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四川省广安第二中学校“1+N”教学检测暨 2025 年中考适应性考试 数 学 试 卷
一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡相应位置上，本大题共10个小题，每小题4分，共40分）
1．（2025·广安模拟）在﹣，1，，3中，比0小的数是（　　）
A．﹣ B．1 C． D．3
2．（2025·广安模拟）下列几何体的三种视图都是圆形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·广安模拟）下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·广安模拟）祖国江山美丽如画，川西风光多姿多彩．据四川省某州相关部门通报，“五一”期间，全国各地众多游客前往旅游，共接待游客约1665000人次．将1665000用科学记数法表示应为（　　）
A．0.1665×107 B．1.665×106 C．16.65×105 D．166.5×104
5．（2025·广安模拟）下列说法正确的是（　　）
A．一组数据2，3，3，4，5，6的众数和中位数都是3
B．“打开电视机，正在播放足球赛”是必然事件
C．了解贵州省中学生观看电影《哪吒2》的情况适合采用普查（全面调查）
D．甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定
6．（2025·广安模拟）甲，乙两人进行慢跑练习，慢跑路程为（）与所用时间（）之间的关系如图，下列说法错误的是（ ）
A．钟时两人都跑了
B．前两钟，乙的平均速度比甲快
C．乙跑完的平均速度是/
D．甲跑完的平均速度是/
7．（2025·广安模拟）对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（　　）
A． B．
C．且 D．且
8．（2025·广安模拟）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两，问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025·广安模拟）如图，在等腰直角中，点E在OA上，以点O为圆心、OE为半径作圆弧交OB于点F，连接EF，已知阴影部分面积为，则EF的长度为（　　）
A． B．2 C． D．
10．（2025·广安模拟）函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（　　）
① ；②； ③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点．
A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
二、填空题（请将最简答案填写在答题卡相应位置．本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
11．（2025·广安模拟）若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　.
12．（2025·广安模拟）因式分解： 　 　．
13．（2025·广安模拟）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C=65°，则∠P的度数为　 　．
14．（2025·广安模拟）如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，若BC＝9，CD＝3，那么阴影部分的面积为 　 　．
三、解答题（本大题共5个小题，共44分）
15．（2025·广安模拟）（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中a为满足的偶数
16．（2025·广安模拟）为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下表格和扇形统计图．
参加四个社团活动人数统计表
社团活动 舞蹈 篮球 围棋 足球
人数 50 30 　 80
参加四个社团活动人数扇形统计图
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）抽取的学生共有 人，其中参加围棋社的有 人；
（2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生有多少人？
（3）某班有3男2女共5名学生参加足球社，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，请用树状图或列表法说明恰好抽到一男一女的概率．
17．（2025·广安模拟）如图，灯塔位于港口的北偏东方向，且、之间的距离为，灯塔位于灯塔的正东方向，且、之间的距离为，一艘轮船从港口出发，沿正南方向航行到达处，测得灯塔位于北偏东方向上，这时，处距离港口有多远（结果取整数）？（参考数据：，，，，，）
18．（2025·广安模拟）如图，直线与y轴交于A点，与反比例函数的图象交于点M，过M作轴于点H，且．
（1）求k的值；
（2）点是反比例函数图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（2025·广安模拟）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．
（1）求证：AE与⊙O相切；
（2）当BC＝4，cosC＝时，求⊙O的半径．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
20．（2025·广安模拟）、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为　 　．
21．（2025·广安模拟）如图，四边形内接于，它的3个外角，，的度数之比为，则　 　．
22．（2025·广安模拟）若关于x的方程.无解，则m的值是　 　．
23．（2025·广安模拟）如图，在中，，，D是边的中点，E是边上一点，若平分的周长，则的长为　 　．
24．（2025·广安模拟）如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的正六边形绕点O顺时针旋转n个45°得到正六边形，当时，正六边形的顶点的坐标是　 　．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分）
25．（2025·广安模拟）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．
（1）求甲乙两种类型笔记本的单价．
（2）该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少．
26．（2025·广安模拟）综合与实践
问题情境：
在中，．直角三角板中，将三角板的直角顶点D放在斜边的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边分别与边交于点M，N，
猜想证明：
（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由；
问题解决：
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长；
27．（2025·广安模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
（3）如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵﹣<0<<1<3
∴在﹣，1，，3中，比0小的数是﹣.
故答案为：A.
【分析】实数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可.
2．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：观察几何体可知：
A、主视图和左视图为长方形，俯视图为圆形，
∴此选项不符合题意；
B、主视图、俯视图和左视图都为圆形，
∴此选项符合题意；
C、主视图和左视图为等腰三角形，俯视图为带圆心的圆，
∴此选项不符合题意；
D、主视图和左视图为等腰梯形，俯视图为圆环，
∴此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据"主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形"并结合各选项即可判断求解.
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】A、，选项错误，不符合题意；
B、，选项正确，符合题意；
C、，选项错误，不符合题意；
D、，选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用积的乘方，底数不变，指数相乘，可对A作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对B作出判断；利用合并同类项的法则，可对C作出判断；利用同底数幂相除，底数不变指数相减，可对D作出判断.
4．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意得将1665000用科学记数法表示应为1.665×106
故答案为：B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
5．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：一组数据2，3，3，4，5，6的众数是3，中位数是，故A错误；
“打开电视机，正在播放足球赛”是随机事件，故B错误；
了解贵州省中学生观看电影《哪吒2》的情况适合采用抽样调查，故C错误；
由，所以乙组数据比甲组数据稳定，故D正确．
故答案为：D．
【分析】（1）利用众数、中位数的定义求解；
（2）利用必然事件的概念求解；
（3）利用调查方式的选择求解；
（4）利用方差的意义求解．
6．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、由图可知，钟时两人都跑了，
∴此选项不符合题意；
B、由图可得，前钟，乙跑了，甲跑的路程小于，从而可知前钟，乙的平均速度比甲快，
∴此选项不符合题意；
C、乙钟跑了，
∴乙的平均速度为/，
∴此选项符合题意；
D、由图可知，甲钟跑了，可得甲跑完的平均速度为/，
∴此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】A、观察图象可知，图象在5分钟时相交，于是可判断钟时两人都跑了；
B、观察图象可知，前钟，乙的图象高于甲的图象，根据图象的特征可判断求解；
C、根据速度=路程÷时间并结合图象可求解；
D、同选项C可求解.
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：.
故答案为：A.
【分析】根据定义的新运算可得x2-x-k=0，根据方程有两个不相等的实数根可得△>0，代入求解可得k的范围.
8．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设马每匹x两，牛每头y两，由题意得
故答案为： C.
【分析】设马每匹x两，牛每头y两，根据马四匹、牛六头，共价四十八两可得4x+6y=48；根据马三匹、牛五头，共价三十八两可得3x+5y=38，联立可得方程组.
9．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：根据题意可得：OE=OF，∠O=90°，
设OE=OF=x，
∴
，
解得：，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据题意可得：OE=OF，∠O=90°，设OE=OF=x，根据阴影部分面积的构成“”可得关于x的方程，解方程可求得x2的值，在Rt OEF中，由勾股定理计算即可求解．
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：①由函数图象可得：与x轴交点的横坐标为－1和3，
∴对称轴为，即，
∴整理得：，
∴此结论正确；
②∵与y轴的交点坐标为（0，3），
可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿轴向上翻折而成，
∴c＝-3，
∴此结论错误；
③∵中a＞0，，
∴b＜0，
又∵c＝-3＜0，
∴，
∴此结论正确；
④设抛物线的解析式为，
代入（0，3）得：，
解得：a＝－1，
∴，
∴顶点坐标为（1，4），
∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5），
∴将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点，
∴此结论正确；
故答案为：D．
【分析】①根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为，整理可求解；
②由函数图象与y轴的交点坐标为（0，3），的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成可求解；
③根据对称轴求出b＜0，结合抛物线的开口方向和②的结论可得；
④求出翻折前的二次函数的顶点坐标，然后根据平移的性质可求解．
11．【答案】x≠3
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解： 在实数范围内有意义，
故x﹣3≠0，
解得：x≠3.
故答案为：x≠3.
【分析】根据分式有意义的条件可得x-3≠0，求解即可.
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】∵
=-a
=
故答案为： ．
【分析】因式分解，有公因式先提取公因式，再利用公式分解。
13．【答案】50°
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵PA、PB是⊙O切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠P+∠PAO+∠AOB+∠PBO=360°，
∴∠P=180°﹣∠AOB，
∵∠ACB=65°，
∴∠AOB=2∠ACB=130°，
∴∠P=180°﹣130°=50°，
故答案为：50°．
【分析】由圆的切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”可得PA⊥OA，PB⊥OB，由圆周角定理“圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半”得∠AOB=2∠ACB求得∠AOB的度数，然后根据四边形的内角和等于360°可求解.
14．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解： 把一张矩形纸片沿对角线折叠，BC＝9，CD＝3，
解得：
故答案为：
【分析】由矩形与轴对称的性质可证明 在Rt△ABF中，用勾股定理可得关于BF的方程，解方程求得BF的值， 然后用三角形的面积公式计算可求解．
15．【答案】解：（1）；
（2）
，
∵a为满足的偶数，，，
∴当时，原式
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）由零指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（π-1）0=1，由特殊角的三角函数值可得sin45°=，由二次根式的性质可得，然后由实数的混合运算法则计算即可求解；
（2）由题意先将括号内的分式通分，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简，再把合适的a的值代入化简后的分式计算可求解.
16．【答案】（1）200，40
（2）解：若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生共有
（人），
答： 估计全校参加篮球社的学生有480人.
（3）解：设事件为：恰好抽到一男一女
所有等可能出现的结果总数为20个，事件所含的结果数为12个
恰好抽到一男一女概率为．
答： 恰好抽到一男一女的概率为.
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）解：抽取的学生共有：（人），
参加围棋社的有：（人）；
故答案为：200，40.
【分析】
（1）观察表格和扇形图可知：足球的频数和百分比，根据样本容量=频数÷百分比即可求得抽取的学生人数；然后根据样本容量等于各小组频数之和可求出参加围棋社的人数．
（2）由题意，用样本估计总体可求解．
（3）由题意画出树状图，根据树状图可知所有等可能出现的结果总数为20个，事件所含的结果数为12个，然后根据概率公式可求解．
17．【答案】解：过点作的延长线于点，
在中，，
∵，，，
∴，
在中，
∵，，
∴
∴
∴处距离港口约．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点作的延长线于点，在Rt中，分别根据锐角三角函数，求得的值，在Rt中，根据锐角三角函数求得的值，再根据线段的和差即可求解．
18．【答案】（1）解：在中，当时，，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，当时，，即，
将代入可得，
∴
（2）解：∵点是反比例函数图象上的点，
∴，
∴，即，
如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则点即为所求，，
由轴对称的性质可得，，
∴，由两点之间，线段最短可得，当、、在同一直线上时，的值最小，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
令，则，
解得：，
∴
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称的应用-最短距离问题；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）由题意，令y=0可得关于x的方程，解方程求出x的值可得点A的坐标，根据锐角三角函数tan∠AHO=求得OH的值，把x=1代入直线AM的解析式求得y的值可得点M的坐标，然后用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）由题意，可先求出点N的坐标，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则点即为所求，，由轴对称的性质可得，，，由两点之间，线段最短可得，当、、在同一直线上时，的值最小，用待定系数法求出直线的解析式，然后令可得关于x的方程，解方程即可求解．
（1）解：在中，当时，，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，当时，，即，
将代入可得，
∴；
（2）解：∵点是反比例函数图象上的点，
∴，
∴，即，
如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则点即为所求，，
由轴对称的性质可得，，
∴，由两点之间，线段最短可得，当、、在同一直线上时，的值最小，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
令，则，
解得：，
∴．
19．【答案】（1）证明：连接OM，则OM＝OB，如图：
∴∠OBM=∠OMB
∵BM平分∠ABC
∴∠OBM=∠EBM
∴∠OMB=∠EBM
∴OM∥BE
∴∠AMO=∠AEB
而在⊿ABC中，AB=AC，AE是角平分线
∴AE⊥BC
∴∠AMO=∠AEB=90°
∴AE与⊙O相切.
（2）解：在⊿ABC中，AB=AC，AE是角平分线
∴BE=BC=2，∠ABC=∠ACB
∴在Rt⊿ABC中，
cos∠ABC=cos∠ACB==
∴AB=6
设⊙O的半径为r，则AO=6-r
∵OM∥BC
∴△AOM∽△ABE
∴
即
∴r=
答：⊙O的半径为.
【知识点】解直角三角形；圆与三角形的综合；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）连接OM．根据圆的性质可得OB=OM，由等边对等角得∠OMB=∠OBM，由角的平分线定义可得∠OBM=∠EBM，于是可得∠OMB=∠EBM，根据内错角相等两直线平行可得OM∥BE；根据等腰三角形三线合一可得AE⊥BC，再根据平行线的性质可得OM⊥AE，然后由圆的切线的判定可求解；
（2）设圆的半径是r．根据等腰三角形三线合一可得BE=CE=2，在Rt⊿ABC中，根据锐角三角函数cos∠ABC=cos∠ACB=可求得AB的值，由相似三角形的判定“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得△AOM∽△ABE，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，结合已知可得关于r的方程，解方程即可求解.
20．【答案】-4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是方程的根
∴，
∴
∴k=-4
故答案为：-4.
【分析】根据方程解的概念可得α2-α+k-1=0，根据根与系数的关系可得α+β=1，根据α2-2α-β=α2 -α-(α+β)=4可得k的值.
21．【答案】
【知识点】多边形内角与外角；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，延长到H，
四边形内接于，
，
，
，，的度数之比为，
，，，的度数之比为，
，
，
．
故答案为：．
【分析】延长到H，根据圆内接四边形的对角互补以及外角的性质并结合已知条件“3个外角，，的度数之比为”可求出的度数，再根据邻补角互补即可求解．
22．【答案】1或
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得：3 2x+mx-2=3-x
∴-x+mx=2
∴（m-1）x=2
当m-1=0时，
此时方程无解，符合题意，
此时m=1，
当m-1≠0时，
由于方程无解，即x 3=0，x=3
将x=3代入x=，得，
∴解得：m=
故答案为1或
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值。
23．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长至点，使得，连接，
，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵D是边的中点，
∴，
∵平分的周长，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为的中位线，
∴，
故答案为：．
【分析】延长至点，使得，连接，根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形可得为等边三角形，由等边三角形的三边相等可得，由题意易得，由三角形的中位线定义可得为的中位线，根据三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可求解．
24．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；解直角三角形；旋转的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：由题意旋转8次一个循环，
∵，
∴即的坐标与的坐标相同，
如图，过点作于点H，连接，过点D作于点G，
在正六边形中，有：，，
即有，，
根据旋转可知：，，
则有：，
∴在中，，
在中，，
∴
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】由题意可知，旋转8次一个循环，根据，可知的坐标与的坐标相同．过点于点H，连接，过点D作于点G，由正六边形的性质可得，DE=EO，，，根据旋转的性质可得：，，则，在中，根据锐角三角函数sin∠DEG=求得DG=DO=D6O的值，在Rt D6OH中，根据锐角三角函数cos∠D6OH=求得OH的值，然后求得HD6的值，则点D6的坐标可求解．
25．【答案】（1）解：设甲类型的笔记本电脑单价为元，则乙类型的笔记本电脑为元．
由题意得：
解得：
经检验是原方程的解，且符合题意．
乙类型的笔记本电脑单价为：（元）．
答：甲类型的笔记本电脑单价为11元，乙类型的笔记本电脑单价为12元．
（2）解：设甲类型笔记本电脑购买了件，最低费用为，则乙类型笔记本电脑购买了件．
由题意得：．
．
．
，
当越大时越小．
当时，最小，最小值为（元）．
答：最低费用为1100元．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）甲类型的笔记本电脑单价为元，则乙类型的笔记本电脑为元，根据体干"用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样"，据此列出方程：，解此方程即可求解；
（2）设甲类型笔记本电脑购买了件，最低费用为，则乙类型笔记本电脑购买了件，结合（1）即可得到：进而根据一次函数的增减性即可求出w的最小值.
26．【答案】（1）
解：四边形为矩形，理由如下：
∵点为的中点，点为的中点，
∴．
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形为矩形．
（2）
解：连接．
在中，，
∴， ．
∵点为的中点，
∴，．
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，即：，
∴．
【知识点】矩形的判定；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）利用三角形的中位线定理，得到：，得到，结合已知，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”即可求解；
（2）连接，在中，用勾股定理求得BC的值，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得CD=BC求得CD=AD的值，由等边对等角可得∠2=∠C，由等角的余角想到可得∠1=∠2，结合图形，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解．
27．【答案】（1）解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以抛物线的解析式为
（2）设直线AB的解析式为，
将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以直线AB的解析式为．
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．
过点B作BE⊥PM，垂足为E．
所以
．
因为A（4，0），B（1，4），所以．
因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍，
所以，．
设，则．
所以，
即，
解得，．
所以点P的坐标为或（3，4）
（3）存在，最大值为；理由如下：
记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．则
如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点
，
，
设
直线AB的解析式为．
设，则
整理得
时，取得最大值，最大值为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-相似三角形的存在性问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）由题意，用待定系数法即可求解；
（2）由题意，用待定系数法求得直线AB的解析式，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．过点B作BE⊥PM，垂足为E．可得，由题意可求得PN的值，设，则．根据P你的值可得关于m的方程，解方程求得的值，把m的值代入点P的解析式计算即可求解；
（3）由题意，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，则，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点，同理可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，设，，则，根据可得关于m、n之间的关系，根据，然后根据二次函数的性质即可求解．
（1）解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以抛物线的解析式为．
（2）设直线AB的解析式为，
将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以直线AB的解析式为．
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．
过点B作BE⊥PM，垂足为E．
所以
．
因为A（4，0），B（1，4），所以．
因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍，
所以，．
设，则．
所以，
即，
解得，．
所以点P的坐标为或（3，4）．
（3）
记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．则
如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点
，
，
设
直线AB的解析式为．
设，则
整理得
时，取得最大值，最大值为
1 / 1四川省广安第二中学校“1+N”教学检测暨 2025 年中考适应性考试 数 学 试 卷
一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡相应位置上，本大题共10个小题，每小题4分，共40分）
1．（2025·广安模拟）在﹣，1，，3中，比0小的数是（　　）
A．﹣ B．1 C． D．3
【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵﹣<0<<1<3
∴在﹣，1，，3中，比0小的数是﹣.
故答案为：A.
【分析】实数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可.
2．（2025·广安模拟）下列几何体的三种视图都是圆形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：观察几何体可知：
A、主视图和左视图为长方形，俯视图为圆形，
∴此选项不符合题意；
B、主视图、俯视图和左视图都为圆形，
∴此选项符合题意；
C、主视图和左视图为等腰三角形，俯视图为带圆心的圆，
∴此选项不符合题意；
D、主视图和左视图为等腰梯形，俯视图为圆环，
∴此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据"主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形"并结合各选项即可判断求解.
3．（2025·广安模拟）下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】A、，选项错误，不符合题意；
B、，选项正确，符合题意；
C、，选项错误，不符合题意；
D、，选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用积的乘方，底数不变，指数相乘，可对A作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对B作出判断；利用合并同类项的法则，可对C作出判断；利用同底数幂相除，底数不变指数相减，可对D作出判断.
4．（2025·广安模拟）祖国江山美丽如画，川西风光多姿多彩．据四川省某州相关部门通报，“五一”期间，全国各地众多游客前往旅游，共接待游客约1665000人次．将1665000用科学记数法表示应为（　　）
A．0.1665×107 B．1.665×106 C．16.65×105 D．166.5×104
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意得将1665000用科学记数法表示应为1.665×106
故答案为：B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
5．（2025·广安模拟）下列说法正确的是（　　）
A．一组数据2，3，3，4，5，6的众数和中位数都是3
B．“打开电视机，正在播放足球赛”是必然事件
C．了解贵州省中学生观看电影《哪吒2》的情况适合采用普查（全面调查）
D．甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：一组数据2，3，3，4，5，6的众数是3，中位数是，故A错误；
“打开电视机，正在播放足球赛”是随机事件，故B错误；
了解贵州省中学生观看电影《哪吒2》的情况适合采用抽样调查，故C错误；
由，所以乙组数据比甲组数据稳定，故D正确．
故答案为：D．
【分析】（1）利用众数、中位数的定义求解；
（2）利用必然事件的概念求解；
（3）利用调查方式的选择求解；
（4）利用方差的意义求解．
6．（2025·广安模拟）甲，乙两人进行慢跑练习，慢跑路程为（）与所用时间（）之间的关系如图，下列说法错误的是（ ）
A．钟时两人都跑了
B．前两钟，乙的平均速度比甲快
C．乙跑完的平均速度是/
D．甲跑完的平均速度是/
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、由图可知，钟时两人都跑了，
∴此选项不符合题意；
B、由图可得，前钟，乙跑了，甲跑的路程小于，从而可知前钟，乙的平均速度比甲快，
∴此选项不符合题意；
C、乙钟跑了，
∴乙的平均速度为/，
∴此选项符合题意；
D、由图可知，甲钟跑了，可得甲跑完的平均速度为/，
∴此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】A、观察图象可知，图象在5分钟时相交，于是可判断钟时两人都跑了；
B、观察图象可知，前钟，乙的图象高于甲的图象，根据图象的特征可判断求解；
C、根据速度=路程÷时间并结合图象可求解；
D、同选项C可求解.
7．（2025·广安模拟）对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（　　）
A． B．
C．且 D．且
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：.
故答案为：A.
【分析】根据定义的新运算可得x2-x-k=0，根据方程有两个不相等的实数根可得△>0，代入求解可得k的范围.
8．（2025·广安模拟）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两，问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设马每匹x两，牛每头y两，由题意得
故答案为： C.
【分析】设马每匹x两，牛每头y两，根据马四匹、牛六头，共价四十八两可得4x+6y=48；根据马三匹、牛五头，共价三十八两可得3x+5y=38，联立可得方程组.
9．（2025·广安模拟）如图，在等腰直角中，点E在OA上，以点O为圆心、OE为半径作圆弧交OB于点F，连接EF，已知阴影部分面积为，则EF的长度为（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：根据题意可得：OE=OF，∠O=90°，
设OE=OF=x，
∴
，
解得：，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据题意可得：OE=OF，∠O=90°，设OE=OF=x，根据阴影部分面积的构成“”可得关于x的方程，解方程可求得x2的值，在Rt OEF中，由勾股定理计算即可求解．
10．（2025·广安模拟）函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（　　）
① ；②； ③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点．
A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：①由函数图象可得：与x轴交点的横坐标为－1和3，
∴对称轴为，即，
∴整理得：，
∴此结论正确；
②∵与y轴的交点坐标为（0，3），
可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿轴向上翻折而成，
∴c＝-3，
∴此结论错误；
③∵中a＞0，，
∴b＜0，
又∵c＝-3＜0，
∴，
∴此结论正确；
④设抛物线的解析式为，
代入（0，3）得：，
解得：a＝－1，
∴，
∴顶点坐标为（1，4），
∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5），
∴将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点，
∴此结论正确；
故答案为：D．
【分析】①根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为，整理可求解；
②由函数图象与y轴的交点坐标为（0，3），的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成可求解；
③根据对称轴求出b＜0，结合抛物线的开口方向和②的结论可得；
④求出翻折前的二次函数的顶点坐标，然后根据平移的性质可求解．
二、填空题（请将最简答案填写在答题卡相应位置．本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
11．（2025·广安模拟）若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　.
【答案】x≠3
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解： 在实数范围内有意义，
故x﹣3≠0，
解得：x≠3.
故答案为：x≠3.
【分析】根据分式有意义的条件可得x-3≠0，求解即可.
12．（2025·广安模拟）因式分解： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】∵
=-a
=
故答案为： ．
【分析】因式分解，有公因式先提取公因式，再利用公式分解。
13．（2025·广安模拟）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C=65°，则∠P的度数为　 　．
【答案】50°
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵PA、PB是⊙O切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠P+∠PAO+∠AOB+∠PBO=360°，
∴∠P=180°﹣∠AOB，
∵∠ACB=65°，
∴∠AOB=2∠ACB=130°，
∴∠P=180°﹣130°=50°，
故答案为：50°．
【分析】由圆的切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”可得PA⊥OA，PB⊥OB，由圆周角定理“圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半”得∠AOB=2∠ACB求得∠AOB的度数，然后根据四边形的内角和等于360°可求解.
14．（2025·广安模拟）如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，若BC＝9，CD＝3，那么阴影部分的面积为 　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解： 把一张矩形纸片沿对角线折叠，BC＝9，CD＝3，
解得：
故答案为：
【分析】由矩形与轴对称的性质可证明 在Rt△ABF中，用勾股定理可得关于BF的方程，解方程求得BF的值， 然后用三角形的面积公式计算可求解．
三、解答题（本大题共5个小题，共44分）
15．（2025·广安模拟）（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中a为满足的偶数
【答案】解：（1）；
（2）
，
∵a为满足的偶数，，，
∴当时，原式
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）由零指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（π-1）0=1，由特殊角的三角函数值可得sin45°=，由二次根式的性质可得，然后由实数的混合运算法则计算即可求解；
（2）由题意先将括号内的分式通分，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简，再把合适的a的值代入化简后的分式计算可求解.
16．（2025·广安模拟）为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下表格和扇形统计图．
参加四个社团活动人数统计表
社团活动 舞蹈 篮球 围棋 足球
人数 50 30 　 80
参加四个社团活动人数扇形统计图
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）抽取的学生共有 人，其中参加围棋社的有 人；
（2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生有多少人？
（3）某班有3男2女共5名学生参加足球社，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，请用树状图或列表法说明恰好抽到一男一女的概率．
【答案】（1）200，40
（2）解：若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生共有
（人），
答： 估计全校参加篮球社的学生有480人.
（3）解：设事件为：恰好抽到一男一女
所有等可能出现的结果总数为20个，事件所含的结果数为12个
恰好抽到一男一女概率为．
答： 恰好抽到一男一女的概率为.
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）解：抽取的学生共有：（人），
参加围棋社的有：（人）；
故答案为：200，40.
【分析】
（1）观察表格和扇形图可知：足球的频数和百分比，根据样本容量=频数÷百分比即可求得抽取的学生人数；然后根据样本容量等于各小组频数之和可求出参加围棋社的人数．
（2）由题意，用样本估计总体可求解．
（3）由题意画出树状图，根据树状图可知所有等可能出现的结果总数为20个，事件所含的结果数为12个，然后根据概率公式可求解．
17．（2025·广安模拟）如图，灯塔位于港口的北偏东方向，且、之间的距离为，灯塔位于灯塔的正东方向，且、之间的距离为，一艘轮船从港口出发，沿正南方向航行到达处，测得灯塔位于北偏东方向上，这时，处距离港口有多远（结果取整数）？（参考数据：，，，，，）
【答案】解：过点作的延长线于点，
在中，，
∵，，，
∴，
在中，
∵，，
∴
∴
∴处距离港口约．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点作的延长线于点，在Rt中，分别根据锐角三角函数，求得的值，在Rt中，根据锐角三角函数求得的值，再根据线段的和差即可求解．
18．（2025·广安模拟）如图，直线与y轴交于A点，与反比例函数的图象交于点M，过M作轴于点H，且．
（1）求k的值；
（2）点是反比例函数图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：在中，当时，，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，当时，，即，
将代入可得，
∴
（2）解：∵点是反比例函数图象上的点，
∴，
∴，即，
如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则点即为所求，，
由轴对称的性质可得，，
∴，由两点之间，线段最短可得，当、、在同一直线上时，的值最小，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
令，则，
解得：，
∴
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称的应用-最短距离问题；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）由题意，令y=0可得关于x的方程，解方程求出x的值可得点A的坐标，根据锐角三角函数tan∠AHO=求得OH的值，把x=1代入直线AM的解析式求得y的值可得点M的坐标，然后用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）由题意，可先求出点N的坐标，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则点即为所求，，由轴对称的性质可得，，，由两点之间，线段最短可得，当、、在同一直线上时，的值最小，用待定系数法求出直线的解析式，然后令可得关于x的方程，解方程即可求解．
（1）解：在中，当时，，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，当时，，即，
将代入可得，
∴；
（2）解：∵点是反比例函数图象上的点，
∴，
∴，即，
如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则点即为所求，，
由轴对称的性质可得，，
∴，由两点之间，线段最短可得，当、、在同一直线上时，的值最小，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
令，则，
解得：，
∴．
19．（2025·广安模拟）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．
（1）求证：AE与⊙O相切；
（2）当BC＝4，cosC＝时，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：连接OM，则OM＝OB，如图：
∴∠OBM=∠OMB
∵BM平分∠ABC
∴∠OBM=∠EBM
∴∠OMB=∠EBM
∴OM∥BE
∴∠AMO=∠AEB
而在⊿ABC中，AB=AC，AE是角平分线
∴AE⊥BC
∴∠AMO=∠AEB=90°
∴AE与⊙O相切.
（2）解：在⊿ABC中，AB=AC，AE是角平分线
∴BE=BC=2，∠ABC=∠ACB
∴在Rt⊿ABC中，
cos∠ABC=cos∠ACB==
∴AB=6
设⊙O的半径为r，则AO=6-r
∵OM∥BC
∴△AOM∽△ABE
∴
即
∴r=
答：⊙O的半径为.
【知识点】解直角三角形；圆与三角形的综合；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）连接OM．根据圆的性质可得OB=OM，由等边对等角得∠OMB=∠OBM，由角的平分线定义可得∠OBM=∠EBM，于是可得∠OMB=∠EBM，根据内错角相等两直线平行可得OM∥BE；根据等腰三角形三线合一可得AE⊥BC，再根据平行线的性质可得OM⊥AE，然后由圆的切线的判定可求解；
（2）设圆的半径是r．根据等腰三角形三线合一可得BE=CE=2，在Rt⊿ABC中，根据锐角三角函数cos∠ABC=cos∠ACB=可求得AB的值，由相似三角形的判定“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得△AOM∽△ABE，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，结合已知可得关于r的方程，解方程即可求解.
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
20．（2025·广安模拟）、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为　 　．
【答案】-4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是方程的根
∴，
∴
∴k=-4
故答案为：-4.
【分析】根据方程解的概念可得α2-α+k-1=0，根据根与系数的关系可得α+β=1，根据α2-2α-β=α2 -α-(α+β)=4可得k的值.
21．（2025·广安模拟）如图，四边形内接于，它的3个外角，，的度数之比为，则　 　．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，延长到H，
四边形内接于，
，
，
，，的度数之比为，
，，，的度数之比为，
，
，
．
故答案为：．
【分析】延长到H，根据圆内接四边形的对角互补以及外角的性质并结合已知条件“3个外角，，的度数之比为”可求出的度数，再根据邻补角互补即可求解．
22．（2025·广安模拟）若关于x的方程.无解，则m的值是　 　．
【答案】1或
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得：3 2x+mx-2=3-x
∴-x+mx=2
∴（m-1）x=2
当m-1=0时，
此时方程无解，符合题意，
此时m=1，
当m-1≠0时，
由于方程无解，即x 3=0，x=3
将x=3代入x=，得，
∴解得：m=
故答案为1或
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值。
23．（2025·广安模拟）如图，在中，，，D是边的中点，E是边上一点，若平分的周长，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长至点，使得，连接，
，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵D是边的中点，
∴，
∵平分的周长，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为的中位线，
∴，
故答案为：．
【分析】延长至点，使得，连接，根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形可得为等边三角形，由等边三角形的三边相等可得，由题意易得，由三角形的中位线定义可得为的中位线，根据三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可求解．
24．（2025·广安模拟）如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的正六边形绕点O顺时针旋转n个45°得到正六边形，当时，正六边形的顶点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；解直角三角形；旋转的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：由题意旋转8次一个循环，
∵，
∴即的坐标与的坐标相同，
如图，过点作于点H，连接，过点D作于点G，
在正六边形中，有：，，
即有，，
根据旋转可知：，，
则有：，
∴在中，，
在中，，
∴
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】由题意可知，旋转8次一个循环，根据，可知的坐标与的坐标相同．过点于点H，连接，过点D作于点G，由正六边形的性质可得，DE=EO，，，根据旋转的性质可得：，，则，在中，根据锐角三角函数sin∠DEG=求得DG=DO=D6O的值，在Rt D6OH中，根据锐角三角函数cos∠D6OH=求得OH的值，然后求得HD6的值，则点D6的坐标可求解．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分）
25．（2025·广安模拟）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．
（1）求甲乙两种类型笔记本的单价．
（2）该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少．
【答案】（1）解：设甲类型的笔记本电脑单价为元，则乙类型的笔记本电脑为元．
由题意得：
解得：
经检验是原方程的解，且符合题意．
乙类型的笔记本电脑单价为：（元）．
答：甲类型的笔记本电脑单价为11元，乙类型的笔记本电脑单价为12元．
（2）解：设甲类型笔记本电脑购买了件，最低费用为，则乙类型笔记本电脑购买了件．
由题意得：．
．
．
，
当越大时越小．
当时，最小，最小值为（元）．
答：最低费用为1100元．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）甲类型的笔记本电脑单价为元，则乙类型的笔记本电脑为元，根据体干"用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样"，据此列出方程：，解此方程即可求解；
（2）设甲类型笔记本电脑购买了件，最低费用为，则乙类型笔记本电脑购买了件，结合（1）即可得到：进而根据一次函数的增减性即可求出w的最小值.
26．（2025·广安模拟）综合与实践
问题情境：
在中，．直角三角板中，将三角板的直角顶点D放在斜边的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边分别与边交于点M，N，
猜想证明：
（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由；
问题解决：
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长；
【答案】（1）
解：四边形为矩形，理由如下：
∵点为的中点，点为的中点，
∴．
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形为矩形．
（2）
解：连接．
在中，，
∴， ．
∵点为的中点，
∴，．
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，即：，
∴．
【知识点】矩形的判定；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）利用三角形的中位线定理，得到：，得到，结合已知，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”即可求解；
（2）连接，在中，用勾股定理求得BC的值，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得CD=BC求得CD=AD的值，由等边对等角可得∠2=∠C，由等角的余角想到可得∠1=∠2，结合图形，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解．
27．（2025·广安模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
（3）如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以抛物线的解析式为
（2）设直线AB的解析式为，
将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以直线AB的解析式为．
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．
过点B作BE⊥PM，垂足为E．
所以
．
因为A（4，0），B（1，4），所以．
因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍，
所以，．
设，则．
所以，
即，
解得，．
所以点P的坐标为或（3，4）
（3）存在，最大值为；理由如下：
记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．则
如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点
，
，
设
直线AB的解析式为．
设，则
整理得
时，取得最大值，最大值为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-相似三角形的存在性问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）由题意，用待定系数法即可求解；
（2）由题意，用待定系数法求得直线AB的解析式，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．过点B作BE⊥PM，垂足为E．可得，由题意可求得PN的值，设，则．根据P你的值可得关于m的方程，解方程求得的值，把m的值代入点P的解析式计算即可求解；
（3）由题意，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，则，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点，同理可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，设，，则，根据可得关于m、n之间的关系，根据，然后根据二次函数的性质即可求解．
（1）解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以抛物线的解析式为．
（2）设直线AB的解析式为，
将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以直线AB的解析式为．
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．
过点B作BE⊥PM，垂足为E．
所以
．
因为A（4，0），B（1，4），所以．
因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍，
所以，．
设，则．
所以，
即，
解得，．
所以点P的坐标为或（3，4）．
（3）
记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．则
如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点
，
，
设
直线AB的解析式为．
设，则
整理得
时，取得最大值，最大值为
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