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湖南省张家界市永定区2024-2025学年九年级下学期毕业学业水平考试模拟（一）数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．请将正确答案的字母代号填在下表中．）
1．（2025·永定模拟）我国是最早认识和使用负数的国家，在古代数学名著《九章算术》中首次出现负数，后来，数学家刘徽在为《九章算术》作注时明确正负数表示相反意义的量．如果收入100元记作元，那么元表示（　　）
A．支出60元 B．收入60元 C．支出40元 D．收入40元
【答案】A
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：∵收入100元记作元，
∴元表示支出60元，
故选：A．
【分析】
用正负数表示意义相反的量，把收入100元记作元，是元表示支出60元．
2．（2025·永定模拟）2024年11月17日，第十五届中国国际航空航天博览会在珠海落下帷幕，留下了令人瞩目的数据与深远的影响，本届航展成交额达2856亿，彰显中国战略自信．将2856亿用科学记数法表示应为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：2856亿；
故选B．
【分析】本题考查科学记数法，科学记数法形式为为整数，先将亿转化为108，再调整a和n即可．
3．（2025·永定模拟）如图所示，该几何体的俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：结合几何体的特征，俯视图是长方形且中间是有一条实线 ，
即是俯视图为，
故答案为：B
【分析】根据简单几何体的三视图结合题意从上面看即可求解。
4．（2025·永定模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】A. ，故不符合题意；
B. ，故不符合题意；
C. ，符合题意
D. ，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据同底数幂除法，合并同类项，同底数幂乘法以及幂的运算法则即可依次判断．
5．（2025·永定模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：A、≠9，∴此选项不符合题意；
B、≠-2，
∴此选项不符合题意；
C、，
∴此选项符合题意；
D、≠3，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】A、根据二次根式的性质“(a≥0)”可判断求解；
B、根据二次根式的性质“”可判断求解；
C、根据二次根式的除法法则“”可判断求解；
D、同C计算可判断求解.
6．（2025·永定模拟）下列命题是真命题的是（　　）
A．相等的角是对顶角 B．两点之间直线最短
C．内错角相等 D．同角的余角相等
【答案】D
【知识点】两点之间线段最短；对顶角及其性质；真命题与假命题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：A、对顶角具有公共顶点且两边互为反向延长线，对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故是假命题；
B、两点之间线段最短，故是假命题；
C、两直线平行，内错角相等，故是假命题；
D、同角的余角相等，故是真命题；
故选：D ．
【分析】
真命题指由题设能推导出结论的命题，可分别由对顶角的概念、两间之间线段最短、两直线平行内错角相等，同角或等角的余角相等对命题进行判断即可．

7．（2025·永定模拟）如图，三点在上，且，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故选：B．
【分析】
同圆或等圆中同弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半．
8．（2025·永定模拟）佳琪在处理一组数据“22，22，38，45，●”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在40～50之间，根据以上信息可以确定这组数据的（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：∵平均数和方差跟一组数据的每一个数据都有关系，
∴无法确定平均数和方差，
∵众数为一组数据中出现次数最多的数据，当●是45时，有两个众数，当●不是45时，有一个众数，
∴不能确定众数，
∵将这组数据排序后，位于中间的一个为38，
∴中位数为38；
∴能确定这组数据的中位数，
故选B．
【分析】根据平均数，中位数，众数和方差的定义逐项进行判断即可求出答案.
9．（2025·永定模拟）如图，平行四边形，是边延长线上一点，连结交于点，若，设面积为，则平行四边形面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：平行四边形，
，，，
，，
，
，，
，，
面积为，
，，
，
，
故答案为：A．
【分析】
由平行四边形的性质知，AD//BC、AF//CD，则由三角形相似的预备定理可得、，则由已知可得相似比分别为2：1和3：1，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方可得、，再利用割补法可得、．
10．（2025·永定模拟）如图，曲线是抛物线的一部分（其中是抛物线与轴的交点，是顶点），曲线是反比例函数的图象的一部分，由点开始不断重复形成一组“波浪线”．若点在该“波浪线”上，则的值为（　　）
A．1 B．5 C． D．2024
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；探索规律-函数图象规律
【解析】【解答】解：将代入抛物线，可得：
∴，
∵，
将代入抛物线，可得：
∴，
∵点在双曲线上
∴
将代入可得：
∴，
∵由点开始不断重复形成一组“波浪线”
又∵，
∴点纵坐标和时对应的函数值相等，
∴将代入得，
∴；
故选C．
【分析】
先由抛物线的性质可得其对称轴为直线，再由抛物线上点的坐标特征可得，，再由待定系数法可，则，再由题意求与5商的余数可得结果为4，再利用双曲线上点的坐标特征把代入到双曲线解析式中即可求得m的值．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．（2025·永定模拟）化简：　 　．
【答案】4
【知识点】化简多重符号有理数
【解析】【解答】解：．
故答案为：4．
【分析】
负数的相反数等于它的绝对值．
12．（2025·永定模拟）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么下列符合这一结果的实验最有可能的是　 　．（填序号）
①袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球；
②掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”；
③掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2；
④从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花．
【答案】③
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：①、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，不符合题意；
②、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意；
③、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2的概率为，符合题意；
④、从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花的概率为，不符合题意．
故答案为：③．
【分析】根据大量重复试验的频率估计概率，然后计算各选项的概率判断解题即可．
13．（2025·永定模拟）分式方程的解是　 　．
【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：
∴
解得：
经检验，是原方程的解，
故答案为：．
【分析】
解分式方程，先去分母，化分式方程为整式方程，再解整式方程并对根进行检验，最后再根据验根的结果写出解的情况即可．
14．（2025·永定模拟）若三个内角的度数之比为，则该三角形的最大角是　 　度．
【答案】90
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：根据三角形的内角和定理，得
最大角是．
故答案为：90．
【分析】
此题考查了三角形的内角和定理（三角形内角和为180°）和按比例分配的应用，根据三个内角对应的份数，找出最大角占的比例，计算即可.
15．（2025·永定模拟）如果关于 的方程 （ 为常数）有两个不相等的实数根，那么 的取值范围是　 　．
【答案】k＜1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2-2x+k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即（-2）2-4×1×k＞0，
解得k＜1，
∴k的取值范围为k＜1．
故答案为：k＜1．
【分析】利用题意根据一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
16．（2025·永定模拟）某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小明通过改变动力臂L，测量出相应的动力F数据如表：（动力动力臂阻力阻力臂）
动力臂 … 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 …
动力 … 300 150 100 a 60 …
请根据表中数据规律探求，当动力臂L长度为时，所需动力是　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由表可知动力臂与动力成反比的关系，
设，
从表中取一个有序数对代入，得，
．
．
把代入，
．
故答案为：．
【分析】
观察可知动力臂与动力成反比例函数关系，可任取一组数据利用待定系数法可得反比例函数解析式，再利用反比例函数图象上点的坐标特征求解即可．
17．（2025·永定模拟）如图，在正方形中，，以为圆心，为半径作圆弧，交的延长线于点，连结．则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：∵在正方形中，，，
，，，
，
∴
．
故答案为．
【分析】
设AB交DE于点O，先根据倍长中线法证明全等三角形模型可得，再利用割补法可得阴影部分面积等于扇形ABE的面积，再利用扇形面积公式求解即可．
18．（2025·永定模拟）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为　 　
【答案】3或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：当△CEB'为直角三角形时，有两种情况：
①当点B'落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B'处，
∴∠AB'E=∠B=90°，
当△CEB'为直角三角形时，只能得到∠EB'C=90°，
∴点A、B'、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B'处，
∴EB=EB'，AB=AB'=3，
∴CB'=5-3=2，
设BE=x，则EB'=x，CE=4-x，
在Rt△CEB'中，
∵EB'2+CB'2=CE2，
∴x2+22=（4-x）2，解得，
∴BE=；
②当点B'落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB'为正方形，
∴BE=AB=3．
综上所述，BE的长为或3．
故答案为：或3．
【分析】根据等腰直角三角形性质分类讨论：①当点B'落在矩形内部时，连结AC，根据勾股定理可得AC，再根据折叠性质可得∠AB'E=∠B=90°，当△CEB'为直角三角形时，只能得到∠EB'C=90°，则点A、B'、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B'处，由折叠性质可得EB=EB'，AB=AB'=3，设BE=x，则EB'=x，CE=4-x，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案；当点B'落在AD边上时，此时ABEB'为正方形，根据正方形性质即可求出答案.
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（2025·永定模拟）计算：．
【答案】解： .
【知识点】负整数指数幂；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】实数的混合运算，先求乘方，再求特殊角的三角函数值和实数的绝对值，再进行简洁运算，最后再进行加减即可．
20．（2025·永定模拟）先化简，再求值： ，其中
【答案】解：原式=ab（a+1）·=ab；
当a=时，
原式==2
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】首先将整式利用提公因式法分解因式，然后计算分式的除法。将除式的分子利用完全平方公式分解因式，并将分子，分母交换位置，将除法转变为乘法，然后约分化为最简形式；再代入a，b的值利用平方差公式去括号，再按有理数的减法算出答案。
21．（2025·永定模拟）为丰富学生学习生活，增强学生体质，促进学生全面发展，某校准备开设几个球类兴趣班．为了确定开设的项目，学校随机抽取了a名同学，对他们最感兴趣的一种球类运动进行了调查，并将调查结果整理成了如下尚不完整的统计图表．
频数分布表
人数（频数） 频率
排球 18
足球 b
篮球 80 m
羽毛球 36
乒乓球 24 n
合计 a 1
（1）①填空： ______；在扇形统计图中，“乒乓球”所在扇形的圆心角度数为______；
②如果学校共有学生2000名，根据调查的结果，估计全校学生在这五项球类运动中，对篮球最感兴趣的人数．
（2）根据调查结果，学校决定开设篮球、足球、羽毛球兴趣班，小亮和小颖决定随机选报其中一种兴趣班，求两人恰好选择同一种兴趣班的概率．
【答案】（1）①，；②对篮球最感兴趣的人数为人；
（2）解：记篮球为A，足球为B，羽毛球为C，根据题意，可列表如下：
小亮
小颖 A B C
A
B
C
由上表可知，共有9种等可能结果，其中两人选择同一种球类的结果有3种，
∴两人恰好选择同一种兴趣班的概率为：．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：①此次调查的总人数为：
（人），
“乒乓球”所在扇形的圆心角度数为：
，
故答案为：，；
②对篮球最感兴趣的人数为：
（人）；
【分析】
（1）观察频数分布表和扇形统计图，可根据排球的频数和所占的百分比求得本次调查的人数，再根据乒乓球人数所占的百分比，可以求得乒乓球所在的扇形的圆心角的度数；
用学校总人数乘以篮球人数所占的百分比即可；
（2）两步试验可利用画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据．
（1）解：①此次调查的总人数为：
（人），
“乒乓球”所在扇形的圆心角度数为：
，
故答案为：，；
②对篮球最感兴趣的人数为：
（人）；
（2）解：记篮球为A，足球为B，羽毛球为C，根据题意，可列表如下：
小亮 小颖 A B C
A
B
C
由上表可知，共有9种等可能结果，其中两人选择同一种球类的结果有3种，
∴两人恰好选择同一种兴趣班的概率为：．
22．（2025·永定模拟）已知：如图，在中，，D是BC的中点．以BD为直径作，交边AB于点P，连接PC，交AD于点E．
（1）求证：AD是的切线；
（2）若PC是的切线，，求PC的长．
【答案】（1）证明：因为AB ＝ AC，D是BC的中点，所以AD⊥BD．
因为BD是⊙O直径，所以AD是⊙O的切线．
（2）解：连接OP.
∵点D是边BC的中点，BC ＝ 8，AB=AC，
∴BD ＝ DC＝4，
OD＝OP ＝ 2．
∴OC ＝ 6.
∵PC是⊙O的切线，O为圆心，
∴．
在Rt△OPC中，
由勾股定理，得
OC2＝ OP2+ PC2
∴PC2＝ OC2－OP2
＝ 62－22
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）要证明AD是圆O的切线，只要证明∠BDA=90°即可；
（2）连接OP，根据等腰三角形的性质求得DC的长，再求出OC的长，根据切线的性质求得，最后利用勾股定理（直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方）求出PC的长．
23．（2025·永定模拟）某中学在运动会前夕准备购买篮球、足球作为奖品．若购买3个篮球和2个足球共花费520元，且购买一个篮球比购买一个足球多花40元．
（1）请问：购买一个篮球，一个足球各需多少元
（2）今年学校计划购买这种篮球和足球共20个，恰逢商场正在开展促销活动，篮球打八折，足球打七五折，若此次购买两种球的总费用不超过1600元，则最多可购买多少个篮球
【答案】（1）解：设购买一个篮球需要元，一个足球需元；
可得方程组：，
解得：，
答：购买一个篮球需要120元，一个足球需80元；
（2）解：设购买篮球个，则购买足球个，
可列不等式：，
解得：，
答：篮球最多可以购买11个．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设购买一个篮球需x元，购买一个足球需y元，根据购买3个篮球和2个足球共花费520元，且购买一个篮球比购买一个足球多花40元列出方程组，解方程组即可；
（2）设购买a个篮球，则购买足球个，根据"此次购买两种球的总费用不超过1600元"列出不等式，解不等式即可．
（1）解：设购买一个篮球需要元，一个足球需元；
可得方程组：，
解得：，
答：购买一个篮球需要120元，一个足球需80元；
（2）解：设购买篮球个，则购买足球个，
可列不等式：，
解得：，
答：篮球最多可以购买11个．
24．（2025·永定模拟）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测算某景区山的高度
测量工具 皮尺，测角仪，水平仪器等
模型抽象 如图，是山脚的水平线，山的高垂直于水平线于点．
测量过程与数据信息 ①在山脚处测出山顶的仰角，山坡的坡角； ②沿着山坡前进到达处； ③在处测出山顶的仰角． 注：图中所有点均在同一平面内．
（参考数据：，，，，，）
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：
（1）求坡面的水平距离和垂直距离；
（2）求山的高．
【答案】（1）解：在中，，，，
，
，
；；
答：坡面的水平距离和垂直距离分别是和。
（2）解：延长交于点，如图所示：
则四边形是矩形，
设，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
，即，
解得
，
答：山的高度为。
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）在中，根据正弦函数、余弦函数定义：，，代入数据即可求出CH和AH的值。
（2）延长交于点，设，根据矩形性质，可得，，代入数据，求出BG的关系式，在中，根据正切函数定义：，代入数据即可求出BD的值。
（1）解：在中，，，，
，，
；；
答：坡面的水平距离和垂直距离分别是和；
（2）解：延长交于点，如图所示：
则四边形是矩形，
设，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
，即，
解得
，
答：山的高度为．
25．（2025·永定模拟）如图，直线与轴交于点，与轴交于点B，抛物线经过A，B．
（1）求抛物线解析式；
（2）是线段上一动点，过点作轴于点，交于点，交抛物线于点P，连接PB．
①当时，求的面积.
②点在线段上运动时，连结交于点，当的值最大时，请你求出点的坐标和的最大值．
【答案】（1）解：∵直线与x轴交于点，
∴得，
直线AB的解析式为：，
当时，，点，
又抛物线经过A，B，
∴解得，
则抛物线；
（2）解：①轴，，
，
，
点D坐标为，
，
．
②如图，过点Q作于点H，
设直线的解析式为，
∵，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
此时．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）先利用直线上点的坐标特征求出点B坐标，再利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）①由于PE平行y轴，则点P、D、E的横坐标相同，即可利用抛物线和直线上点的坐标特征分别求出点P、D的坐标，则PD可求，再利用铅直法把的面积表示成PD与OA乘积的一半即可；
②过点Q作于点H，则OH平行PE，由三角形相似的预备定理可得，由相似比可把可转化，此时可利用抛物线上点的坐标特征设点P坐标，则PE即点P的纵坐标值，再利用待定系数法求出直线解析式，并联立直线AB的解析式可得点Q坐标，即OH为点Q的纵坐标，从而得，即是关于m的二次函数，由于二次项系数为负，则有最大值，再利用二次函数的性质求出这个最大值即可得此时对应的点E的坐标．
（1）解：∵直线与x轴交于点，
∴得， 则直线，
当时，，点，
又∵，抛物线经过A，B，
∴解得，
则抛物线；
（2）解：①轴，，
，
，
点D坐标为，
，
．
②如图，过点Q作于点H，
设直线的解析式为，
∵，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
此时．
26．（2025·永定模拟）综合与实践
如图1，在中，点分别在直线和上，直线相交于点，某数学兴趣小组在探究四条线段的比例关系时，经历了如下过程：
【特例感知】
（1）①如图2，当时，若，求；
②如图3，当时，若，求．
【猜想证明】
（2）猜想四条线段的比例关系，并结合图1进行证明．（备注：从图1中的①或②选择一个证明即可）
【答案】解：①当时，平行四边形是正方形，如图所示，
∴，
∵
∴，即，
∵，
∴，
在和中， ，
∴，
∴，
故答案为：；
②当时，如图所示，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
故答案为：；
（2），理由如下：
如图1中的①，四边形是平行四边形，点在线段上，
，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴，且，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴.
【知识点】四边形的综合
【解析】【分析】（1）①当时，平行四边形是正方形，再利用正方形的性质结合同角的余角相等可得，则可利用ASA证明，则；
②由于四边形是矩形，同理有、，则由AA可证明，由相似比可得；
（2）由于平行四边形的邻角互补，则由等角的补角相等可得，又公共角，则由AA可证明，由相似比可得；再由对顶角相等可得，又公共角，则，由相似比可得，则，等量代换得．
1 / 1湖南省张家界市永定区2024-2025学年九年级下学期毕业学业水平考试模拟（一）数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．请将正确答案的字母代号填在下表中．）
1．（2025·永定模拟）我国是最早认识和使用负数的国家，在古代数学名著《九章算术》中首次出现负数，后来，数学家刘徽在为《九章算术》作注时明确正负数表示相反意义的量．如果收入100元记作元，那么元表示（　　）
A．支出60元 B．收入60元 C．支出40元 D．收入40元
2．（2025·永定模拟）2024年11月17日，第十五届中国国际航空航天博览会在珠海落下帷幕，留下了令人瞩目的数据与深远的影响，本届航展成交额达2856亿，彰显中国战略自信．将2856亿用科学记数法表示应为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·永定模拟）如图所示，该几何体的俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·永定模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·永定模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·永定模拟）下列命题是真命题的是（　　）
A．相等的角是对顶角 B．两点之间直线最短
C．内错角相等 D．同角的余角相等
7．（2025·永定模拟）如图，三点在上，且，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·永定模拟）佳琪在处理一组数据“22，22，38，45，●”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在40～50之间，根据以上信息可以确定这组数据的（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
9．（2025·永定模拟）如图，平行四边形，是边延长线上一点，连结交于点，若，设面积为，则平行四边形面积为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·永定模拟）如图，曲线是抛物线的一部分（其中是抛物线与轴的交点，是顶点），曲线是反比例函数的图象的一部分，由点开始不断重复形成一组“波浪线”．若点在该“波浪线”上，则的值为（　　）
A．1 B．5 C． D．2024
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．（2025·永定模拟）化简：　 　．
12．（2025·永定模拟）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么下列符合这一结果的实验最有可能的是　 　．（填序号）
①袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球；
②掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”；
③掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2；
④从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花．
13．（2025·永定模拟）分式方程的解是　 　．
14．（2025·永定模拟）若三个内角的度数之比为，则该三角形的最大角是　 　度．
15．（2025·永定模拟）如果关于 的方程 （ 为常数）有两个不相等的实数根，那么 的取值范围是　 　．
16．（2025·永定模拟）某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小明通过改变动力臂L，测量出相应的动力F数据如表：（动力动力臂阻力阻力臂）
动力臂 … 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 …
动力 … 300 150 100 a 60 …
请根据表中数据规律探求，当动力臂L长度为时，所需动力是　 　．
17．（2025·永定模拟）如图，在正方形中，，以为圆心，为半径作圆弧，交的延长线于点，连结．则图中阴影部分的面积为　 　．
18．（2025·永定模拟）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为　 　
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（2025·永定模拟）计算：．
20．（2025·永定模拟）先化简，再求值： ，其中
21．（2025·永定模拟）为丰富学生学习生活，增强学生体质，促进学生全面发展，某校准备开设几个球类兴趣班．为了确定开设的项目，学校随机抽取了a名同学，对他们最感兴趣的一种球类运动进行了调查，并将调查结果整理成了如下尚不完整的统计图表．
频数分布表
人数（频数） 频率
排球 18
足球 b
篮球 80 m
羽毛球 36
乒乓球 24 n
合计 a 1
（1）①填空： ______；在扇形统计图中，“乒乓球”所在扇形的圆心角度数为______；
②如果学校共有学生2000名，根据调查的结果，估计全校学生在这五项球类运动中，对篮球最感兴趣的人数．
（2）根据调查结果，学校决定开设篮球、足球、羽毛球兴趣班，小亮和小颖决定随机选报其中一种兴趣班，求两人恰好选择同一种兴趣班的概率．
22．（2025·永定模拟）已知：如图，在中，，D是BC的中点．以BD为直径作，交边AB于点P，连接PC，交AD于点E．
（1）求证：AD是的切线；
（2）若PC是的切线，，求PC的长．
23．（2025·永定模拟）某中学在运动会前夕准备购买篮球、足球作为奖品．若购买3个篮球和2个足球共花费520元，且购买一个篮球比购买一个足球多花40元．
（1）请问：购买一个篮球，一个足球各需多少元
（2）今年学校计划购买这种篮球和足球共20个，恰逢商场正在开展促销活动，篮球打八折，足球打七五折，若此次购买两种球的总费用不超过1600元，则最多可购买多少个篮球
24．（2025·永定模拟）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测算某景区山的高度
测量工具 皮尺，测角仪，水平仪器等
模型抽象 如图，是山脚的水平线，山的高垂直于水平线于点．
测量过程与数据信息 ①在山脚处测出山顶的仰角，山坡的坡角； ②沿着山坡前进到达处； ③在处测出山顶的仰角． 注：图中所有点均在同一平面内．
（参考数据：，，，，，）
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：
（1）求坡面的水平距离和垂直距离；
（2）求山的高．
25．（2025·永定模拟）如图，直线与轴交于点，与轴交于点B，抛物线经过A，B．
（1）求抛物线解析式；
（2）是线段上一动点，过点作轴于点，交于点，交抛物线于点P，连接PB．
①当时，求的面积.
②点在线段上运动时，连结交于点，当的值最大时，请你求出点的坐标和的最大值．
26．（2025·永定模拟）综合与实践
如图1，在中，点分别在直线和上，直线相交于点，某数学兴趣小组在探究四条线段的比例关系时，经历了如下过程：
【特例感知】
（1）①如图2，当时，若，求；
②如图3，当时，若，求．
【猜想证明】
（2）猜想四条线段的比例关系，并结合图1进行证明．（备注：从图1中的①或②选择一个证明即可）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：∵收入100元记作元，
∴元表示支出60元，
故选：A．
【分析】
用正负数表示意义相反的量，把收入100元记作元，是元表示支出60元．
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：2856亿；
故选B．
【分析】本题考查科学记数法，科学记数法形式为为整数，先将亿转化为108，再调整a和n即可．
3．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：结合几何体的特征，俯视图是长方形且中间是有一条实线 ，
即是俯视图为，
故答案为：B
【分析】根据简单几何体的三视图结合题意从上面看即可求解。
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】A. ，故不符合题意；
B. ，故不符合题意；
C. ，符合题意
D. ，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据同底数幂除法，合并同类项，同底数幂乘法以及幂的运算法则即可依次判断．
5．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：A、≠9，∴此选项不符合题意；
B、≠-2，
∴此选项不符合题意；
C、，
∴此选项符合题意；
D、≠3，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】A、根据二次根式的性质“(a≥0)”可判断求解；
B、根据二次根式的性质“”可判断求解；
C、根据二次根式的除法法则“”可判断求解；
D、同C计算可判断求解.
6．【答案】D
【知识点】两点之间线段最短；对顶角及其性质；真命题与假命题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：A、对顶角具有公共顶点且两边互为反向延长线，对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故是假命题；
B、两点之间线段最短，故是假命题；
C、两直线平行，内错角相等，故是假命题；
D、同角的余角相等，故是真命题；
故选：D ．
【分析】
真命题指由题设能推导出结论的命题，可分别由对顶角的概念、两间之间线段最短、两直线平行内错角相等，同角或等角的余角相等对命题进行判断即可．

7．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故选：B．
【分析】
同圆或等圆中同弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半．
8．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：∵平均数和方差跟一组数据的每一个数据都有关系，
∴无法确定平均数和方差，
∵众数为一组数据中出现次数最多的数据，当●是45时，有两个众数，当●不是45时，有一个众数，
∴不能确定众数，
∵将这组数据排序后，位于中间的一个为38，
∴中位数为38；
∴能确定这组数据的中位数，
故选B．
【分析】根据平均数，中位数，众数和方差的定义逐项进行判断即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：平行四边形，
，，，
，，
，
，，
，，
面积为，
，，
，
，
故答案为：A．
【分析】
由平行四边形的性质知，AD//BC、AF//CD，则由三角形相似的预备定理可得、，则由已知可得相似比分别为2：1和3：1，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方可得、，再利用割补法可得、．
10．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；探索规律-函数图象规律
【解析】【解答】解：将代入抛物线，可得：
∴，
∵，
将代入抛物线，可得：
∴，
∵点在双曲线上
∴
将代入可得：
∴，
∵由点开始不断重复形成一组“波浪线”
又∵，
∴点纵坐标和时对应的函数值相等，
∴将代入得，
∴；
故选C．
【分析】
先由抛物线的性质可得其对称轴为直线，再由抛物线上点的坐标特征可得，，再由待定系数法可，则，再由题意求与5商的余数可得结果为4，再利用双曲线上点的坐标特征把代入到双曲线解析式中即可求得m的值．
11．【答案】4
【知识点】化简多重符号有理数
【解析】【解答】解：．
故答案为：4．
【分析】
负数的相反数等于它的绝对值．
12．【答案】③
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：①、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，不符合题意；
②、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意；
③、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2的概率为，符合题意；
④、从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花的概率为，不符合题意．
故答案为：③．
【分析】根据大量重复试验的频率估计概率，然后计算各选项的概率判断解题即可．
13．【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：
∴
解得：
经检验，是原方程的解，
故答案为：．
【分析】
解分式方程，先去分母，化分式方程为整式方程，再解整式方程并对根进行检验，最后再根据验根的结果写出解的情况即可．
14．【答案】90
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：根据三角形的内角和定理，得
最大角是．
故答案为：90．
【分析】
此题考查了三角形的内角和定理（三角形内角和为180°）和按比例分配的应用，根据三个内角对应的份数，找出最大角占的比例，计算即可.
15．【答案】k＜1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2-2x+k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即（-2）2-4×1×k＞0，
解得k＜1，
∴k的取值范围为k＜1．
故答案为：k＜1．
【分析】利用题意根据一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
16．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由表可知动力臂与动力成反比的关系，
设，
从表中取一个有序数对代入，得，
．
．
把代入，
．
故答案为：．
【分析】
观察可知动力臂与动力成反比例函数关系，可任取一组数据利用待定系数法可得反比例函数解析式，再利用反比例函数图象上点的坐标特征求解即可．
17．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：∵在正方形中，，，
，，，
，
∴
．
故答案为．
【分析】
设AB交DE于点O，先根据倍长中线法证明全等三角形模型可得，再利用割补法可得阴影部分面积等于扇形ABE的面积，再利用扇形面积公式求解即可．
18．【答案】3或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：当△CEB'为直角三角形时，有两种情况：
①当点B'落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B'处，
∴∠AB'E=∠B=90°，
当△CEB'为直角三角形时，只能得到∠EB'C=90°，
∴点A、B'、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B'处，
∴EB=EB'，AB=AB'=3，
∴CB'=5-3=2，
设BE=x，则EB'=x，CE=4-x，
在Rt△CEB'中，
∵EB'2+CB'2=CE2，
∴x2+22=（4-x）2，解得，
∴BE=；
②当点B'落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB'为正方形，
∴BE=AB=3．
综上所述，BE的长为或3．
故答案为：或3．
【分析】根据等腰直角三角形性质分类讨论：①当点B'落在矩形内部时，连结AC，根据勾股定理可得AC，再根据折叠性质可得∠AB'E=∠B=90°，当△CEB'为直角三角形时，只能得到∠EB'C=90°，则点A、B'、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B'处，由折叠性质可得EB=EB'，AB=AB'=3，设BE=x，则EB'=x，CE=4-x，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案；当点B'落在AD边上时，此时ABEB'为正方形，根据正方形性质即可求出答案.
19．【答案】解： .
【知识点】负整数指数幂；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】实数的混合运算，先求乘方，再求特殊角的三角函数值和实数的绝对值，再进行简洁运算，最后再进行加减即可．
20．【答案】解：原式=ab（a+1）·=ab；
当a=时，
原式==2
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】首先将整式利用提公因式法分解因式，然后计算分式的除法。将除式的分子利用完全平方公式分解因式，并将分子，分母交换位置，将除法转变为乘法，然后约分化为最简形式；再代入a，b的值利用平方差公式去括号，再按有理数的减法算出答案。
21．【答案】（1）①，；②对篮球最感兴趣的人数为人；
（2）解：记篮球为A，足球为B，羽毛球为C，根据题意，可列表如下：
小亮
小颖 A B C
A
B
C
由上表可知，共有9种等可能结果，其中两人选择同一种球类的结果有3种，
∴两人恰好选择同一种兴趣班的概率为：．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：①此次调查的总人数为：
（人），
“乒乓球”所在扇形的圆心角度数为：
，
故答案为：，；
②对篮球最感兴趣的人数为：
（人）；
【分析】
（1）观察频数分布表和扇形统计图，可根据排球的频数和所占的百分比求得本次调查的人数，再根据乒乓球人数所占的百分比，可以求得乒乓球所在的扇形的圆心角的度数；
用学校总人数乘以篮球人数所占的百分比即可；
（2）两步试验可利用画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据．
（1）解：①此次调查的总人数为：
（人），
“乒乓球”所在扇形的圆心角度数为：
，
故答案为：，；
②对篮球最感兴趣的人数为：
（人）；
（2）解：记篮球为A，足球为B，羽毛球为C，根据题意，可列表如下：
小亮 小颖 A B C
A
B
C
由上表可知，共有9种等可能结果，其中两人选择同一种球类的结果有3种，
∴两人恰好选择同一种兴趣班的概率为：．
22．【答案】（1）证明：因为AB ＝ AC，D是BC的中点，所以AD⊥BD．
因为BD是⊙O直径，所以AD是⊙O的切线．
（2）解：连接OP.
∵点D是边BC的中点，BC ＝ 8，AB=AC，
∴BD ＝ DC＝4，
OD＝OP ＝ 2．
∴OC ＝ 6.
∵PC是⊙O的切线，O为圆心，
∴．
在Rt△OPC中，
由勾股定理，得
OC2＝ OP2+ PC2
∴PC2＝ OC2－OP2
＝ 62－22
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）要证明AD是圆O的切线，只要证明∠BDA=90°即可；
（2）连接OP，根据等腰三角形的性质求得DC的长，再求出OC的长，根据切线的性质求得，最后利用勾股定理（直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方）求出PC的长．
23．【答案】（1）解：设购买一个篮球需要元，一个足球需元；
可得方程组：，
解得：，
答：购买一个篮球需要120元，一个足球需80元；
（2）解：设购买篮球个，则购买足球个，
可列不等式：，
解得：，
答：篮球最多可以购买11个．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设购买一个篮球需x元，购买一个足球需y元，根据购买3个篮球和2个足球共花费520元，且购买一个篮球比购买一个足球多花40元列出方程组，解方程组即可；
（2）设购买a个篮球，则购买足球个，根据"此次购买两种球的总费用不超过1600元"列出不等式，解不等式即可．
（1）解：设购买一个篮球需要元，一个足球需元；
可得方程组：，
解得：，
答：购买一个篮球需要120元，一个足球需80元；
（2）解：设购买篮球个，则购买足球个，
可列不等式：，
解得：，
答：篮球最多可以购买11个．
24．【答案】（1）解：在中，，，，
，
，
；；
答：坡面的水平距离和垂直距离分别是和。
（2）解：延长交于点，如图所示：
则四边形是矩形，
设，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
，即，
解得
，
答：山的高度为。
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）在中，根据正弦函数、余弦函数定义：，，代入数据即可求出CH和AH的值。
（2）延长交于点，设，根据矩形性质，可得，，代入数据，求出BG的关系式，在中，根据正切函数定义：，代入数据即可求出BD的值。
（1）解：在中，，，，
，，
；；
答：坡面的水平距离和垂直距离分别是和；
（2）解：延长交于点，如图所示：
则四边形是矩形，
设，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
，即，
解得
，
答：山的高度为．
25．【答案】（1）解：∵直线与x轴交于点，
∴得，
直线AB的解析式为：，
当时，，点，
又抛物线经过A，B，
∴解得，
则抛物线；
（2）解：①轴，，
，
，
点D坐标为，
，
．
②如图，过点Q作于点H，
设直线的解析式为，
∵，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
此时．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）先利用直线上点的坐标特征求出点B坐标，再利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）①由于PE平行y轴，则点P、D、E的横坐标相同，即可利用抛物线和直线上点的坐标特征分别求出点P、D的坐标，则PD可求，再利用铅直法把的面积表示成PD与OA乘积的一半即可；
②过点Q作于点H，则OH平行PE，由三角形相似的预备定理可得，由相似比可把可转化，此时可利用抛物线上点的坐标特征设点P坐标，则PE即点P的纵坐标值，再利用待定系数法求出直线解析式，并联立直线AB的解析式可得点Q坐标，即OH为点Q的纵坐标，从而得，即是关于m的二次函数，由于二次项系数为负，则有最大值，再利用二次函数的性质求出这个最大值即可得此时对应的点E的坐标．
（1）解：∵直线与x轴交于点，
∴得， 则直线，
当时，，点，
又∵，抛物线经过A，B，
∴解得，
则抛物线；
（2）解：①轴，，
，
，
点D坐标为，
，
．
②如图，过点Q作于点H，
设直线的解析式为，
∵，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
此时．
26．【答案】解：①当时，平行四边形是正方形，如图所示，
∴，
∵
∴，即，
∵，
∴，
在和中， ，
∴，
∴，
故答案为：；
②当时，如图所示，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
故答案为：；
（2），理由如下：
如图1中的①，四边形是平行四边形，点在线段上，
，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴，且，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴.
【知识点】四边形的综合
【解析】【分析】（1）①当时，平行四边形是正方形，再利用正方形的性质结合同角的余角相等可得，则可利用ASA证明，则；
②由于四边形是矩形，同理有、，则由AA可证明，由相似比可得；
（2）由于平行四边形的邻角互补，则由等角的补角相等可得，又公共角，则由AA可证明，由相似比可得；再由对顶角相等可得，又公共角，则，由相似比可得，则，等量代换得．
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