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2025-2026学年上海市崇明区九年级（上）期末数学试卷（一模）
考试注意事项：
1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员管理；
2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；
3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.
1．如果两个相似三角形的面积比为，那么这两个三角形的对应中线的比为（　　）
A． B． C． D．
2．在△中，，，，那么下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．将抛物线平移，使顶点移到点的位置，所得新抛物线的表达式是（　　）
A． B． C． D．
4．下列命题正确的是（　　）
A．如果，那么
B．如果都是单位向量，那么
C．如果，那么
D．如果或，那么
5．如图，在△中，点、分别在、的反向延长线上，已知，下列条件中能判定的是（　　）
A． B． C． D．
6．在△和△中，，，根据下列条件，一定能判断△和△相似的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．如果，那么 　　．
8．计算：　　 ．
9．已知线段的长为，如果点是线段的黄金分割点，那么的值是　　．
10．如果抛物线开口向下，那么的取值范围是　　 ．
11．已知点、为二次函数图象上的两点，那么　　 （填“”、“ ”或“” ．
12．小明沿着坡度的斜坡前行了65米，那么他距离地面的垂直高度上升了　　 米．
13．用“描点法”画二次函数的图象时，列出了如下的表格：
0 1 2 3 4
0 1 0
那么当时，该二次函数的值为　　．
14．如图，已知直线、、分别与直线交于点、、，与直线交于点、、，如果，，，，则的长是　　 ．
15．如图，已知在四边形中，，，如果，，那么　　 ．
16．在△中，是锐角），，，那么的长为　　 ．
17．如图，点是△的重心，点是边的中点，交于点，交于点，则的比值为 　　 ．
18．定义：当一个三角形有两个内角的差为时，这个三角形叫做“差直角三角形”．如图，在△中，，，点是边上的一动点（且，若△是“差直角三角形”，则的长为 　　 ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：．
20．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若将该抛物线向上平移个单位长度，使得平移后的抛物线与轴只有一个公共点，求的值．
21．（10分）如图，在梯形中，，且，点是边的中点，联结交对角线于点．
（1）当时，求的长；
（2）设，请用、表示．
22．（10分）长兴岛风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能，实现海岛能源的绿色转型（如图．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动．已知三片风叶、、两两所成的角为，在实地测量中（如图，当其中一片风叶与塔干叠合时（即、、在一直线上），在与塔底水平距离为200米的处，测得塔干顶部的仰角为，风叶的端点的仰角为，点，，，，，，在同一平面内．
（参考数据，，，
（1）求塔干的长度；
（2）求风叶的长度．（精确到1米）
23．（12分）如图，在△中，点、分别在边、上，，与交于点，且．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于和两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．
（1）求点和点的坐标；
（2）若点与点关于抛物线的对称轴对称，联结，，若平分，求抛物线的表达式；
（3）若点是抛物线第四象限上一动点，联结、、、，线段与线段交于点，与轴交于点，当时，求的值．
25．（14分）已知在△中，，，，点是边上的一点，将△沿着过点的直线翻折，点落在边上，记作点，折痕所在的直线与射线交于点，过点作，交射线于点．
（1）如图1，当点和点重合时，求的长；
（2）如图2，当点在边上时，设，，求关于的函数解析式并写出定义域；
（3）延长，交的延长线于点，当△是以为腰的等腰三角形时，求的长．
参考答案
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）
1．如果两个相似三角形的面积比为，那么这两个三角形的对应中线的比为（　　）
A． B． C． D．
解：两个相似三角形的面积比为，
两个三角形的相似比为．
又相似三角形对应中线的比等于相似比，
这两个三角形的对应中线的比为．
综上所述，只有选项正确，符合题意，
故选：．
2．在△中，，，，那么下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
解：由勾股定理得到：，
，，，．
故选：．
3．将抛物线平移，使顶点移到点的位置，所得新抛物线的表达式是（　　）
A． B． C． D．
解：将抛物线平移，使顶点移到点的位置，
所得新抛物线的表达式是．
故选：．
4．下列命题正确的是（　　）
A．如果，那么
B．如果都是单位向量，那么
C．如果，那么
D．如果或，那么
解：．向量相等需要大小和方向都相同，仅模长相等不能推出向量相等，故本选项不符合题意；
．单位向量仅模长为 1，但方向可以不同，不能推出向量相等，故本选项不符合题意；
．方向相反的向量是平行向量，故本选项符合题意；
．数乘向量的结果是向量，正确结论应为零向量，而不是数字 0，故本选项不符合题意．
故选：．
5．如图，在△中，点、分别在、的反向延长线上，已知，下列条件中能判定的是（　　）
A． B． C． D．
解：选项符合题意．
理由：，
，
，
，
．
故选：．
6．在△和△中，，，根据下列条件，一定能判断△和△相似的是（　　）
A． B． C． D．
解：、两三角形的两边对应成比例，但夹角不一定相等，不能判定△和△相似，故不符合题意；
、由，，，推出，判定△是等边三角形，但△不一定是等边三角形，因此两个三角形不一定相似，故不符合题意；
、，和的夹角是，和夹角是，应该是而不是，才能判定△和△相似，故不符合题意；
、由两个等腰三角形的底角相等得到，而，判定△和△相似，故符合题意．
故选：．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．如果，那么 　　．
解：，
，
．
故答案为：．
8．计算： ．
解：原式
．
故答案为：．
9．已知线段的长为，如果点是线段的黄金分割点，那么的值是 ．
解：线段的长为，点是线段的黄金分割点，
，
故答案为：．
10．如果抛物线开口向下，那么的取值范围是 ．
解：如果抛物线开口向下，
抛物线的二次项系数为．
抛物线开口向下，
，解得；
故答案为：．
11．已知点、为二次函数图象上的两点，那么 （填“”、“ ”或“” ．
解：二次函数的开口向下，对称轴为直线，开口向下时，点离对称轴越近，函数值越大，
点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为．
且，
．
故答案为：．
12．小明沿着坡度的斜坡前行了65米，那么他距离地面的垂直高度上升了　25　 米．
解：设小明距离地面的垂直高度上升了米，
斜坡的坡度，
小明行走的水平距离为米，
由勾股定理得：，
解得：（负值舍去），
则小明距离地面的垂直高度上升了25米，
故答案为：25．
13．用“描点法”画二次函数的图象时，列出了如下的表格：
0 1 2 3 4
0 1 0
那么当时，该二次函数的值为　　．
解：从表格可知：抛物线的顶点坐标为，
设，
从表格可知过点，代入得：，
解得：，
即，
当时，，
故答案为：．
14．如图，已知直线、、分别与直线交于点、、，与直线交于点、、，如果，，，，则的长是 ．
解：，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
15．如图，已知在四边形中，，，如果，，那么 ．
解：，
，
，
△△，
，
，，
，
故答案为：．
16．在△中，是锐角），，，那么的长为　4　 ．
解：过点作的垂线，垂足为，如图所示，
在△中，
．
，，
，
则．
，，
，
，
．
故答案为：4．
17．如图，点是△的重心，点是边的中点，交于点，交于点，则的比值为 ．
解：连接，，，设的延长线交于点，过点作于点，过点作于点，
点是△的重心，点是边的中线，
经过点，在的延长线上取一点，使，连接，，如图所示：
，
点是边的中线，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
点是△的重心，
是△的中线，
，
是△的中位线，
，
，
设，，
，
于点，于点，
，
△△，
，
，
，
，
交于点，交于点，
四边形是平行四边形，
四边形，
．
故答案为：．
18．定义：当一个三角形有两个内角的差为时，这个三角形叫做“差直角三角形”．如图，在△中，，，点是边上的一动点（且，若△是“差直角三角形”，则的长为或 ．
解：如图，过点作于，过点作，交于．
，，
为中点，．
．，
为钝角．
分两种情况：
①，则，
．
，，
△△，
，即，
解得，
；
②，则，
，
．
，
△△，
，即，
，，
，
，
．解得，
，
，
综上，的长为或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：．
解：原式
．
20．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若将该抛物线向上平移个单位长度，使得平移后的抛物线与轴只有一个公共点，求的值．
解：（1）由题意可得：
得，
解得．
抛物线的表达式；
（2），
该抛物线的顶点为．
要使抛物线与轴只有一个公共点，即要求顶点在轴上，
顶点纵坐标应为0．
将该抛物线向上平移5个单位后，所得抛物线与轴只有一个公共点．
的值是5．
21．（10分）如图，在梯形中，，且，点是边的中点，联结交对角线于点．
（1）当时，求的长；
（2）设，请用、表示．
解：（1），
△△，
点是的中点，且，
，即，
，
；
（2）且，
，
且，
，
由（1）知，即，
．
22．（10分）长兴岛风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能，实现海岛能源的绿色转型（如图．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动．已知三片风叶、、两两所成的角为，在实地测量中（如图，当其中一片风叶与塔干叠合时（即、、在一直线上），在与塔底水平距离为200米的处，测得塔干顶部的仰角为，风叶的端点的仰角为，点，，，，，，在同一平面内．
（参考数据，，，
（1）求塔干的长度；
（2）求风叶的长度．（精确到1米）
解：（1）由题意得：，
在△中，，米，
（米，
塔干的长度约为150米；
（2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，
由题意得：米，，，
，
，
设米，则米，
在△中，（米，
在△中，，
米，
，
，
解得：，
米，
在△中，（米，
风叶的长度约为98米．
23．（12分）如图，在△中，点、分别在边、上，，与交于点，且．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
【解答】（1）证明：，
，
为公共角，
△△，
，
，
，
；
（2）证明：，
，
由（1）知，
，，
，
，
△△，
，
，
，
．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于和两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．
（1）求点和点的坐标；
（2）若点与点关于抛物线的对称轴对称，联结，，若平分，求抛物线的表达式；
（3）若点是抛物线第四象限上一动点，联结、、、，线段与线段交于点，与轴交于点，当时，求的值．
解：（1）在中，令得：，
解得或，
，；
（2）如图：
，
抛物线的对称轴为直线，
在中，令得，
，
点与点关于抛物线的对称轴直线对称，
，轴，
，
平分，
，
，
，
，，，
，
解得或，
，
，
抛物线的表达式为；
（3）如图：
，
，
，
直线解析式为，
，
，
，
设直线解析式为，
把代入得：，
，
直线解析式为，
联立，
解得或，
，
由，得直线解析式为，
在中，令得，
，，
，，
，，
．
25．（14分）已知在△中，，，，点是边上的一点，将△沿着过点的直线翻折，点落在边上，记作点，折痕所在的直线与射线交于点，过点作，交射线于点．
（1）如图1，当点和点重合时，求的长；
（2）如图2，当点在边上时，设，，求关于的函数解析式并写出定义域；
（3）延长，交的延长线于点，当△是以为腰的等腰三角形时，求的长．
解：在△中，，，，
，
△沿着折叠得到△，
，，，
，，
设，则，，
在△ 中，由勾股定理得，解得，故；
（2）由翻折性质知，，，
，
，
，，
．
，，
，
△△，
，
在△ 中，，，
，
又，，
，
当点在上时，由（1），当与重合时，
，
当点与点重合时，，
，
定义域是综上，关于的函数解析式是，定义域是．
（3）设，易得△△，
，即，
，；
①如图，点在的延长线上时，
，
只能，此时，
同（2）得到，，
，即．
又，
，
，△是等腰三角形，
，
在△中作于，则，
，即，
，
解方程，得，
当，；
②如图，点在线段上时，
，
只能，此时，
，，
，即，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，解得，
．

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