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2024-2025学年上海市徐汇中学七年级（下）期中数学试卷
考试注意事项：
1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员管理；
2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；
3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）.
1．在下列不等式组中，无解的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知a＞b，则下列四个不等式不一定成立的是（　　）
A．ac2＞bc2 B．
C．﹣a＜﹣b D．a+5＞b+5
3．如图，下列说法错误的是（　　）
A．∠2与∠4是同位角 B．∠2与∠3是同旁内角
C．∠1与∠2是内错角 D．∠1与∠A是内错角
4．下列命题中，判断错误的是（　　）
A．所有定理都有逆命题
B．对顶角相等的逆命题是真命题
C．两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行
D．假命题的逆命题不一定是假命题
5．已知三角形的周长是13，则以下哪个长度不可能是该三角形的边长（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．如果△ABC的三个内角满足3∠A＝5∠B，3∠C＝2∠B，那么这个三角形是（　　）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
二、填空题（本大题共12小题，每题2分，共24分）
7．不等式2x﹣9＜3的解集为　 　 ．
8．如果一个锐角不大于它的余角，那么这个锐角最大为 　 　 度．
9．如图，直线AB与CD交于点O，OE平分∠BOD，OE⊥OF，∠AOC＝36°，那么∠DOF＝　 　 °．
10．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，图中线段 　 　 的长度表示点A到直线CD的距离．
11．如图，已知，AB∥CD，∠1＝（4x﹣25）°，∠2＝（85﹣x）°，∠1的度数为 　 　 ．
12．如图，BD、CD分别是△ABC的一条内角平分线与一条外角平分线，∠D＝30°，那么∠A的度数为　 　 ．
13．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中BC⊥AB，DE∥AB，经使用发现，当∠EDC＝126°时，台灯光线最佳．则此时∠DCB的度数为 　 　 ．
14．如图，一束光线与水平面成60°的角度照射地面，现在地面AB上支放一个平面镜CD，使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜CD与地面AB所成角∠DCB＝　 　 ．
15．若a＞b＞c，则不等式组的解集是　 　 ．
16．在小于a的所有整数中，最大的是4，用不等式表示a应满足的条件：　 　 ．
17．如图，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠OMN＝30°，∠OCD＝45°．将三角尺OCD绕点O以每秒10°的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒．在旋转的过程中，边CD恰好与边MN平行，t的值为 　 　 ．
18．在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，∠C＝40°，可知∠A＝2∠C，所以△ABC为2倍角三角形．如图，直线MN⊥直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上；已知∠BAO、∠OAG的角平分线分别与∠BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F，若△AEF为4倍角三角形，则∠ABO＝　 　 ．
三、简答题
19．（8分）解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
20．（14分）根据提示完成证明
如图，已知AD⊥BC，垂足为点D，∠EFD＝90°，∠1+∠2＝180°，求证：∠CGD＝∠CAB．
证明：∵AD⊥BC（已知），
∴∠　 　 ＝90°（垂直的意义），
∵∠EFD＝90°，
∴∠ADC＝∠EFD（等量代换），
∴EF∥AD（ 　 　 ），
∴∠2+∠3＝180°（ 　 　 ），
∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠1＝∠3（ 　 　 ）．
∴　 　 （ 　 　 ）．
∴∠CGD＝∠CAB（ 　 　 ）．
21．（8分）用尺规，利用“内错角相等，两直线平行”作出过直线AB外一点M，平行直线AB的直线l．（不用写作法，但须保留作图痕迹）
四、解答题：
22．（10分）如图，已知在△ABC中，∠A＝32°，BE平分∠ABC，ED⊥BC于D，若∠DEB＝28°，求∠C的度数．
23．（8分）我们在研究多边形的相关性质时，经常会将多边形分割成三角形进行研究，利用这样的思维方式，试证明下列问题．
如图，已知在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，
求证：AB∥CD且BC∥AD．
24．（10分）在△ABC中，∠A＝60°，点D、E分别是△ABC边AC、AB上的点，点P是一动点，设∠PDC＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）如图1，若点P在线段BC上，且∠α＝50°，求∠1+∠2的度数；
（2）若点P在线段BC延长线上，请分别写出图2，图3中，∠1、∠2与∠α之间的数量关系．
图2：　 　 ；图3：　 　 ．
五、附加题：（每题5分，共10分）
25．若不等式组有解，且每一个解x均不在﹣12≤x≤﹣10范围内，求a的取值范围．
26．如图，已知P是△ABC内一点，连结AP，PB，PC，
求证：（AB+AC+BC）＜PA+PB+PC＜AB+AC+BC．
参考答案
一、选择题（共6题，每题3分，满分18分）
1．在下列不等式组中，无解的是（　　）
A． B． C． D．
解：A的解集为：x＞2，故A不符合题意；
B的解集为：1＜x＜2，故B不符合题意；
C的解集为：x＜1，故C不符合题意；
D的解集为：无解，故D符合题意．
故选：D．
2．已知a＞b，则下列四个不等式不一定成立的是（　　）
A．ac2＞bc2 B．
C．﹣a＜﹣b D．a+5＞b+5
解：A．当c＝0时，ac2＝bc2，故此选项符合题意；
B．不等式a＞b的两边同时除以一个正数（c2+1＞0），不等号的方向不变，即，故此选项不符合题意；
C．不等式a＞b的两边同时乘﹣1，不等号的方向改变，即﹣a＜﹣b，故此选项不符合题意；
D．不等式a＞b的两边同时加上5，不等号的方向不变，即a+5＞b+5，故此选项不符合题意．
故选：A．
3．如图，下列说法错误的是（　　）
A．∠2与∠4是同位角 B．∠2与∠3是同旁内角
C．∠1与∠2是内错角 D．∠1与∠A是内错角
解：A、B、D中的说法正确，故ABD不符合题意；
C、∠1与∠2不是内错角，故C符合题意．
故选：C．
4．下列命题中，判断错误的是（　　）
A．所有定理都有逆命题
B．对顶角相等的逆命题是真命题
C．两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行
D．假命题的逆命题不一定是假命题
解：A、所有定理都有逆命题，正确，不符合题意；
B、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，原说法错误，符合题意；
C、两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行，正确，不符合题意；
D、假命题的逆命题不一定是假命题，例如相等的角是对顶角是假命题，而此命题的逆命题是对顶角相等，是真命题，正确，不符合题意．
故选：B．
5．已知三角形的周长是13，则以下哪个长度不可能是该三角形的边长（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
解：设三角形的一边长是x，
∵三角形的周长是13，
∴三角形另外两边的和是13﹣x，
由三角形三边关系定理得到：13﹣x＞x，
∴x＜6.5，
∴三角形边长的最大值不能大于或等于6.5．
故选：D．
6．如果△ABC的三个内角满足3∠A＝5∠B，3∠C＝2∠B，那么这个三角形是（　　）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
解：由题意可得，∠C＝180°﹣∠A﹣∠B，
故可得方程组，
解得，
故∠A＝90°，∠B＝54°，∠C＝36°，
∴△ABC是直角三角形，
故选：A．
二、填空题（本大题共12小题，每题2分，共24分）
7．不等式2x﹣9＜3的解集为x＜6　 ．
解：2x﹣9＜3，
2x＜3+9，
2x＜12，
x＜6．
故答案为：x＜6．
8．如果一个锐角不大于它的余角，那么这个锐角最大为 　45　 度．
解：设这个锐角为x°，
由题意得：x≤90﹣x，
2x≤90，
x≤45，
∴这个锐角最大为45°，
故答案为：45．
9．如图，直线AB与CD交于点O，OE平分∠BOD，OE⊥OF，∠AOC＝36°，那么∠DOF＝　108　 °．
解：∵直线AB与CD交于点O，∠AOC＝36°，
∴∠BOD＝∠AOC＝36°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE∠BOD36°＝18°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°，
∴∠DOF＝∠DOE+∠EOF＝18°+90°＝108°．
故答案为：108．
10．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，图中线段 AD 的长度表示点A到直线CD的距离．
解：∵CD⊥AB，
∴AD⊥CD，
∴线段CD的长度表示点A到直线CD的距离，
故答案为：AD．
11．如图，已知，AB∥CD，∠1＝（4x﹣25）°，∠2＝（85﹣x）°，∠1的度数为 　135°　 ．
解：如图：
∵AB∥CD，
∴∠2+∠3＝180°，
∵∠1＝∠3
∴∠1+∠2＝180°，
即（4x﹣25）+（85﹣x）＝180，
解得x＝40，
∴∠1＝4x﹣25°＝135°，
故答案为：135°．
12．如图，BD、CD分别是△ABC的一条内角平分线与一条外角平分线，∠D＝30°，那么∠A的度数为　60°　 ．
解：∵∠ACE是△ABC的外角，
∴∠ACE＝∠A+∠ABC，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴∠DBC∠ABC，∠DCE∠ACE（∠A+∠ABC）∠A∠ABC．
∵∠DCE是△BCD的外角，
∴∠DCE＝∠DBC+∠D∠A∠ABC，
∴∠D∠A＝30°，
∴∠A＝2∠D＝2×30°＝60°．
故答案为：60°．
13．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中BC⊥AB，DE∥AB，经使用发现，当∠EDC＝126°时，台灯光线最佳．则此时∠DCB的度数为 　144°　 ．
解：过点C作CF∥AB，
∴∠ABC+∠BCF＝180°，
∵DE∥AB，
∴DE∥CF，
∴∠CDE+∠DCF＝180°，
∴∠ABC+∠BCF+∠CDE+∠DCF＝360°，
即∠ABC+∠DCB+∠CDE＝360°，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∵∠EDC＝126°，
∴∠DCB＝360°﹣∠ABC﹣∠CDE＝144°，
故答案为：144°．
14．如图，一束光线与水平面成60°的角度照射地面，现在地面AB上支放一个平面镜CD，使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜CD与地面AB所成角∠DCB＝　30°　 ．
解：如图，
∵入射角等于反射角，
∴∠1＝∠2，
∵光线经过平面镜CD反射后成水平光线平行，
∴∠2＝∠4，
又∵∠1＝∠3（对顶角相等），
∴∠3＝∠4，
∴∠2＝∠3，
∵光线与水平面成60°的角度照射地面，
∴∠3＝60°÷2＝30°，
∴∠4＝30°，即∠DCB＝30°．
故答案为：30°．
15．若a＞b＞c，则不等式组的解集是b＜x＜a ．
解：，
解不等式①得：x＜a，
解不等式②得：x＞b，
解不等式③得：x＞c，
由题意可得不等式组的解集为：b＜x＜a．
故答案为：b＜x＜a．
16．在小于a的所有整数中，最大的是4，用不等式表示a应满足的条件：a＜5　 ．
解：根据题意得：a＜5．
故答案为：a＜5．
17．如图，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠OMN＝30°，∠OCD＝45°．将三角尺OCD绕点O以每秒10°的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒．在旋转的过程中，边CD恰好与边MN平行，t的值为 　10.5或28.5　 ．
解：如图1，CD在点O右侧时，设OC与MN相交于F，
∵CD∥MN，
∴∠OFN＝∠C＝45°，
∴∠MOF＝15°，
∴旋转角为105°，
当CD在点O的左侧时，设直线OC与MN相交于F，
∵CD∥MN，
∴∠OFN＝∠C＝45°，
在△NOF中，∠NOF＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∴旋转角为360°﹣75°＝285°，
综上所述，当边OC旋转105°或285°时，边CD恰好与边MN平行．
t＝105°÷10°＝10.5秒，t＝285°÷10°＝28.5秒；
综上所述，第10.5或28.5秒时，边CD恰好与边MN平行．
故答案为：10.5或28.5．
18．在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，∠C＝40°，可知∠A＝2∠C，所以△ABC为2倍角三角形．如图，直线MN⊥直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上；已知∠BAO、∠OAG的角平分线分别与∠BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F，若△AEF为4倍角三角形，则∠ABO＝　45°或36°　 ．
解：∵AE平分∠BAO，AF平分∠OAG，
∴∠EAB＝∠EAO，∠OAF＝∠FAG，
∴，
∵△EAF是4倍角三角形，
∴当∠EAF＝4∠E时，，当∠F＝4∠E时，，
∵∠ABO＝2∠E，
∴∠ABO＝45°或36°，
故答案为：45°或36°．
三、简答题
19．（8分）解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
解：由①得：x≥﹣1，
由②得：x＜2，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
将解集表示在数轴上如下：
．
20．（14分）根据提示完成证明
如图，已知AD⊥BC，垂足为点D，∠EFD＝90°，∠1+∠2＝180°，求证：∠CGD＝∠CAB．
证明：∵AD⊥BC（已知），
∴∠　①ADC ＝90°（垂直的意义），
∵∠EFD＝90°，
∴∠ADC＝∠EFD（等量代换），
∴EF∥AD（ 　②同位角相等，两直线平行　 ），
∴∠2+∠3＝180°（ 　③两直线平行，同旁内角互补　 ），
∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠1＝∠3（ 　④同角的补角相等　 ）．
∴　⑤AB∥DG （ 　⑥内错角相等，两直线平行　 ）．
∴∠CGD＝∠CAB（ 　⑦两直线平行，同位角相等　 ）．
【解答】证明：∵AD⊥BC（已知），
∴∠ADC＝90°（垂直的意义），
∵∠EFD＝90°，
∴∠ADC＝∠EFD（等量代换），
∴EF∥AD（同位角相等，两直线平行），
∴∠2+∠3＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠1＝∠3（同角的补角相等）．
∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行）．
∴∠CGD＝∠CAB（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：①ADC；②同位角相等，两直线平行；③两直线平行，同旁内角互补；④同角的补角相等；⑤AB∥DG；⑥内错角相等，两直线平行；⑦两直线平行，同位角相等．
21．（8分）用尺规，利用“内错角相等，两直线平行”作出过直线AB外一点M，平行直线AB的直线l．（不用写作法，但须保留作图痕迹）
解：如图，在直线AB上任取一点C，连接MC，在MC的左侧作∠CMN＝∠BCM，作直线MN，
则直线MN即为所求的直线l．
四、解答题：
22．（10分）如图，已知在△ABC中，∠A＝32°，BE平分∠ABC，ED⊥BC于D，若∠DEB＝28°，求∠C的度数．
解：∵ED⊥BC，∠DEB＝28°，
∴∠DBE＝180°﹣90°﹣28°＝62°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠ABE＝62°，
∴∠C＝180°﹣62°﹣62°﹣32°＝24°．
23．（8分）我们在研究多边形的相关性质时，经常会将多边形分割成三角形进行研究，利用这样的思维方式，试证明下列问题．
如图，已知在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，
求证：AB∥CD且BC∥AD．
解：如图，连接AC，
∵AB＝CD，BC＝AD，AC＝AC，
∴△ABC≌△CDA（SSS），
∴∠BAC＝∠ACD，∠DAC＝∠ACB，
∴AD∥BC，AB∥CD．
24．（10分）在△ABC中，∠A＝60°，点D、E分别是△ABC边AC、AB上的点，点P是一动点，设∠PDC＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）如图1，若点P在线段BC上，且∠α＝50°，求∠1+∠2的度数；
（2）若点P在线段BC延长线上，请分别写出图2，图3中，∠1、∠2与∠α之间的数量关系．
图2：　∠2＝∠α+∠1+60°　 ；图3：　∠2＝∠1﹣∠α+60°　 ．
解：（1）根据图1可得：∠DPB＝∠1+∠C，∠EPC＝∠2+∠B，
∴∠DPB+∠EPC＝∠1+∠2+∠C+∠B，
∵∠DPE＝∠α＝50°，
∴∠α+180°＝∠1+∠2+（180°﹣∠A），∠A＝60°，
即∠1+∠2＝60°+α＝110°；
（2）由图2得∠2＝∠α+∠1+60°，由图3得∠2＝∠1﹣∠α+60°，理由如下：如图2，
如图2，设AC，EP 交于点F，
∵∠AFE＝∠1+∠α，∠2＝∠A+∠AFE，
∴∠2＝60°+∠1+∠α；
如图3，设AC，EP 交于点F，
∵∠AFE＝∠1﹣∠α，∠2＝∠A+∠AFE，
∴∠2＝∠1﹣∠α+60°；
故答案为：图2：∠2＝∠α+∠1+60°；图3：∠2＝∠1﹣∠α+60°．
五、附加题：（每题5分，共10分）
25．若不等式组有解，且每一个解x均不在﹣12≤x≤﹣10范围内，求a的取值范围．
解：，
由①得，x≥6+5a，
由②得，x＜3a，
∴不等式组的解集是6+5a≤x＜3a，
∵每一个解x均不在﹣12≤x≤﹣10范围内，则有两种情况：
情况 一：3a≤﹣12，解得a≤﹣4，
情况二：5a+6＞﹣10，解得a，同时5a+6≤x＜3a有解，
∴3a＞5a+6，
∴a＜﹣3
∴a＜﹣3．
∴综上，a的取值范围是a≤﹣4或a＜﹣3．
26．如图，已知P是△ABC内一点，连结AP，PB，PC，
求证：（AB+AC+BC）＜PA+PB+PC＜AB+AC+BC．
【解答】证明：延长AP交BC于D，
由三角形三边关系定理得到：AP+PD＜AC+CD，PB＜PD+BD，
∴AP+PD+PB＜AC+CD+PD+BD，
∴AP+PB＜AC+BC，
同理PB+PC＜AB+AC，PC+PA＜AB+BC，
∴2 （PA+PB+PC）＜2（AB+BC+AC），
∴PA+PB+PC＜AB+BC+AC；
由三角形三边关系定理得到：PA+PB＞AB，PB+PC＞BC，PA+PC＞AC，
∴2（PA+PB+PC）＞AB+BC+AC，
∴PA+PB+PC（AB+BC+AC），
∴（AB+BC+AC）＜PA+PB+PC＜AB+BC+AC．

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