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湖南省长沙市长郡双语实验中学2024-2025学年九年级下学期开学数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2025九下·岳麓开学考）下列实数中，是无理数的是（　　）
A． B． C．3.14 D．
【答案】A
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、是无理数，
∴此选项符合题意；
B、是有理数，
∴此选项不符合题意；
C、3.14是有理数，
∴此选项不符合题意；
D、是有理数，
∴此选项不符合题意．
故答案为：A.
【分析】根据无理数的定义"无限不循环小数称为无理数"即可判断求解．
2．（2025九下·岳麓开学考）如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（　　）
A．不变 B．缩小3倍 C．扩大3倍 D．扩大9倍
【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】如果把分式中的x和y都扩大3倍，
得，．
∴分式的值不变．
故答案为：A．
【分析】根据分式的基本性质“分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变”化简即可求解．
3．（2025九下·岳麓开学考）某公司运用技术，下载一个的文件大约需要秒，将数字用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】绝对值小于1且大于0的数用科学记数法表示为：a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n=从左向右第一个不是0的数字前的0的个数，根据科学记数法的意义可求解.
4．（2025九下·岳麓开学考）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A．正三角形 B．平行四边形
C．等腰直角三角形 D．矩形
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，∴此选项不符合题意；
B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
C、等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
D、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，
∴此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可判断求解.
5．（2025九下·岳麓开学考）《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四、问人数、物价各几何？”译为：“今有几个人合伙购买一件物品，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数和物品价格分别是多少？”设人数为x，则列出方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设人数为，物品价格不变，
根据题意可得：
故答案为：A．
【分析】设人数为，利用“物品价格不变”列出方程即可.
6．（2025九下·岳麓开学考）由下表估算一元二次方程的一个近似解的范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：∵，
∴的一个近似解的范围为．
故答案为：C．
【分析】根据表格中的数据找出与ax2+bx的值最接近时所对应的x的值即可求解．
7．（2025九下·岳麓开学考）二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：A、由二次函数图象可得，，由一次函数图象可得，，∴此选项不符合题意；
B、由二次函数图象可得，，由一次函数图象可得，，两函数与轴交于同一点，
∴此选项符合题意；
C、由二次函数图象可得，，由一次函数图象可得，，
∴此选项不符合题意；
D、由二次函数图象可得，，由一次函数图象可得，，
∴此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】A、根据二次函数的图象开口方向和与y轴的交点所在的位置可判断a、c的符号；根据一次函数与x轴和y轴的交点可得a、c的符号即可判断求解；
B、C、D：同理可求解．
8．（2025九下·岳麓开学考）在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A、，
∴；
∴此选项不符合题意；
B、，
∴；
∴此选项符合题意；
C、，此方程无解；
∴此选项不符合题意；
D、，
∴，
∴；
∴此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】由题意，分别求出每个方程的解即可判断求解．
9．（2025九下·岳麓开学考）如图，是的切线，切点为，的延长线交于点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴的度数为．
故答案为：A．
【分析】连接，根据圆周角定理“同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半”得∠AOP=2∠B可求出的度数，根据切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”可得，然后根据直角三角形的两锐角互余即可求解．
10．（2025九下·岳麓开学考）若，则的值为（　　）
A．. B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】求特殊角的三角函数值；求正切值
【解析】【解答】解：∵sin(A+15°)=，∠A是锐角，
∴A+15°=60°
A=45°；
∴=tan45°=1
故答案为：C.
【分析】由特殊角的三角函数值可得关于∠A的方程，解方程求出∠A的度数，然后根据特殊角的三角函数值即可求解．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2025九下·岳麓开学考）分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】观察多项式可知，每一项都含有公因式2m，于是用提取公因式即可求解．
12．（2025九下·岳麓开学考）甲、乙、丙三名运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示：
　 甲 乙 丙
9.5 9.3 9.5
0.033
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择的运动员是　 　．
【答案】丙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：选择一名成绩好的运动员，从平均数最大的运动员中选取，
由表可知，甲，丙的平均值最大，都是9.5，
∴从甲，丙中选取，
∵甲的方差是，丙的方差是，
∴甲的方差大于丙的方差，
∴发挥最稳定的运动员是丙，
∴从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择丙．
故答案为：丙．
【分析】方差的意义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.
13．（2025九下·岳麓开学考）如图，过反比例函数（）的图象上一点作轴于点，连接，若，则反比例函数的表达式为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：设，则
∴
又∵函数图象在第二象限
∴
∴
故答案为
【分析】设，根据可得关于k的方程，结合反比例函数图象所在的象限可求得k的值，于是可得反比例函数的表达式．
14．（2025九下·岳麓开学考）已知抛物线，当时，随的增大而增大，的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，随增大而增大，
当时，随的增大而增大，
，
故答案为：．
【分析】根据抛物线的对称轴为直线x=并结合二次函数的性质可得：当时，随增大而增大，再结合题意可求解．
15．（2025九下·岳麓开学考）如图，在中，，平分，交的延长线于点F，若，，，则　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，根据相似三角形的对应边的比相等可得比例式，由比例式可求得DE的值，由平行线的性质和角平分线的定义可得∠F=∠DBF，由等角对等边可得DB=DF，然后根据线段的和差EF=DF-DE即可求解.
16．（2025九下·岳麓开学考）如图，是以原点为圆心，为半径的圆，点是直线上的一点，过点作的一条切线，为切点，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的性质；一次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，作于，连接，
，
在中，当，，
∴，
当时，，
解得：，
∴，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
为切线，
，
，
，
，
当最小时，最小，
最小时，最小，
当时，即点运动到点时，最小，最小，此时，
，
，
故答案为：．
【分析】过点O作于，连接，由题意先求出点的坐标，然后可得三角形AOB是等腰直角三角形用勾股定理求得AB的值为，根据等腰三角形的三线合一和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=AB求得OH的值，再由切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”可得，在Rt OPQ中，用勾股定理求得PQ的值，于是可得：当时，即点运动到点时，最小，最小，然后求出此时的的长度即可求解．
三、解答题（共72分小题）
17．（2025九下·岳麓开学考）计算：．
【答案】解：原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质进行化简，再计算加减即可求出答案.
18．（2025九下·岳麓开学考）先化简，再求值： ，其中
【答案】解：
=
=
=，
当时，原式=．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先运算括号内的分式减法，然后把除法化为乘法，分解因式后约分化简，代入数值计算解题．
19．（2025九下·岳麓开学考）已知x1、x2是一元二次方程的两个实数根.
（1）求a的取值范围
（2）是否存在实数a ，使-x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由
【答案】解：（1）∵x1，x2是一元二次方程的两个实数根，
∴
解得：
∴a≥0且a≠6
（2）存在，a=24，理由如下：
∵a使成立，
则，
∴根据根与系数的关系得：
x1+x2=，x1x2=，
∴，
解得：a=24
∵a=24满足a≥0且a≠6，
∴存在实数a=24，使成立
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"并结合一元二次方程的定义可得关于a的不等式组，解之即可求解；
（2）根据根与系数的关系，可将，的用含a的代数式表示出来，代入已知的等式可得关于a的方程，解方程即可求解.
20．（2025九下·岳麓开学考）我国古诗词源远流长．某校以“赏诗词之美、寻文化之根、铸民族之魂”为主题，组织学生开展了古诗词知识竞赛活动．为了解学生对古诗词的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：
（1）本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；
（2）若该校共有2000人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数；
（3）学校在竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加经典诵读活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率．
【答案】（1）解：400，
补全条形统计图如下所示：
（2）解：（名），
答：估计竞赛成绩为B等级的学生人数为800名；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有1人被选中有8种等可能的结果，
∴甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由图可得，（名），
∴D等级的人数为：（名），
故答案为：400；
【分析】
（1）利用C等级的人数除以其所占的百分比求得样本总数，再利用样本总人数减去其他等级的人数求得D等级的人数，再补全条形统计图即可解答；
（2）利用B等级的人数除以样本总数求得其所占的百分比，再乘除全校人数即可求解；
（3）画树状图可得共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有1人被选中有8种等可能的结果，再利用概率公式求解即可．
（1）解：由图可得，（名），
∴D等级的人数为：（名），
补全条形统计图如下所示：
故答案为：400；
（2）解：（名），
答：估计竞赛成绩为B等级的学生人数为800名；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有1人被选中有8种等可能的结果，
∴甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率为．
21．（2025九下·岳麓开学考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为的中点，延长AD，BC交于P，连结AC．
（1）求证：AB＝AP；
（2）当AB＝10，DP＝2时，求线段CP的长．
【答案】解：(1)证明：∵C为的中点，
∴∠BAC＝∠CAP，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ACP＝90°，
∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠P+∠CAP＝90°，
∴∠ABC＝∠P，
∴AB＝AP．
(2)解：如图，连接BD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠BDP＝90°，
∵AB＝AP＝10，DP＝2，
∴AD＝10﹣2＝8，
∴BD＝，
∴PB＝，
∵AB＝AP，AC⊥BP，
∴BC＝PC＝PB＝，
∴PC＝．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆与三角形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)根据圆周角定理“直径所对圆周角是直角”可得∠ACB＝∠ACP＝90°，由等角的余角相等可得∠ABC＝∠P，然后根据等角对等边即可求解；
(2)连接BD，根据圆周角定理“直径所对圆周角是直角”可得∠ADB＝∠BDP＝90°，在Rt△ABD、Rt△PBD中，用勾股定理分别求出BD，PB的值，然后由等腰三角形的三线合一得PC=BC=PB即可求解．
22．（2025九下·岳麓开学考）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加元，每天售出件．
（1）请写出与之间的函数表达式；
（2）当为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？
（3）设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时最大，最大值是多少？
【答案】解：（1）根据题意得，；
（2）根据题意得，，
解得：，，
∵每件利润不能超过60元，
∴，
答：当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元；
（3）根据题意得，，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，，
答：当为20时最大，最大值是2400元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意即可列函数关系式；
（2）根据题中的相等关系“单件的利润×销售量=总利润2250”列关于x的方程，解方程并结合题意检验即可求解；
（3）根据题意“总利润=单件的利润×销售量”可得w与x之间的函数关系式，将这个关系式配成顶点式，再根据二次函数的性质可求解．
23．（2025九下·岳麓开学考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)求证：；
(3)若BE=8，sinB=，求AD的长，
【答案】（1）证明：如图，连接OD，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C=90°，
∴∠ODC=90°，
∴OD⊥BC，
∴BC为圆O的切线；
（2）证明：连接DF，由（1）知BC为圆O的切线，
∴∠FDC=∠DAF，
∴∠CDA=∠CFD，
∴∠AFD=∠ADB，
∵∠BAD=∠DAF，
∴△ABD∽△ADF，
∴，
即AD2=AB AF；
(3)解：连接EF，在Rt△BOD中，sinB=，
设圆的半径为r，可得，
解得：r=5，
∴AE=10，AB=18，
∵AE是直径，
∴∠AFE=∠C=90°，
∴EF∥BC，
∴∠AEF=∠B，
∴sin∠AEF=，
∴AF=AE sin∠AEF=10×=，
∵AD2=AB AF
∴AD=
【知识点】解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接OD，由角平分线的定义并结合等边对等角可得∠ODA=∠CAD，由平行线的判定“内错角相等，两直线平行”可得OD∥AC，由平行线的性质可得OD⊥BC，然后根据圆的切线的判定即可求解；（2）连接DF，结合（1）的结论，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得△ABD∽△ADF，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，将比例式化为乘积式即可求解；
（3）连接EF，设圆的半径为r，在Rt△BOD中，由锐角三角函数sinB=可得关于r的方程，解方程求得r的值，由直径所对的圆周角为直角，根据平行线的性质可得sin∠AEF=sinB，在Rt△AEF中，由锐角三角函数sin∠AEF=求出AF的长，再代入（2）的结论计算即可求解．
24．（2025九下·岳麓开学考）已知二次函数的图像经过点，点，是此二次函数的图象上的两个动点．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图1，此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接．若，求证的值为定值；
（3）如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值．
【答案】（1）解：∵二次函数的图像经过点，
∴，
∴，
∴；

（2）解：当时，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，．
∴，
∴的值为定值；
（3）解：设，则，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
当时，
，
∴当时，线段长度的最大值．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入二次函数表达式即可求出答案.
（2）根据x轴上点的坐标特征可得，设直线的解析式为，根据待定系数法将点A，B坐标代入直线解析式可得，设，则，，根据两点间距离可得，，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）设，则，设直线的解析式为，将P，Q坐标代入解析式可得，再将代入解析式可得，结合二次函数性质即可求出答案.
（1）∵二次函数的图像经过点，
∴，
∴，
∴；
（2）当时，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，．
∴，
∴的值为定值；
（3）设，则，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
当时，
，
∴当时，线段长度的最大值．
25．（2025九下·岳麓开学考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3）将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，连接交轴于点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，交轴于点，
抛物线的对称轴是直线，
∴，
解得，
∴；
（2）解：如图，延长交轴于，过作轴于，
∵当时，
解得：，，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
设为，
∴，解得：，
∴直线为：，
设，
∴，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴
，
当时，取得最大值，最大值为；
此时；
最大值为；；
（3）解：∵抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，
∴新的抛物线为：，，
如图，当在轴的左侧时，过作轴于，
∵，
同理可得：直线为，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
解得：或（舍去）
∴；
如图，当在轴的右侧时，过作轴的垂线，过作过的垂线于，
同理可得：，
设，则，
同理可得：，
∴或（舍去），
∴．
或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）由题意，用待定系数法可求解；
（2）如图，延长交轴于，过作轴于，在Rt△BOC中，用勾股定理求得BC的值，由锐角三角函数求得sin∠BCO的值，由平行线的性质可得∠PHE=∠BCO，于是可得，设，，，代入PD+PE并结合二次函数的性质即可求解；
（3）由抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，可得新的抛物线为：，，如图，当在轴的左侧时，过作轴于，证明，可得，证明，再结合三角函数可得关于n的方程，解方程求得n的值，于是可得点N的坐标；如图，当在轴的右侧时，过作轴的垂线，过作过的垂线于，同理可得：，根据锐角三角函数可得关于x的方程。解方程即可求解，综合两种情况即可求解．
（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线，
∴，
解得，
∴；
（2）解：如图，延长交轴于，过作轴于，
∵当时，
解得：，，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
设为，
∴，解得：，
∴直线为：，
设，
∴，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴
，
当时，取得最大值，最大值为；
此时；
（3）解：∵抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，
∴新的抛物线为：，，
如图，当在轴的左侧时，过作轴于，
∵，
同理可得：直线为，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
解得：或（舍去）
∴；
如图，当在轴的右侧时，过作轴的垂线，过作过的垂线于，
同理可得：，
设，则，
同理可得：，
∴或（舍去），
∴．
1 / 1湖南省长沙市长郡双语实验中学2024-2025学年九年级下学期开学数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2025九下·岳麓开学考）下列实数中，是无理数的是（　　）
A． B． C．3.14 D．
2．（2025九下·岳麓开学考）如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（　　）
A．不变 B．缩小3倍 C．扩大3倍 D．扩大9倍
3．（2025九下·岳麓开学考）某公司运用技术，下载一个的文件大约需要秒，将数字用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九下·岳麓开学考）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A．正三角形 B．平行四边形
C．等腰直角三角形 D．矩形
5．（2025九下·岳麓开学考）《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四、问人数、物价各几何？”译为：“今有几个人合伙购买一件物品，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数和物品价格分别是多少？”设人数为x，则列出方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025九下·岳麓开学考）由下表估算一元二次方程的一个近似解的范围为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025九下·岳麓开学考）二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025九下·岳麓开学考）在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025九下·岳麓开学考）如图，是的切线，切点为，的延长线交于点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025九下·岳麓开学考）若，则的值为（　　）
A．. B． C．1 D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2025九下·岳麓开学考）分解因式：　 　．
12．（2025九下·岳麓开学考）甲、乙、丙三名运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示：
　 甲 乙 丙
9.5 9.3 9.5
0.033
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择的运动员是　 　．
13．（2025九下·岳麓开学考）如图，过反比例函数（）的图象上一点作轴于点，连接，若，则反比例函数的表达式为　 　．
14．（2025九下·岳麓开学考）已知抛物线，当时，随的增大而增大，的取值范围是　 　．
15．（2025九下·岳麓开学考）如图，在中，，平分，交的延长线于点F，若，，，则　 　．
16．（2025九下·岳麓开学考）如图，是以原点为圆心，为半径的圆，点是直线上的一点，过点作的一条切线，为切点，则的最小值为　 　．
三、解答题（共72分小题）
17．（2025九下·岳麓开学考）计算：．
18．（2025九下·岳麓开学考）先化简，再求值： ，其中
19．（2025九下·岳麓开学考）已知x1、x2是一元二次方程的两个实数根.
（1）求a的取值范围
（2）是否存在实数a ，使-x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由
20．（2025九下·岳麓开学考）我国古诗词源远流长．某校以“赏诗词之美、寻文化之根、铸民族之魂”为主题，组织学生开展了古诗词知识竞赛活动．为了解学生对古诗词的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：
（1）本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；
（2）若该校共有2000人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数；
（3）学校在竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加经典诵读活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率．
21．（2025九下·岳麓开学考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为的中点，延长AD，BC交于P，连结AC．
（1）求证：AB＝AP；
（2）当AB＝10，DP＝2时，求线段CP的长．
22．（2025九下·岳麓开学考）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加元，每天售出件．
（1）请写出与之间的函数表达式；
（2）当为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？
（3）设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时最大，最大值是多少？
23．（2025九下·岳麓开学考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)求证：；
(3)若BE=8，sinB=，求AD的长，
24．（2025九下·岳麓开学考）已知二次函数的图像经过点，点，是此二次函数的图象上的两个动点．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图1，此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接．若，求证的值为定值；
（3）如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值．
25．（2025九下·岳麓开学考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3）将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，连接交轴于点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、是无理数，
∴此选项符合题意；
B、是有理数，
∴此选项不符合题意；
C、3.14是有理数，
∴此选项不符合题意；
D、是有理数，
∴此选项不符合题意．
故答案为：A.
【分析】根据无理数的定义"无限不循环小数称为无理数"即可判断求解．
2．【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】如果把分式中的x和y都扩大3倍，
得，．
∴分式的值不变．
故答案为：A．
【分析】根据分式的基本性质“分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变”化简即可求解．
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】绝对值小于1且大于0的数用科学记数法表示为：a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n=从左向右第一个不是0的数字前的0的个数，根据科学记数法的意义可求解.
4．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，∴此选项不符合题意；
B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
C、等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
D、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，
∴此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可判断求解.
5．【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设人数为，物品价格不变，
根据题意可得：
故答案为：A．
【分析】设人数为，利用“物品价格不变”列出方程即可.
6．【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：∵，
∴的一个近似解的范围为．
故答案为：C．
【分析】根据表格中的数据找出与ax2+bx的值最接近时所对应的x的值即可求解．
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：A、由二次函数图象可得，，由一次函数图象可得，，∴此选项不符合题意；
B、由二次函数图象可得，，由一次函数图象可得，，两函数与轴交于同一点，
∴此选项符合题意；
C、由二次函数图象可得，，由一次函数图象可得，，
∴此选项不符合题意；
D、由二次函数图象可得，，由一次函数图象可得，，
∴此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】A、根据二次函数的图象开口方向和与y轴的交点所在的位置可判断a、c的符号；根据一次函数与x轴和y轴的交点可得a、c的符号即可判断求解；
B、C、D：同理可求解．
8．【答案】B
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A、，
∴；
∴此选项不符合题意；
B、，
∴；
∴此选项符合题意；
C、，此方程无解；
∴此选项不符合题意；
D、，
∴，
∴；
∴此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】由题意，分别求出每个方程的解即可判断求解．
9．【答案】A
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴的度数为．
故答案为：A．
【分析】连接，根据圆周角定理“同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半”得∠AOP=2∠B可求出的度数，根据切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”可得，然后根据直角三角形的两锐角互余即可求解．
10．【答案】C
【知识点】求特殊角的三角函数值；求正切值
【解析】【解答】解：∵sin(A+15°)=，∠A是锐角，
∴A+15°=60°
A=45°；
∴=tan45°=1
故答案为：C.
【分析】由特殊角的三角函数值可得关于∠A的方程，解方程求出∠A的度数，然后根据特殊角的三角函数值即可求解．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】观察多项式可知，每一项都含有公因式2m，于是用提取公因式即可求解．
12．【答案】丙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：选择一名成绩好的运动员，从平均数最大的运动员中选取，
由表可知，甲，丙的平均值最大，都是9.5，
∴从甲，丙中选取，
∵甲的方差是，丙的方差是，
∴甲的方差大于丙的方差，
∴发挥最稳定的运动员是丙，
∴从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择丙．
故答案为：丙．
【分析】方差的意义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.
13．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：设，则
∴
又∵函数图象在第二象限
∴
∴
故答案为
【分析】设，根据可得关于k的方程，结合反比例函数图象所在的象限可求得k的值，于是可得反比例函数的表达式．
14．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，随增大而增大，
当时，随的增大而增大，
，
故答案为：．
【分析】根据抛物线的对称轴为直线x=并结合二次函数的性质可得：当时，随增大而增大，再结合题意可求解．
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，根据相似三角形的对应边的比相等可得比例式，由比例式可求得DE的值，由平行线的性质和角平分线的定义可得∠F=∠DBF，由等角对等边可得DB=DF，然后根据线段的和差EF=DF-DE即可求解.
16．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的性质；一次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，作于，连接，
，
在中，当，，
∴，
当时，，
解得：，
∴，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
为切线，
，
，
，
，
当最小时，最小，
最小时，最小，
当时，即点运动到点时，最小，最小，此时，
，
，
故答案为：．
【分析】过点O作于，连接，由题意先求出点的坐标，然后可得三角形AOB是等腰直角三角形用勾股定理求得AB的值为，根据等腰三角形的三线合一和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=AB求得OH的值，再由切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”可得，在Rt OPQ中，用勾股定理求得PQ的值，于是可得：当时，即点运动到点时，最小，最小，然后求出此时的的长度即可求解．
17．【答案】解：原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质进行化简，再计算加减即可求出答案.
18．【答案】解：
=
=
=，
当时，原式=．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先运算括号内的分式减法，然后把除法化为乘法，分解因式后约分化简，代入数值计算解题．
19．【答案】解：（1）∵x1，x2是一元二次方程的两个实数根，
∴
解得：
∴a≥0且a≠6
（2）存在，a=24，理由如下：
∵a使成立，
则，
∴根据根与系数的关系得：
x1+x2=，x1x2=，
∴，
解得：a=24
∵a=24满足a≥0且a≠6，
∴存在实数a=24，使成立
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"并结合一元二次方程的定义可得关于a的不等式组，解之即可求解；
（2）根据根与系数的关系，可将，的用含a的代数式表示出来，代入已知的等式可得关于a的方程，解方程即可求解.
20．【答案】（1）解：400，
补全条形统计图如下所示：
（2）解：（名），
答：估计竞赛成绩为B等级的学生人数为800名；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有1人被选中有8种等可能的结果，
∴甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由图可得，（名），
∴D等级的人数为：（名），
故答案为：400；
【分析】
（1）利用C等级的人数除以其所占的百分比求得样本总数，再利用样本总人数减去其他等级的人数求得D等级的人数，再补全条形统计图即可解答；
（2）利用B等级的人数除以样本总数求得其所占的百分比，再乘除全校人数即可求解；
（3）画树状图可得共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有1人被选中有8种等可能的结果，再利用概率公式求解即可．
（1）解：由图可得，（名），
∴D等级的人数为：（名），
补全条形统计图如下所示：
故答案为：400；
（2）解：（名），
答：估计竞赛成绩为B等级的学生人数为800名；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有1人被选中有8种等可能的结果，
∴甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率为．
21．【答案】解：(1)证明：∵C为的中点，
∴∠BAC＝∠CAP，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ACP＝90°，
∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠P+∠CAP＝90°，
∴∠ABC＝∠P，
∴AB＝AP．
(2)解：如图，连接BD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠BDP＝90°，
∵AB＝AP＝10，DP＝2，
∴AD＝10﹣2＝8，
∴BD＝，
∴PB＝，
∵AB＝AP，AC⊥BP，
∴BC＝PC＝PB＝，
∴PC＝．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆与三角形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)根据圆周角定理“直径所对圆周角是直角”可得∠ACB＝∠ACP＝90°，由等角的余角相等可得∠ABC＝∠P，然后根据等角对等边即可求解；
(2)连接BD，根据圆周角定理“直径所对圆周角是直角”可得∠ADB＝∠BDP＝90°，在Rt△ABD、Rt△PBD中，用勾股定理分别求出BD，PB的值，然后由等腰三角形的三线合一得PC=BC=PB即可求解．
22．【答案】解：（1）根据题意得，；
（2）根据题意得，，
解得：，，
∵每件利润不能超过60元，
∴，
答：当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元；
（3）根据题意得，，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，，
答：当为20时最大，最大值是2400元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意即可列函数关系式；
（2）根据题中的相等关系“单件的利润×销售量=总利润2250”列关于x的方程，解方程并结合题意检验即可求解；
（3）根据题意“总利润=单件的利润×销售量”可得w与x之间的函数关系式，将这个关系式配成顶点式，再根据二次函数的性质可求解．
23．【答案】（1）证明：如图，连接OD，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C=90°，
∴∠ODC=90°，
∴OD⊥BC，
∴BC为圆O的切线；
（2）证明：连接DF，由（1）知BC为圆O的切线，
∴∠FDC=∠DAF，
∴∠CDA=∠CFD，
∴∠AFD=∠ADB，
∵∠BAD=∠DAF，
∴△ABD∽△ADF，
∴，
即AD2=AB AF；
(3)解：连接EF，在Rt△BOD中，sinB=，
设圆的半径为r，可得，
解得：r=5，
∴AE=10，AB=18，
∵AE是直径，
∴∠AFE=∠C=90°，
∴EF∥BC，
∴∠AEF=∠B，
∴sin∠AEF=，
∴AF=AE sin∠AEF=10×=，
∵AD2=AB AF
∴AD=
【知识点】解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接OD，由角平分线的定义并结合等边对等角可得∠ODA=∠CAD，由平行线的判定“内错角相等，两直线平行”可得OD∥AC，由平行线的性质可得OD⊥BC，然后根据圆的切线的判定即可求解；（2）连接DF，结合（1）的结论，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得△ABD∽△ADF，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，将比例式化为乘积式即可求解；
（3）连接EF，设圆的半径为r，在Rt△BOD中，由锐角三角函数sinB=可得关于r的方程，解方程求得r的值，由直径所对的圆周角为直角，根据平行线的性质可得sin∠AEF=sinB，在Rt△AEF中，由锐角三角函数sin∠AEF=求出AF的长，再代入（2）的结论计算即可求解．
24．【答案】（1）解：∵二次函数的图像经过点，
∴，
∴，
∴；

（2）解：当时，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，．
∴，
∴的值为定值；
（3）解：设，则，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
当时，
，
∴当时，线段长度的最大值．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入二次函数表达式即可求出答案.
（2）根据x轴上点的坐标特征可得，设直线的解析式为，根据待定系数法将点A，B坐标代入直线解析式可得，设，则，，根据两点间距离可得，，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）设，则，设直线的解析式为，将P，Q坐标代入解析式可得，再将代入解析式可得，结合二次函数性质即可求出答案.
（1）∵二次函数的图像经过点，
∴，
∴，
∴；
（2）当时，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，．
∴，
∴的值为定值；
（3）设，则，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
当时，
，
∴当时，线段长度的最大值．
25．【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，交轴于点，
抛物线的对称轴是直线，
∴，
解得，
∴；
（2）解：如图，延长交轴于，过作轴于，
∵当时，
解得：，，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
设为，
∴，解得：，
∴直线为：，
设，
∴，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴
，
当时，取得最大值，最大值为；
此时；
最大值为；；
（3）解：∵抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，
∴新的抛物线为：，，
如图，当在轴的左侧时，过作轴于，
∵，
同理可得：直线为，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
解得：或（舍去）
∴；
如图，当在轴的右侧时，过作轴的垂线，过作过的垂线于，
同理可得：，
设，则，
同理可得：，
∴或（舍去），
∴．
或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）由题意，用待定系数法可求解；
（2）如图，延长交轴于，过作轴于，在Rt△BOC中，用勾股定理求得BC的值，由锐角三角函数求得sin∠BCO的值，由平行线的性质可得∠PHE=∠BCO，于是可得，设，，，代入PD+PE并结合二次函数的性质即可求解；
（3）由抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，可得新的抛物线为：，，如图，当在轴的左侧时，过作轴于，证明，可得，证明，再结合三角函数可得关于n的方程，解方程求得n的值，于是可得点N的坐标；如图，当在轴的右侧时，过作轴的垂线，过作过的垂线于，同理可得：，根据锐角三角函数可得关于x的方程。解方程即可求解，综合两种情况即可求解．
（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线，
∴，
解得，
∴；
（2）解：如图，延长交轴于，过作轴于，
∵当时，
解得：，，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
设为，
∴，解得：，
∴直线为：，
设，
∴，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴
，
当时，取得最大值，最大值为；
此时；
（3）解：∵抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，
∴新的抛物线为：，，
如图，当在轴的左侧时，过作轴于，
∵，
同理可得：直线为，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
解得：或（舍去）
∴；
如图，当在轴的右侧时，过作轴的垂线，过作过的垂线于，
同理可得：，
设，则，
同理可得：，
∴或（舍去），
∴．
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