
解：点、分别是、的中点，联结、交于点，
点是△的重心，
，
，
△△，且相似比为，
同理可得：△△，且相似比为，
．
故答案为：．
17．如图，在△中，，，，点是边上的一点，联结，如果，那么 ．
解：如图，过点作于点，过点作于点．
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
△的面积，
，
，
．
故答案为：．
18．如图，矩形中，联结，点是的中点，过点作交于点，将△沿直线翻折，点落在平面内点处，如果点恰在上，那么的值是 ．
解：如图，连接交于点，
则，
为中点，且在上，
，
，则，
在矩形中，，
△△，
，
设，则，
在△中，，
，，
△△，
，
，
在△中，，
，
在△中，，
，
在△中，，
．
三、解答题（本大题共7题，共78分）如无特别说明，本大题作答须写出证明或计算的主要步骤。
19．（10分）计算：．
解：原式
．
20．（10分）如图，已知平行四边形中，点是边的中点，与对角线交于点，设，．
（1）填空：向量 ，向量　　 ．
（注：本题结果用含向量、的式子表示）
（2）作出向量分别在、方向上的分向量．
（注：画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
解：（1），，
．
四边形为平行四边形，
，，
，，
△△，
，
，
．
点是边的中点，
，
，
．
故答案为：；．
（2）如图，即为所求．
21．（10分）人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示．
表一：地面所受压强与接触面积之间的关系
地面所受压强
接触面积
表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系
地面材质 玻璃 木地板 大理石
能承受的最大压强
（1）求地面所受压强关于接触面积的函数表达式（不写定义域）；
（2）求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？
解：（1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系．
设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为．
将，代入，得，
地面所受压强关于接触面积的函数表达式为．
（2）把代入得，，
答：该机器人与地面的接触面积至少为平方米．
22．（12分）如图，线段、相交于点，点是线段的中点，联结、、，分别延长、交于点．已知，且．
（1）求证：；
（2）如果平分，求证：．
解：（1）证明：，，
△△，
，，
点是的中点，
，，
，
，
；
（2）平分，
，
，
，
，点是的中点，
，，
，，
，
，
，
，
△△，
，
．
23．（10分）探究活动：巧拼地砖外边．
装修工人有一大一小两根条形边角料（大条形边角料中，小条形边角料中，，如图1拼接到直角地砖的外边上，发现点与点不能重合．为了尽可能节约用料，又能使两根条形边角料能拼成一个直角，工人师傅使用一把直尺、一支笔和一台切割机，经过图图9的操作解决了问题，完成了拼接．
图1 图2 图3 图4 图5
【操作说明】将一大一小两根条形边角料拼在直角地砖的外边． 【操作说明】画出的延长线，交于点． 【操作说明】联结． 【操作说明】沿着射线方向，平移小条形边角料，使点与点重合，得到四边形 【操作说明】画出的延长线，交小条形边角料的边
图6 图7 图8 图9
【操作说明】联结． 【操作说明】沿着、切割． 【操作说明】拼接切割后的两根条形边角料．
（1）请根据图图6的操作说明，在图①中画出操作过程相应的图形，并按操作过程标注相应的字母；
（2）如果大条形边角为的宽度为，小条形边角为的宽度为，大条形边角料裁剪后的锐角是，那么 ；
（3）请根据上述探究，设计一个新裁剪方案，在图②中画出剪裁方法，并简单说明理由．
解：（1）操作图形如图所示；
（2）如图，过作于点，作于点，
则四边形为矩形，
，，
，
故答案为：；
（3）延长与交于点，连接，过点作平行线，交于点，沿着、切割．
理由：、，
四边形是平行四边形，，
，，
则切割后与重合，且角度能拼接成．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线、是常数）经过点，对称轴为直线，顶点为．
（1）求抛物线的函数表达式及点的坐标．
（2）点为抛物线上的动点，过点作直线．
①当点在对称轴右侧时，抛物线在直线右侧部分（包含交点）的最高点的纵坐标为，求的值；
②当点不在坐标轴上时，直线交抛物线于点，过点作轴垂线，垂足为点，在线段的延长线上截取，联结，当抛物线的顶点在△内部时，直接写出的取值范围．
解：（1）对称轴为直线，
，
抛物线经过点，
，
解得，
抛物线的函数表达式为，
当时，，
；
（2）①由题可知，
当点在对称轴右侧时，抛物线在直线右侧部分是随增大而减小，
点即为最高点，
此时，
解得，
在对称轴右侧，即，
；
②当点在点右侧时，此时，如图，
此时要满足题意则点需在点右上方，找出临界值，即点在上时，
由题可知，
，
解得或（舍去），
；
当点在点左侧时，即，如图，
同理可得；
当点在上时，此时，
此时，即，
则，
解得，
，
综上，或．
25．（14分）如图，已知在△中，点是边上的一点．
（1）当时．
①如图1，是边上的高，求证：；
②如图2，，点在边上，且，顺次联结、、．如果，，求的值．
（2）如图3，如果点是边的中点，，点在线段延长线上，且，联结，取中点，分别延长、交于点，求的值．
【解答】（1）①证明：，
，
，
，
△△，
，
；
②解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
如图，过作于点，
则，
，
，
△△，
，，
设，则，
在△中，，
即，
解得，即，
；
（2）设，则，
，，
△△，
，
，
，
，
，
如图，连接，
则，
设，则，
，为中点，
垂直平分，
，
，
，
，
为中点，
，
，
．

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