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湖南省娄底市2025年初中毕业学业作业（一）数学试题卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）
1．（2025·娄底模拟）2025的相反数是（　　）
A．2025 B． C． D．
【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：B．
【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数，据此解答即可.
2．（2025·娄底模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，
∴此选项不符合题意；
B、，
∴此选项不符合题意；
C、，
∴此选项不符合题意；
D、，
∴此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】A、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
B、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可求解；
C、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解；
D、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解.
3．（2025·娄底模拟）洞庭湖，是中国传统农业发祥地，是著名的鱼米之乡，是湖南省乃至全国最重要的商品粮油基地、水产和养殖产地．洞庭湖的总容积为220亿立方米，将220亿用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将亿用科学记数法表示为：
亿，
故选：．
【分析】
用科学记数法把一个绝对值较大的数字常表示成的形式，其中，这个数字整数部分数位个数与1的差．
4．（2025·娄底模拟）某地一周每天的平均天气（单位：）如下表所示：
日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
平均天气 29 25 25 29 28 21 25
这组数（平均天气）的平均数是（　　）
A．26 B．27 C．28 D．29
【答案】A
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：这组数据的平均数，
故选：A．
【分析】
直接根据平均数公式计算即可．
5．（2025·娄底模拟）如图，在平行四边形中，是的角平分线，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
是的角平分线，
，
，
故选：．
【分析】
先由平行四边形的对边平行结合角平分线的概念可得，再由三角形内角和定理可得，再由平行四边形对角相等即可．
6．（2025·娄底模拟）如图，是的直径，若的半径为2，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—构造直角三角形；求余弦值
【解析】【解答】解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵的半径为2，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】
由于直径所对的圆周角是直角，则可连接AD，由圆周角定理可得，再解直角三角形ADC即可．
7．（2025·娄底模拟）不等式组的解集是（　　）
A． B． C． D．无解
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由不等式可得：，
由不等式可得：，
∴原不等式组解集为：，
故选：C.
【分析】
解一元一次不等式组，先分别求出不等式组中各个不等式的解集，再按照口诀“同大取大、同小取小、大于小的且小于大的取中间、小于小的且大于大的无解”确定出各解集的公共部分即可.
8．（2025·娄底模拟）下列命题中，正确的是（　　）
A．菱形的两条对角线相等 B．若，则
C．正六边形的一个内角为 D．平行四边形不是中心对称图形
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；菱形的性质；中心对称及中心对称图形；真命题与假命题；不等式的性质
【解析】【解答】解：A、菱形的两条对角线不相等，原命题不正确，本选项不符合题意；
B、若，则，正确，本选项符合题意；
C、正六边形的一个内角为，原命题不正确，本选项不符合题意；
D、平行四边形是中心对称图形，原命题不正确，本选项不符合题意；
故选：B．
【分析】
A、菱形的对角线互相垂直平分；
B、不等式的性质；
C、正六边形的每一个内角都是；
D、平行四边形都是中心对称图形．
9．（2025·娄底模拟）将的图象先向上平移6个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到的新图象的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题意知，两次平移后的抛物线的解析式为：
故选：．
【分析】
二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”．
10．（2025·娄底模拟）我们约定：一个函数图象与x轴交点的横坐标称为这个函数的零点．下列说法正确的是（　　）
A．的零点是
B．的零点是1和
C．若有零点，则
D．在自变量取值范围为实数的一次函数中，存在一个一次函数没有零点
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当时，，解得：，故是的零点，故A错误不符合题意，
当时，，解得：，，故的零点是和，故B错误不符合题意，
当时，，若，解得，此时，若，有零点，即有解，，解得：，故C正确，符合题意，
一次函数与x轴都有交点，故一次函数有零点，故D错误不符合题意，
故选：C．
【分析】
A、由直线上点的坐标特征令可得，即零点为2025；
B、由抛物线上点的坐标特征令可得，再解方程得，，即零点是和；
C、由于a的值未知，则应分类讨论，即当时，则关于x的一元二次方程有实数根，则，即；若，则，则；
D、对于一次函数，其始终交x轴于点.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
11．（2025·娄底模拟）　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
．
12．（2025·娄底模拟）在函数y= 中，自变量x的取值范围是　 　．
【答案】x≠1
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】由题意得，x﹣1≠0，
解得x≠1．
故答案为：x≠1．
【分析】分式有意义的条件为分母不等于0.
13．（2025·娄底模拟）“奇变偶不变，符号看象限．”这句话中，“变”字出现的概率是　 　．
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：“奇变偶不变，符号看象限．”这句话共个字，其中“变”字出现次，
“变”字出现的概率是：，
故答案为：．
【分析】
直接利用简单事件概率计算公式求解即可．
14．（2025·娄底模拟）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，已知，则　 　．
【答案】6
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意可得：
，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：6．
【分析】
由根与系数的关系可得和，再借助完全平方公式可推导出，再整体代入即可求出c的值．
15．（2025·娄底模拟）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过点C作x轴的垂线，垂足为点B，连接，若，则　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数系数k的几何意义；正比例函数的图象
【解析】【解答】解：正比例函数与反比例函数的图象相交于两点，
点关于原点对称，
，
，，
，
过点作轴的垂线交轴于点，
，
，
，
解得（舍去正值），
故答案为：．
【分析】
由于正比例函数与反比例函数的图象都是中心对称图形，则A、C两点关于原点对称，则，再由反比例函数的几何意义可得，因为，所以．
16．（2025·娄底模拟）派对帽（如实物图）可以看做一个圆锥，它是由纸制作而成．它的底面直径是，将它的侧面展开（如图），已知，则需要面积为　 　的纸去制作它．
【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵底面直径是，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
先由圆锥的底面周长等于扇形的弧长求出半径，即，再根据计算出面积即可．
17．（2025·娄底模拟）如图，在等边三角形中，，D、E是边上的三等分点，点M、N分别在边，上运动，则四边形周长的最小值是　 　．
【答案】5
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；轴对称的性质；将军饮马模型-两线两点（两动两定）
【解析】【解答】解：作D点关于的对称点、E点关于的对称点，连接分别与和交于M和N，则的最小值为，此时四边形的周长最小，
再分别延长D`A交E`C的延长线于点F.
∵三角形是等边三角形，
∴由对称性得：，，
∵，
∴
∴四边形ABCF是菱形，
∴、，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴
∴ 四边形周长的最小值，
故答案为：5.
【分析】
作D点关于的对称点、E点关于的对称点，连接分别与和交于M和N，则的最小值为，此时四边形的周长最小，再分别延长D`A交E`C的延长线于点F，则由轴对称的性质结合等边三角形的性质可证明四边形ABCF是菱形，即是等边三角形，再由轴对称的性质结合三等分点的概念可得也是等边三角形，即，故四边形DENM周长的最小值为5．
18．（2025·娄底模拟）如图，在矩形中，E是边上的一点，将沿BE折叠得到，点F刚好落在边AD上，H、G分别是边上一点，已知，，，，连接HE、HG，则　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；求余弦值
【解析】【解答】解：∵矩形，
∴，，
连接，作于点，
∴四边形是矩形，由折叠的性质得，，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴是直角三角形，且，
∴，
故答案为：．
【分析】
利用折叠的性质结合勾股定理可得，再利用勾股定理及其逆定理可证是直角三角形，且，再利用矩形的判定与性质求出，再解直角三角形求出的余弦即可．
三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，满分12分）
19．（2025·娄底模拟）计算：
【答案】解：
，
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】实数的混合运算．先计算乘方，即分别求零次幂和负整数指数幂，再计算实数的绝对值和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后再进行加减运算即可．
20．（2025·娄底模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，
原式．
【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】分式的化简求值，先对括号内的异分母分式通分再作减法运算，再化除法为乘法，再对分子分母分别分解因式，再约分化结果为最简分式或整式，最后再代值并对结果进行分母有理化即可．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
21．（2025·娄底模拟）体育强则中国强，国运兴则体育兴．中心学校在校运会举行了投篮比赛活动，学校随机抽取几名同学参加，规定每人投篮10次，将投中次数进行分类，统计绘制了如下不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题．
（1）_________，_________；
（2）补全条形统计图；
（3）体育老师从成绩较好的5名同学（设为胡胡，楠楠，欢欢，迎迎，妮妮）中随机抽取2名同学代表学校参加省级联赛，请用画树状图或列表的方法求出楠楠被抽中的概率．
【答案】（1）3；
（2）解：补全条形图如图：
；
（3）解：胡胡，楠楠，欢欢，迎迎，妮妮分别用A，B，C，D，E表示，画树状图如下：
共20种等可能的结果，其中楠楠被抽中的结果有8种，
∴．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：由题意得，
抽取的总人数为人，
投中6次的人数为人，
投中8次的人数为人，
，
故答案为：3；；
【分析】
（1）观察条形统计图和扇形统计图，可根据投中7次的人数所占的比例，求出总人数，再分别求得投中6次和8次的人数，再用乘投中8次的占比即可；
（2）根据（1）的结果补全条形图即可；
（3）两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据．
（1）解：由题意得，
抽取的总人数为人，
投中6次的人数为人，
投中8次的人数为人，
，
故答案为：3；；
（2）解：补全条形图如图：
；
（3）解：胡胡，楠楠，欢欢，迎迎，妮妮分别用A，B，C，D，E表示，画树状图如下：
共20种等可能的结果，其中楠楠被抽中的结果有8种，
∴．
22．（2025·娄底模拟）车田江特大桥（如实物图所示）位于娄底市新化县车田江风景区，桥体外侧呈“拱架”的构造，地方文化特色十分浓郁，与车田江自然美景融合，更是相得益彰．容融为了知道大桥的长度和桥墩的高度，进行了如下测量．
测量过程1：容融用一无人机在大桥上方点E处分别测得大桥两端A、B的俯角为和，已知点E到大桥的距离为170米，
测量过程2：若大桥的形状是轴对称图形，容融在桥墩底部C处测得拱架最高点D处的仰角为，在桥墩上方A处测得拱架最高点D处的仰角为．（结果精确到0.1米，，，）
（1）求大桥的长度；
（2）求大桥桥墩的高度．
【答案】（1）解：作于点，如图，
由题意得米，，，
∴在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴米；
答：大桥的长度约为米；
（2）解：作于点，交于点，如图，
由题意得，，，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴米；
答：大桥桥墩的高度约为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
（1）作于点可构造和，再分别解直角三角形分别求得和的长，再利用线段的和差关系即可；
（2）作于点，交于点，可构造矩形ACHG和和，再解直角三角形分别求得DH和DG的长，再利用线段的和差关系求出GH，再利用矩形的性质求出AC即可．
（1）解：作于点，如图，
由题意得米，，，
∴在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴米；
答：大桥的长度约为米；
（2）解：作于点，交于点，如图，
由题意得，，，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴米；
答：大桥桥墩的高度约为米．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）
23．（2025·娄底模拟）吃月饼是中秋节的传统习俗，市面上最受欢迎的两种月饼是五仁馅月饼和蛋黄馅月饼．某超市购买45个蛋黄馅月饼和50个五仁馅月饼需要520元，购买50个蛋黄馅月饼和45个五仁馅月饼需要525元．
（1）求蛋黄馅月饼和五仁馅月饼每个的单价；
（2）超市将蛋黄馅月饼的售价定为8元，五仁馅月饼的售价定为6元．根据市场需求，超市计划再用不超过1050元的总费用购进这两种月饼共200个进行销售，怎样进货才能使售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设蛋黄馅月饼每个元，则五仁馅月饼每个元，
根据题意得，，
解得，
答：蛋黄馅月饼每个元，则五仁馅月饼每个元；
（2）解：设购进蛋黄馅月饼个，则购进五仁馅月饼个，总利润为，
根据题意得，，
解得，
又由题意得，，
，随的增大而增大，
当时，利润最大，最大值为，
，
答：购进蛋黄馅月饼个，则购进五仁馅月饼个，最大利润为元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（）设蛋黄馅月饼每个元，则五仁馅月饼每个元，根据相等关系“ 购买45个蛋黄馅月饼和50个五仁馅月饼需要520元，购买50个蛋黄馅月饼和45个五仁馅月饼需要525元 ”列出二元一次方程组并求解即可；
（）设购进蛋黄馅月饼个，则购进五仁馅月饼个，由不等关系“ 不超过1050元 ”列一次一次不等式并求解可得，再根据题意可得利润是关于的一次函数，再根据一次函数的性质得时利润最大，此时再求出对应的五仁馅月饼个数即可．
（1）解：设蛋黄馅月饼每个元，则五仁馅月饼每个元，
根据题意得，，
解得，
答：蛋黄馅月饼每个元，则五仁馅月饼每个元；
（2）解：设购进蛋黄馅月饼个，则购进五仁馅月饼个，总利润为，
根据题意得，，
解得，
又由题意得，，
，随的增大而增大，
当时，利润最大，最大值为，
，
答：购进蛋黄馅月饼个，则购进五仁馅月饼个，最大利润为元．
24．（2025·娄底模拟）如图，在菱形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点，连接，，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求菱形的面积．
【答案】（1）证明：如图，连接，.
∵E、F、G、H分别是边、、、的中点，
∴，，，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】菱形的性质；矩形的判定；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系；中点四边形模型
【解析】【分析】（1）由于菱形的对角线互相垂直平分，可连接，，则，再由三角形的中位线定理可得，同理，则四边形EFGH是矩形；
（2）先由中位线定理可得，再由菱形的性质知，再解直角三角形可得，则，再利用菱形的面积公式直接计算即可．
（1）证明：连接，，
∵E、F、G、H分别是边、、、的中点，
∴，，，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
25．（2025·娄底模拟）如图，在中，，是的外接圆，连接并延长交于点．点是的内心，连接并延长交于点，过点作直线，延长交于点，连接，过点作的平行线交于点．已知．
（1）求证：直线与相切；
（2）若，求的半径；
（3）求证：．
【答案】（1）证明：连接OF、CF.
点E是的内心
平分
、
，即直线与相切；
（2）解：如图，连接BD.
平分
是直径
（3）证明：如图所示：
由（1）知，
四边形ACGH是平行四边形
【知识点】三角形外角的概念及性质；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）连接OF、CF，则由内心的概念可得BF平分，则由圆周角定理可得，再由垂径定理的推论可得，再由圆周角定理结合已知可得，即可证，所以，则结论成立；
（2）由于直径所对的圆周角是直角，则连接BD可得，再由垂径定理的推论可知AD垂直BC，再由垂径定理结合圆周角定理可得，再由内心的概念可得，再借助三角形外角的性质结合角的和差关系可得，则由等角对等边得，再由勾股定理求得直径AD的长即可；
（3）先由（1）知，再结合已知可证四边形ACGH是平行四边形，则HG=AC=AB、AH=CG，再由两角相等两三角形相似可证明，由相似比得，再化比例式为等积式并等量代换即可．
（1）证明：连接并延长交于，连接，
是的直径，
，即，
，，
，
即，
，
直线是的切线；
（2）解：连接，
是的直径，
，
点是的内心，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
即的半径为3；
（3）证明：，
，
，，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
．
26．（2025·娄底模拟）如图，抛物线经过，，三点，连接．
（1）求抛物线的解析式：
（2）作直线，l交抛物线于E、F两点（点E在点F的左侧），已知，
①求直线l的解析式；
②点P是抛物线上的动点，作，垂足为点K，是否存在点P，使得以P、E、K为顶点的三角形与相似？若存在，请写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线经过，，
∴设抛物线的解析式为，
把代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：①解：①如图所示，分别设，直线BC的解析式为直线EF的解析式为.
，，
∴，解得，
∴，
联立抛物线与直线EF的解析式得：
②点的坐标为或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；坐标系中的两点距离公式；一次函数图象上点的坐标特征；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【解答】
（2）②解：如图所示：
∵，，，，
∴，，
∵，
∴是直角三角形，且，
∴，
作轴交抛物线于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
整理得，
解得或，
当时，；当时，，
∴，
∴点的纵坐标为，
解方程，
得或，
∴点的坐标为；
作点关于直线的对称点，连接交延长交抛物线于点，
此时，
∴，
∴点符合题意，
∵，直线，又，
∴，
设直线的解析式为，则
即，则可设直线的解析式为，
联立得，
解得，，
即点的坐标为，
∵点与点关于直线对称，
∴点的坐标为，
同理，直线的解析式为，
联立，
解得或，
当时，，
∴点的坐标为；
过点E作交轴于点，交抛物线于点，
∴，
∴，
∴点符合题意，
作轴于点，
设直线交轴于点，
令，，
解得，
∴点的坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
同理，直线的解析式为，
联立得，
解得或，
当时，，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或或．
【分析】
（1）先由题意可设抛物线解析式为交点式，再利用抛物线上点的坐标特征代入点C的坐标即可；
（2）①由于直线BC与EF平行，则可分别设直线BC、EF的解析式为，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，再设并联立抛物线与直线EF的解析式可得关于x的一元二次方程，再利用根与系数的关系可分别得和，再借助完全平方公式可得，再由直线上点的坐标特征得，则由两点距离公式结合已知可求得，则直线的解析式可得；
②先联立直线EF与抛物线的解析式可得点E、F的坐标，再利用点的坐标结合勾股定理及其逆定理可判定是直角三角形且，同时CF平行x轴，则当EP1平行x轴时，由平行线的性质结合同角的余角相等必然有，由于点E、F的纵坐标相同，则利用抛物线上点的坐标特征可得点P1的坐标；同理作点P1关于直线EF的对称点Q，则直线EQ交抛物线于点P2，再过点P2作直线EF的垂线段P2K2，则仍有，此时可先利用待定系数法求出直线AC的解析式，由平行公理可得KP平行AC，则利用待定系数可求得直线KP的解析式，再联立直线KP和EF的解析式可得点K1的坐标，再由轴对称的性质结合中点坐标公式可得点Q的坐标，同理再求出直线EQ的解析式并联立抛物线解析式即可得点P2的坐标；由于同角的余角相等，则可过点E作EP2的垂线交x轴于点M、交抛物线于点P3，则仍有，设直线EP2交x轴于点N，则利用直线上点的坐标特征可得点N坐标，再过点E作x轴的垂线段EL，则利用相似三角形的判定和性质可求得点M的坐标，再利用待定系数法求出直线EM的解析式并联立抛物线解析式即可求得点P3的坐标，故满足条件的点P共有3个．
（1）解：∵抛物线经过，，
∴设抛物线的解析式为，
把代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：①，，，
∴，，，
∴，
作于点，作于点，如图，
∵直线，即，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∵直线，
∴设直线的解析式为，
联立得，
整理得，
∴，，
∴，
即，
解得，
∴直线的解析式为；
②∵，，，，
∴，，
∵，
∴是直角三角形，且，
∴，
作轴交抛物线于点，
∵，
∴，
∴，
∴点符合题意，
∵，即，
整理得，
解得或，
当时，，
∴，
∴点的纵坐标为，
解方程，
得或，
∴点的坐标为；
作点关于直线的对称点，连接交延长交抛物线于点，
此时，
∴，
∴点符合题意，
∵，直线，又，
∴，
同理，直线的解析式为，
同理，直线的解析式为，
联立得，
解得，，
即点的坐标为，
∵点与点关于直线对称，
∴点的坐标为，
同理，直线的解析式为，
联立，
解得或，
当时，，
∴点的坐标为；
过点作交轴于点，交抛物线于点，
∴，
∴，
∴点符合题意，
作轴于点，
设直线交轴于点，
令，，
解得，
∴点的坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
同理，直线的解析式为，
联立得，
解得或，
当时，，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或或．
1 / 1湖南省娄底市2025年初中毕业学业作业（一）数学试题卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）
1．（2025·娄底模拟）2025的相反数是（　　）
A．2025 B． C． D．
2．（2025·娄底模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·娄底模拟）洞庭湖，是中国传统农业发祥地，是著名的鱼米之乡，是湖南省乃至全国最重要的商品粮油基地、水产和养殖产地．洞庭湖的总容积为220亿立方米，将220亿用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·娄底模拟）某地一周每天的平均天气（单位：）如下表所示：
日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
平均天气 29 25 25 29 28 21 25
这组数（平均天气）的平均数是（　　）
A．26 B．27 C．28 D．29
5．（2025·娄底模拟）如图，在平行四边形中，是的角平分线，，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·娄底模拟）如图，是的直径，若的半径为2，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·娄底模拟）不等式组的解集是（　　）
A． B． C． D．无解
8．（2025·娄底模拟）下列命题中，正确的是（　　）
A．菱形的两条对角线相等 B．若，则
C．正六边形的一个内角为 D．平行四边形不是中心对称图形
9．（2025·娄底模拟）将的图象先向上平移6个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到的新图象的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025·娄底模拟）我们约定：一个函数图象与x轴交点的横坐标称为这个函数的零点．下列说法正确的是（　　）
A．的零点是
B．的零点是1和
C．若有零点，则
D．在自变量取值范围为实数的一次函数中，存在一个一次函数没有零点
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
11．（2025·娄底模拟）　 　．
12．（2025·娄底模拟）在函数y= 中，自变量x的取值范围是　 　．
13．（2025·娄底模拟）“奇变偶不变，符号看象限．”这句话中，“变”字出现的概率是　 　．
14．（2025·娄底模拟）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，已知，则　 　．
15．（2025·娄底模拟）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过点C作x轴的垂线，垂足为点B，连接，若，则　 　．
16．（2025·娄底模拟）派对帽（如实物图）可以看做一个圆锥，它是由纸制作而成．它的底面直径是，将它的侧面展开（如图），已知，则需要面积为　 　的纸去制作它．
17．（2025·娄底模拟）如图，在等边三角形中，，D、E是边上的三等分点，点M、N分别在边，上运动，则四边形周长的最小值是　 　．
18．（2025·娄底模拟）如图，在矩形中，E是边上的一点，将沿BE折叠得到，点F刚好落在边AD上，H、G分别是边上一点，已知，，，，连接HE、HG，则　 　．
三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，满分12分）
19．（2025·娄底模拟）计算：
20．（2025·娄底模拟）先化简，再求值：，其中．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
21．（2025·娄底模拟）体育强则中国强，国运兴则体育兴．中心学校在校运会举行了投篮比赛活动，学校随机抽取几名同学参加，规定每人投篮10次，将投中次数进行分类，统计绘制了如下不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题．
（1）_________，_________；
（2）补全条形统计图；
（3）体育老师从成绩较好的5名同学（设为胡胡，楠楠，欢欢，迎迎，妮妮）中随机抽取2名同学代表学校参加省级联赛，请用画树状图或列表的方法求出楠楠被抽中的概率．
22．（2025·娄底模拟）车田江特大桥（如实物图所示）位于娄底市新化县车田江风景区，桥体外侧呈“拱架”的构造，地方文化特色十分浓郁，与车田江自然美景融合，更是相得益彰．容融为了知道大桥的长度和桥墩的高度，进行了如下测量．
测量过程1：容融用一无人机在大桥上方点E处分别测得大桥两端A、B的俯角为和，已知点E到大桥的距离为170米，
测量过程2：若大桥的形状是轴对称图形，容融在桥墩底部C处测得拱架最高点D处的仰角为，在桥墩上方A处测得拱架最高点D处的仰角为．（结果精确到0.1米，，，）
（1）求大桥的长度；
（2）求大桥桥墩的高度．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）
23．（2025·娄底模拟）吃月饼是中秋节的传统习俗，市面上最受欢迎的两种月饼是五仁馅月饼和蛋黄馅月饼．某超市购买45个蛋黄馅月饼和50个五仁馅月饼需要520元，购买50个蛋黄馅月饼和45个五仁馅月饼需要525元．
（1）求蛋黄馅月饼和五仁馅月饼每个的单价；
（2）超市将蛋黄馅月饼的售价定为8元，五仁馅月饼的售价定为6元．根据市场需求，超市计划再用不超过1050元的总费用购进这两种月饼共200个进行销售，怎样进货才能使售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？
24．（2025·娄底模拟）如图，在菱形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点，连接，，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求菱形的面积．
六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
25．（2025·娄底模拟）如图，在中，，是的外接圆，连接并延长交于点．点是的内心，连接并延长交于点，过点作直线，延长交于点，连接，过点作的平行线交于点．已知．
（1）求证：直线与相切；
（2）若，求的半径；
（3）求证：．
26．（2025·娄底模拟）如图，抛物线经过，，三点，连接．
（1）求抛物线的解析式：
（2）作直线，l交抛物线于E、F两点（点E在点F的左侧），已知，
①求直线l的解析式；
②点P是抛物线上的动点，作，垂足为点K，是否存在点P，使得以P、E、K为顶点的三角形与相似？若存在，请写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：B．
【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数，据此解答即可.
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，
∴此选项不符合题意；
B、，
∴此选项不符合题意；
C、，
∴此选项不符合题意；
D、，
∴此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】A、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
B、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可求解；
C、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解；
D、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将亿用科学记数法表示为：
亿，
故选：．
【分析】
用科学记数法把一个绝对值较大的数字常表示成的形式，其中，这个数字整数部分数位个数与1的差．
4．【答案】A
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：这组数据的平均数，
故选：A．
【分析】
直接根据平均数公式计算即可．
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
是的角平分线，
，
，
故选：．
【分析】
先由平行四边形的对边平行结合角平分线的概念可得，再由三角形内角和定理可得，再由平行四边形对角相等即可．
6．【答案】D
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—构造直角三角形；求余弦值
【解析】【解答】解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵的半径为2，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】
由于直径所对的圆周角是直角，则可连接AD，由圆周角定理可得，再解直角三角形ADC即可．
7．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由不等式可得：，
由不等式可得：，
∴原不等式组解集为：，
故选：C.
【分析】
解一元一次不等式组，先分别求出不等式组中各个不等式的解集，再按照口诀“同大取大、同小取小、大于小的且小于大的取中间、小于小的且大于大的无解”确定出各解集的公共部分即可.
8．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；菱形的性质；中心对称及中心对称图形；真命题与假命题；不等式的性质
【解析】【解答】解：A、菱形的两条对角线不相等，原命题不正确，本选项不符合题意；
B、若，则，正确，本选项符合题意；
C、正六边形的一个内角为，原命题不正确，本选项不符合题意；
D、平行四边形是中心对称图形，原命题不正确，本选项不符合题意；
故选：B．
【分析】
A、菱形的对角线互相垂直平分；
B、不等式的性质；
C、正六边形的每一个内角都是；
D、平行四边形都是中心对称图形．
9．【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题意知，两次平移后的抛物线的解析式为：
故选：．
【分析】
二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”．
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当时，，解得：，故是的零点，故A错误不符合题意，
当时，，解得：，，故的零点是和，故B错误不符合题意，
当时，，若，解得，此时，若，有零点，即有解，，解得：，故C正确，符合题意，
一次函数与x轴都有交点，故一次函数有零点，故D错误不符合题意，
故选：C．
【分析】
A、由直线上点的坐标特征令可得，即零点为2025；
B、由抛物线上点的坐标特征令可得，再解方程得，，即零点是和；
C、由于a的值未知，则应分类讨论，即当时，则关于x的一元二次方程有实数根，则，即；若，则，则；
D、对于一次函数，其始终交x轴于点.
11．【答案】
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
．
12．【答案】x≠1
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】由题意得，x﹣1≠0，
解得x≠1．
故答案为：x≠1．
【分析】分式有意义的条件为分母不等于0.
13．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：“奇变偶不变，符号看象限．”这句话共个字，其中“变”字出现次，
“变”字出现的概率是：，
故答案为：．
【分析】
直接利用简单事件概率计算公式求解即可．
14．【答案】6
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意可得：
，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：6．
【分析】
由根与系数的关系可得和，再借助完全平方公式可推导出，再整体代入即可求出c的值．
15．【答案】
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数系数k的几何意义；正比例函数的图象
【解析】【解答】解：正比例函数与反比例函数的图象相交于两点，
点关于原点对称，
，
，，
，
过点作轴的垂线交轴于点，
，
，
，
解得（舍去正值），
故答案为：．
【分析】
由于正比例函数与反比例函数的图象都是中心对称图形，则A、C两点关于原点对称，则，再由反比例函数的几何意义可得，因为，所以．
16．【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵底面直径是，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
先由圆锥的底面周长等于扇形的弧长求出半径，即，再根据计算出面积即可．
17．【答案】5
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；轴对称的性质；将军饮马模型-两线两点（两动两定）
【解析】【解答】解：作D点关于的对称点、E点关于的对称点，连接分别与和交于M和N，则的最小值为，此时四边形的周长最小，
再分别延长D`A交E`C的延长线于点F.
∵三角形是等边三角形，
∴由对称性得：，，
∵，
∴
∴四边形ABCF是菱形，
∴、，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴
∴ 四边形周长的最小值，
故答案为：5.
【分析】
作D点关于的对称点、E点关于的对称点，连接分别与和交于M和N，则的最小值为，此时四边形的周长最小，再分别延长D`A交E`C的延长线于点F，则由轴对称的性质结合等边三角形的性质可证明四边形ABCF是菱形，即是等边三角形，再由轴对称的性质结合三等分点的概念可得也是等边三角形，即，故四边形DENM周长的最小值为5．
18．【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；求余弦值
【解析】【解答】解：∵矩形，
∴，，
连接，作于点，
∴四边形是矩形，由折叠的性质得，，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴是直角三角形，且，
∴，
故答案为：．
【分析】
利用折叠的性质结合勾股定理可得，再利用勾股定理及其逆定理可证是直角三角形，且，再利用矩形的判定与性质求出，再解直角三角形求出的余弦即可．
19．【答案】解：
，
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】实数的混合运算．先计算乘方，即分别求零次幂和负整数指数幂，再计算实数的绝对值和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后再进行加减运算即可．
20．【答案】解：
，
当时，
原式．
【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】分式的化简求值，先对括号内的异分母分式通分再作减法运算，再化除法为乘法，再对分子分母分别分解因式，再约分化结果为最简分式或整式，最后再代值并对结果进行分母有理化即可．
21．【答案】（1）3；
（2）解：补全条形图如图：
；
（3）解：胡胡，楠楠，欢欢，迎迎，妮妮分别用A，B，C，D，E表示，画树状图如下：
共20种等可能的结果，其中楠楠被抽中的结果有8种，
∴．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：由题意得，
抽取的总人数为人，
投中6次的人数为人，
投中8次的人数为人，
，
故答案为：3；；
【分析】
（1）观察条形统计图和扇形统计图，可根据投中7次的人数所占的比例，求出总人数，再分别求得投中6次和8次的人数，再用乘投中8次的占比即可；
（2）根据（1）的结果补全条形图即可；
（3）两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据．
（1）解：由题意得，
抽取的总人数为人，
投中6次的人数为人，
投中8次的人数为人，
，
故答案为：3；；
（2）解：补全条形图如图：
；
（3）解：胡胡，楠楠，欢欢，迎迎，妮妮分别用A，B，C，D，E表示，画树状图如下：
共20种等可能的结果，其中楠楠被抽中的结果有8种，
∴．
22．【答案】（1）解：作于点，如图，
由题意得米，，，
∴在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴米；
答：大桥的长度约为米；
（2）解：作于点，交于点，如图，
由题意得，，，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴米；
答：大桥桥墩的高度约为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
（1）作于点可构造和，再分别解直角三角形分别求得和的长，再利用线段的和差关系即可；
（2）作于点，交于点，可构造矩形ACHG和和，再解直角三角形分别求得DH和DG的长，再利用线段的和差关系求出GH，再利用矩形的性质求出AC即可．
（1）解：作于点，如图，
由题意得米，，，
∴在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴米；
答：大桥的长度约为米；
（2）解：作于点，交于点，如图，
由题意得，，，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴米；
答：大桥桥墩的高度约为米．
23．【答案】（1）解：设蛋黄馅月饼每个元，则五仁馅月饼每个元，
根据题意得，，
解得，
答：蛋黄馅月饼每个元，则五仁馅月饼每个元；
（2）解：设购进蛋黄馅月饼个，则购进五仁馅月饼个，总利润为，
根据题意得，，
解得，
又由题意得，，
，随的增大而增大，
当时，利润最大，最大值为，
，
答：购进蛋黄馅月饼个，则购进五仁馅月饼个，最大利润为元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（）设蛋黄馅月饼每个元，则五仁馅月饼每个元，根据相等关系“ 购买45个蛋黄馅月饼和50个五仁馅月饼需要520元，购买50个蛋黄馅月饼和45个五仁馅月饼需要525元 ”列出二元一次方程组并求解即可；
（）设购进蛋黄馅月饼个，则购进五仁馅月饼个，由不等关系“ 不超过1050元 ”列一次一次不等式并求解可得，再根据题意可得利润是关于的一次函数，再根据一次函数的性质得时利润最大，此时再求出对应的五仁馅月饼个数即可．
（1）解：设蛋黄馅月饼每个元，则五仁馅月饼每个元，
根据题意得，，
解得，
答：蛋黄馅月饼每个元，则五仁馅月饼每个元；
（2）解：设购进蛋黄馅月饼个，则购进五仁馅月饼个，总利润为，
根据题意得，，
解得，
又由题意得，，
，随的增大而增大，
当时，利润最大，最大值为，
，
答：购进蛋黄馅月饼个，则购进五仁馅月饼个，最大利润为元．
24．【答案】（1）证明：如图，连接，.
∵E、F、G、H分别是边、、、的中点，
∴，，，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】菱形的性质；矩形的判定；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系；中点四边形模型
【解析】【分析】（1）由于菱形的对角线互相垂直平分，可连接，，则，再由三角形的中位线定理可得，同理，则四边形EFGH是矩形；
（2）先由中位线定理可得，再由菱形的性质知，再解直角三角形可得，则，再利用菱形的面积公式直接计算即可．
（1）证明：连接，，
∵E、F、G、H分别是边、、、的中点，
∴，，，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
25．【答案】（1）证明：连接OF、CF.
点E是的内心
平分
、
，即直线与相切；
（2）解：如图，连接BD.
平分
是直径
（3）证明：如图所示：
由（1）知，
四边形ACGH是平行四边形
【知识点】三角形外角的概念及性质；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）连接OF、CF，则由内心的概念可得BF平分，则由圆周角定理可得，再由垂径定理的推论可得，再由圆周角定理结合已知可得，即可证，所以，则结论成立；
（2）由于直径所对的圆周角是直角，则连接BD可得，再由垂径定理的推论可知AD垂直BC，再由垂径定理结合圆周角定理可得，再由内心的概念可得，再借助三角形外角的性质结合角的和差关系可得，则由等角对等边得，再由勾股定理求得直径AD的长即可；
（3）先由（1）知，再结合已知可证四边形ACGH是平行四边形，则HG=AC=AB、AH=CG，再由两角相等两三角形相似可证明，由相似比得，再化比例式为等积式并等量代换即可．
（1）证明：连接并延长交于，连接，
是的直径，
，即，
，，
，
即，
，
直线是的切线；
（2）解：连接，
是的直径，
，
点是的内心，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
即的半径为3；
（3）证明：，
，
，，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
．
26．【答案】（1）解：∵抛物线经过，，
∴设抛物线的解析式为，
把代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：①解：①如图所示，分别设，直线BC的解析式为直线EF的解析式为.
，，
∴，解得，
∴，
联立抛物线与直线EF的解析式得：
②点的坐标为或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；坐标系中的两点距离公式；一次函数图象上点的坐标特征；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【解答】
（2）②解：如图所示：
∵，，，，
∴，，
∵，
∴是直角三角形，且，
∴，
作轴交抛物线于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
整理得，
解得或，
当时，；当时，，
∴，
∴点的纵坐标为，
解方程，
得或，
∴点的坐标为；
作点关于直线的对称点，连接交延长交抛物线于点，
此时，
∴，
∴点符合题意，
∵，直线，又，
∴，
设直线的解析式为，则
即，则可设直线的解析式为，
联立得，
解得，，
即点的坐标为，
∵点与点关于直线对称，
∴点的坐标为，
同理，直线的解析式为，
联立，
解得或，
当时，，
∴点的坐标为；
过点E作交轴于点，交抛物线于点，
∴，
∴，
∴点符合题意，
作轴于点，
设直线交轴于点，
令，，
解得，
∴点的坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
同理，直线的解析式为，
联立得，
解得或，
当时，，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或或．
【分析】
（1）先由题意可设抛物线解析式为交点式，再利用抛物线上点的坐标特征代入点C的坐标即可；
（2）①由于直线BC与EF平行，则可分别设直线BC、EF的解析式为，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，再设并联立抛物线与直线EF的解析式可得关于x的一元二次方程，再利用根与系数的关系可分别得和，再借助完全平方公式可得，再由直线上点的坐标特征得，则由两点距离公式结合已知可求得，则直线的解析式可得；
②先联立直线EF与抛物线的解析式可得点E、F的坐标，再利用点的坐标结合勾股定理及其逆定理可判定是直角三角形且，同时CF平行x轴，则当EP1平行x轴时，由平行线的性质结合同角的余角相等必然有，由于点E、F的纵坐标相同，则利用抛物线上点的坐标特征可得点P1的坐标；同理作点P1关于直线EF的对称点Q，则直线EQ交抛物线于点P2，再过点P2作直线EF的垂线段P2K2，则仍有，此时可先利用待定系数法求出直线AC的解析式，由平行公理可得KP平行AC，则利用待定系数可求得直线KP的解析式，再联立直线KP和EF的解析式可得点K1的坐标，再由轴对称的性质结合中点坐标公式可得点Q的坐标，同理再求出直线EQ的解析式并联立抛物线解析式即可得点P2的坐标；由于同角的余角相等，则可过点E作EP2的垂线交x轴于点M、交抛物线于点P3，则仍有，设直线EP2交x轴于点N，则利用直线上点的坐标特征可得点N坐标，再过点E作x轴的垂线段EL，则利用相似三角形的判定和性质可求得点M的坐标，再利用待定系数法求出直线EM的解析式并联立抛物线解析式即可求得点P3的坐标，故满足条件的点P共有3个．
（1）解：∵抛物线经过，，
∴设抛物线的解析式为，
把代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：①，，，
∴，，，
∴，
作于点，作于点，如图，
∵直线，即，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∵直线，
∴设直线的解析式为，
联立得，
整理得，
∴，，
∴，
即，
解得，
∴直线的解析式为；
②∵，，，，
∴，，
∵，
∴是直角三角形，且，
∴，
作轴交抛物线于点，
∵，
∴，
∴，
∴点符合题意，
∵，即，
整理得，
解得或，
当时，，
∴，
∴点的纵坐标为，
解方程，
得或，
∴点的坐标为；
作点关于直线的对称点，连接交延长交抛物线于点，
此时，
∴，
∴点符合题意，
∵，直线，又，
∴，
同理，直线的解析式为，
同理，直线的解析式为，
联立得，
解得，，
即点的坐标为，
∵点与点关于直线对称，
∴点的坐标为，
同理，直线的解析式为，
联立，
解得或，
当时，，
∴点的坐标为；
过点作交轴于点，交抛物线于点，
∴，
∴，
∴点符合题意，
作轴于点，
设直线交轴于点，
令，，
解得，
∴点的坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
同理，直线的解析式为，
联立得，
解得或，
当时，，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或或．
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